Szabályos többdimenziós poliéderek és vegyületek listája
| Szabályos (2D) sokszögek | |
|---|---|
| konvex | csillagkép |
{5} |
{5/2} |
| Szabályos 3D poliéder | |
| konvex | csillagkép |
{5,3} |
{5/2,5} |
| Helyes 2D csempézés | |
| euklideszi | Hiperbolikus |
{4,4} |
{5,4 |
| Normál 4D poliéder | |
| konvex | csillagkép |
{5,3,3} |
{5/2,5,3 |
| Helyes 3D csempézés | |
| euklideszi | Hiperbolikus |
{4,3,4} |
{5,3,4} |
Ez az oldal a szabályos többdimenziós politópok (politópok) listáját és ezek szabályos kapcsolatait tartalmazza különböző dimenziójú euklideszi , gömb- és hiperbolikus terekben.
A Schläfli-szimbólum az n-gömb, az euklideszi és a hiperbolikus tér minden szabályos csempézését írja le. Az n-dimenziós poliéder leírására szolgáló Schläfli-szimbólum egy (n-1)-gömb burkolását is leírja. Ezenkívül egy szabályos poliéder vagy csempe szimmetriáját Coxeter-csoportként fejezzük ki , amelyet Coxeter a Schläfli-szimbólumokkal azonosan jelölt, kivéve a szögletes zárójeles elhatárolást, és ezt a jelölést Coxeter-jelölésnek nevezik . Egy másik kapcsolódó szimbólum a Coxeter-Dynkin diagram , amely szimmetriacsoportot (körbe körbeírt csomópontok nélkül) és szabályos politópokat vagy tesszellációkat ábrázol egy bekarikázott első csomóponttal. Például a kocka Schläfli szimbólummal rendelkezik {4,3}, oktaéder szimmetriájával [4,3] ill.
, a Coxeter diagram képviseli
.
A szabályos poliédereket méretek, majd alakok szerint csoportosítják – konvex, nem konvex és végtelen. A nem konvex nézetek ugyanazokat a csúcsokat használják, mint a konvex nézetek, de metsző oldalaik vannak (a maximális méret oldalai = a tér méretei - 1). A végtelen nézetek eggyel kevesebb dimenzióval teszik ki az euklideszi teret.
A végtelen alakok kiterjeszthetők hiperbolikus térmozgásokra . A hiperbolikus tér hasonló a közönséges térhez, de a párhuzamos egyenesek a távolsággal eltérnek. Ez lehetővé teszi, hogy a csúcsfigurák negatív sarokhibákkal rendelkezzenek . Például hét szabályos háromszög , amely egy síkon fekszik, összefuthat egy csúcsban. Ezt a közönséges (euklideszi) síkon nem, de a hiperbolikus síkon valamilyen léptékben meg lehet tenni.
Az általánosabb definíciót kielégítő, és egyszerű Schläfli-szimbólumokkal nem rendelkező politópok közé tartoznak a szabályos ferde politópok és a végtelen szögű szabályos ferde poliéderek nem sík felületekkel vagy csúcsalakokkal .
Áttekintés
A táblázat a szabályos poliéderek összefoglalását mutatja méretek szerint.
| Végső | euklideszi | Hiperbolikus | Kapcsolatok | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Méret | Konvex _ |
Star Chat |
ferde | Konvex _ |
Kompakt _ |
Star Chat |
Parakompakt _ |
Konvex _ |
Star Chat |
| egy | egy | 0 | 0 | egy | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | ∞ | ∞ | ∞ | egy | egy | 0 | 0 | ∞ | ∞ |
| 3 | 5 | négy | ? | 3 | ∞ | ∞ | ∞ | 5 | 0 |
| négy | 6 | tíz | ? | egy | négy | 0 | tizenegy | 26 | húsz |
| 5 | 3 | 0 | ? | 3 | 5 | négy | 2 | 0 | 0 |
| 6 | 3 | 0 | ? | egy | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 |
| 7 | 3 | 0 | ? | egy | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 |
| nyolc | 3 | 0 | ? | egy | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 |
| 9+ | 3 | 0 | ? | egy | 0 | 0 | 0 | * | 0 |
* 1, ha a méret 2 k − 1; 2 ha a dimenzió kettő hatványa; 0 egyébként.
Az euklideszi térben egyetlen dimenzióban sincsenek szabályos csillagcsempe.
Egydimenziós tér
| A Coxeter-Dynkin diagram a tükrözött "síkokat" csomópontként ábrázolja, és egy kört helyez el a csomópont körül, ha a pont nem a síkon fekszik. szegmens , { },a p pont és a p pont tükörképe , valamint a közöttük lévő szakasz.
|
Az egydimenziós politóp (1-politóp) egy zárt szakasz , amelyet két végpont határol. Az 1-politóp definíció szerint szabályos, és egy Schläfli-szimbólum { } [1] [2] vagy egy Coxeter -diagram egyetlen bekarikázott csomóponttal ábrázolja,. Norman Johnson adta nekik a datale nevet és a Schläfli szimbólumot { } [3] .
Mivel a daityl poliéderként triviális, sokszögek és poliéderek éleiként jön létre [4] . A homogén prizmák meghatározásában használatos (mint a Schläfli szimbólumban { }×{p}) vagy a Coxeter diagramban.
egy szakasz és egy szabályos sokszög közvetlen szorzataként [5] .
Kétdimenziós tér (sokszögek)
A kétdimenziós politópokat poligonoknak nevezzük . A szabályos sokszögeknek egyenlő oldalai vannak, és körbe vannak írva . A szabályos p-szöget a Schläfli szimbólum {p} jelöli.
Általában csak a konvex sokszögeket tekintjük szabályosnak, de a csillag sokszögeket , például a pentagramot is szabályosnak tekinthetjük. Ugyanazokat a csúcsokat használják, mint a konvex alakzatok, de más módon kapcsolódnak össze, ahol a kört többször is bejárják.
A csillagsokszögeket inkább nem konvexnek , mint konkávnak kell nevezni , mivel az élek metszéspontja nem képez új csúcsot, és minden csúcs egy körön van.
Kidudorodó
A Schläfli szimbólum {p} egy szabályos p - gont jelöl .
| Név | Háromszög ( 2 szimplex ) |
Négyzet (2 - ortoplex ) ( 2-kocka ) |
Pentagon | Hatszög | Hétszög | Nyolcszög | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Schläfli | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | {nyolc} | |
| Szimmetria | D 3 , [3] | D 4 , [4] | D 5 , [5] | D 6 , [6] | D 7 , [7] | D8 , [ 8 ] | |
| koxéter |
|
|
|
|
|
| |
| Kép | |||||||
| Név | Pentagon | Tíz szög | Hendecagon | Tizenkét szög | Tizenhárom | tetradecagon | |
| Schläfli | {9} | {tíz} | {tizenegy} | {12} | {13} | {tizennégy} | |
| Szimmetria | D9 , [ 9 ] | D10 , [ 10 ] | D 11 , [11] | D12 , [ 12 ] | D 13 , [13] | D14 , [ 14 ] | |
| Dynkin | 
|
|
|
|
|
| |
| Kép | |||||||
| Név | Pentagon | Hatszög | Tizenhét | nyolcszög | Tizenkilencszög | Tizenkét szög | ... p-gon |
| Schläfli | {tizenöt} | {16} | {17} | {tizennyolc} | {19} | {húsz} | { p } |
| Szimmetria | D15 , [ 15 ] | D16 , [ 16 ] | D17 , [ 17 ] | D18 , [ 18 ] | D19 , [ 19 ] | D20 , [ 20 ] | D p , [p] |
| Dynkin | 
|
|
|
|
|
|
|
| Kép |
A szabályos digon {2} degenerált szabályos sokszögnek tekinthető. Nem degeneráltként létezhet néhány nem euklideszi térben, például egy gömb vagy egy tórusz felületén .
| Név | Monogon | Bigon |
|---|---|---|
| Schläfli szimbólum | {egy} | {2} |
| Szimmetria | D 1 , [ ] | D 2 , [2] |
| Coxeter diagram | vagy 
|
|
| Kép |
Csillagok
A 2D térben végtelen sok szabályos csillagpoliéder (azaz sokszög) található, amelyek Schläfli-szimbólumai racionális számok { n / m }. Csillag sokszögeknek nevezik őket, és ugyanaz a csúcselrendezésük , mint egy konvex sokszögnek.
Általánosságban elmondható, hogy bármely n természetes számra és minden m-re, ahol m < n /2 és m , n koprím , léteznek n-pontú szabályos csillagok Schläfli-szimbólumokkal { n / m } (szigorúan véve: { n / m }= { n /( n − m )}) .
| Név | Pentagram | Heptagramok | Oktagram | Enneagramok | Dekagram | ... n-gramm | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Schläfli | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {9/2} | {9/4} | {10/3} | { p/q } |
| Szimmetria | D 5 , [5] | D 7 , [7] | D8 , [ 8 ] | D9 , [ 9 ], | D10 , [ 10 ] | Dp , [ p ] | ||
| koxéter |  
|
|
|
|
|
|
|
|
| Kép | ||||||||
{11/2} |
{11/3} |
{11/4} |
{11/5} |
{12/5} |
{13/2} |
{13/3} |
{13/4} |
{13/5} |
{13/6} | |
{14/3} |
{14/5} |
{15/2} |
{15/4} |
{15/7} |
{16/3} |
{16/5} |
{16/7} | |||
{17/2} |
{17/3} |
{17/4} |
{17/5} |
{17/6} |
{17/7} |
{17/8} |
{18/5} |
{18/7} | ||
{19/2} |
{19/3} |
{19/4} |
{19/5} |
{19/6} |
{19/7} |
{19/8} |
{19/9} |
{20/3} |
{20/7} |
{20/9} |
Térbeli sokszögek
A 3-dimenziós térben egy szabályos térbeli sokszöget [6] antiprizmás sokszögnek nevezünk , és ugyanaz a csúcselrendezése , mint az antiprizmáé , élei pedig az antiprizma éleinek részhalmazai, összekötve a csúcsokat. a felső és alsó sokszögek cikkcakkos.
| Hatszög | Nyolcszög | Tíz szög | ||
| D 3d , [2 + ,6] | D4d , [ 2 + ,8] | D 5d , [2 + ,10] | ||
|---|---|---|---|---|
| {3}#{ } | {4}#{ } | {5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } |
A 4-dimenziós térben egy szabályos térpoligonnak lehetnek csúcsai a Clifford-tóruszon , és Clifford-forgással van társítva . Ellentétben az antiprizmatikus 3D sokszögekkel, a kettős elforgatású 3D sokszögeknek páratlan számú oldala lehet.
Megtekinthetők a konvex szabályos négydimenziós poliéderek Petri-sokszögeiben , a Coxeter-vetületek kerületeinek szabályos lapos sokszögeiként:
| Pentagon | Nyolcszög | Tizenkét szög | Tridecagon |
|---|---|---|---|
Ötcellás |
Hexadecimális sejt |
huszonnégy cella |
Hatszáz sejt |
Háromdimenziós tér (poliéder)
3D térben egy szabályos poliéder Schläfli szimbólummal {p,q} és Coxeter diagrammal
szabályos lapjai {p} alakúak és szabályos csúcsalakja {q}.
A (poliéder) csúcsalakja egy olyan sokszög, amelyet egy adott csúcstól egy élre eső csúcsok összekapcsolásával kapunk. Szabályos 3D poliédereknél ez a csúcsalak mindig szabályos (és síkbeli) sokszög.
A szabályos poliéder {p,q} létezését a csúcsalak sarokhibájával kapcsolatos egyenlőtlenség korlátozza :
: poliéder (az euklideszi 3-térben létezik) : Euklideszi síkburkolat : A hiperbolikus sík burkolása
A permutációkat átszámozva 5 konvex alakzatot, 4 csillag alakzatot és 3 sík burkolatot találunk, mindegyik {p} és {q} sokszöggel a listából: {3}, {4}, {5}, {5/2} és {6}.
Az euklideszi térburkolatokon kívül végtelen számú szabályos hiperbolikus burkolólap létezik.
Kidudorodó
Az öt konvex szabályos poliédert platóni testeknek nevezzük . A csúcs alakját a csúcsok számával együtt adjuk meg. Mindezek a poliéderek Euler-karakterisztikával (χ) 2 rendelkeznek.
| Név | Schläfli {p,q} |
koxéter
|
Rajz (átlátszó) |
Rajz (test) |
Rajz (gömb) |
Facets {p} |
borda | Csúcsok {q} |
Szimmetria | Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tetraéder ( 3 szimplex ) |
{3,3} |
|
4 {3} |
6 | 4 {3} |
T d [3,3] (*332) |
(önkettős) | |||
| Hatlapú kocka ( 3 kockás ) |
{4,3} |
|
6 {4} |
12 | 8 {3} |
Ó h [4,3] (*432) |
Oktaéder | |||
| Oktaéder (3 -ortoplex ) |
{3,4} |
|
8 {3} |
12 | 6 {4} |
Ó h [4,3] (*432) |
Kocka | |||
| Dodekaéder | {5,3} |
|
12 {5} |
harminc | 20 {3} |
I h [5,3] (*532) |
ikozaéder | |||
| ikozaéder | {3,5} |
|
20 {3} |
harminc | 12 {5} |
I h [5,3] (*532) |
Dodekaéder |
A gömbgeometriában vannak szabályos gömbpoliéderek ( a gömbön lévő burkolólapok ), amelyek normál esetben degenerált poliéderek. Ezek az oszoéderek {2,n} és kettős diédereik {n,2}. Coxeter az ilyen eseteket "nem megfelelő" tessellációknak nevezi [7] .
Az első néhány példa (n 2-től 6-ig) az alábbiakban látható.
| Név | Schläfli {2,p} |
Coxeter diagram |
Rajz (gömb) |
Oldalak {2} π/p |
borda | Csúcsok {p} |
Szimmetria | Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kétszögű oszoéder | {2,2} |
|
2 {2} π/2 |
2 | 2 {2} π/2 |
D 2h [2,2] (*222) |
Önkettős | |
| háromszög alakú oszoéder | {2,3} |
|
3 {2} π/3 |
3 | 2 {3} |
D 3h [2,3] (*322) |
háromszögű kétéder | |
| Négyzet alakú oszoéder | {2,4} |
|
4 {2} π/4 |
négy | 2 {4} |
D 4h [2,4] (*422) |
négyzetes kétéder | |
| Ötszögletű oszoéder | {2,5} |
|
5 {2} π/5 |
5 | 2 {5} |
D 5h [2,5] (*522) |
Ötszögletű diéder | |
| Hatszögletű ozoéder | {2,6} |
|
6 {2} π/6 |
6 | 2 {6} |
D 6h [2,6] (*622) |
Hatszögletű diéder |
| Név | Schläfli {p,2} |
Coxeter diagram |
Rajz (gömb) |
Facets {p} |
borda | Csúcsok {2} |
Szimmetria | Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kétszögű diéder | {2,2} |
|
2 {2} π/2 |
2 | 2 {2} π/2 |
D 2h [2,2] (*222) |
Önkettős | |
| háromszögű kétéder | {3,2} |
|
2 {3} |
3 | 3 {2} π/3 |
D 3h [3,2] (*322) |
háromszög alakú oszoéder | |
| négyzetes kétéder | {4,2} |
|
2 {4} |
négy | 4 {2} π/4 |
D 4h [4,2] (*422) |
Négyzet alakú oszoéder | |
| Ötszögletű diéder | {5,2} |
|
2 {5} |
5 | 5 {2} π/5 |
D 5h [5,2] (*522) |
Ötszögletű oszoéder | |
| Hatszögletű diéder | {6,2} |
|
2 {6} |
6 | 6 {2} π/6 |
D 6h [6,2] (*622) |
Hatszögletű ozoéder |
Csillagdiéderek és oszoéderek is léteznek, például {5/2,2} és {2,5/2}.
Csillagok
A szabályos csillag alakú poliédereket Kepler-Poinsot szilárdtesteknek nevezik , és négy ilyen van. Az {5,3} dodekaéder és a {3,5} ikozaéder csúcsainak elhelyezkedésén alapulnak :
A gömb alakú burkolólapokhoz hasonlóan ezek a csillagformák többször átfedik a gömböt, amit sűrűségüknek neveznek . Ezeknél az alakzatoknál a sűrűség 3 vagy 7. A mozaikrajzokon az egyes gömb alakú sokszögek lapja sárga színnel látható.
| Név | Rajz (átlátszó) |
Rajz (átlátszatlan) |
ábra (gömb alakú) |
A csillag alakzat kialakulásának diagramja |
Schläfli {p,q} és Coxeter |
Facets {p} |
borda | Csúcsok {q} ábra |
χ | Sűrűség [ en | Szimmetria | Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kis csillagos dodekaéder | {5/2,5}
|
12 {5/2} |
harminc | 12 {5} |
−6 | 3 | I h [5,3] (*532) |
Nagy dodekaéder | ||||
| Nagy dodekaéder | {5.5/2}
|
12 {5} |
harminc | 12 {5/2} |
−6 | 3 | I h [5,3] (*532) |
Kis csillagos dodekaéder | ||||
| Nagy csillagszerű dodekaéder | {5/2,3}
|
12 {5/2} |
harminc | 20 {3} |
2 | 7 | I h [5,3] (*532) |
Nagy ikozaéder | ||||
| Nagy ikozaéder | {3.5/2}
|
20 {3} |
harminc | 12 {5/2} |
2 | 7 | I h [5,3] (*532) |
Nagy csillagszerű dodekaéder |
Ferde poliéder
A szabályos ferde poliéder a szabályos politópok halmazának általánosítása, amelyben a csúcsalakzatok nem síkbelisége megengedett .
A 4-dimenziós ferde poliéderekhez Coxeter egy módosított Schläfli-szimbólumot javasolt {l,m|n}, amelynek egy {l,m} csúcsalakja van, m l -szög a csúcs körül n - szögű lyukakkal. Csúcsalakjaik térpoligonok, amelyek két sík közötti cikcakkokat ábrázolnak.
Az {l,m|n} szimbólummal jelölt szabályos ferde poliédereknél az egyenlőség érvényes:
2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)Ezek közül négy négydimenziós térben négy szabályos 4-poliéder lapjainak halmazaként látható, amelyek csúcselrendezése és élelrendezése azonos :
| {4, 6 | 3} | {6, 4 | 3} | {4, 8 | 3} | {8, 4| 3} |
|---|
Négydimenziós tér
A Schläfli szimbólummal ellátott, szabályos 4-dimenziós poliéderek nézetcellákkal , nézetlapokkal , élalakzatokkal és csúcsalakzatokkal rendelkeznek .
- A csúcsfigura (egy 4-dimenziós politóp) egy (3-dimenziós) politóp, amelyet a politóp adott csúcshoz tartozó csúcsai alkotnak. Szabályos 4-politópok esetén ez a csúcsfigura egy szabályos (3-dimenziós) politóp.
- Az élalak egy sokszög, amelyet az éllel szomszédos lapok alkotnak. Szabályos 4D poliéderek esetén az él alakja mindig szabályos sokszög lesz.
A szabályos négydimenziós politópok létezését korlátozza egy szabályos politóp létezése . A 4-dimenziós poliédereknél javasolt a „polychorus” elnevezés használata [8] [9]
Minden faj létezhet egy térben a következő kifejezéstől függően:
: Hipergömb alakú 3 dimenziós méhsejt vagy 4 dimenziós poliéder : Euklideszi 3 dimenziós méhsejt : Hiperbolikus 3 dimenziós méhsejt
Ezek a korlátozások 21 alakzatra érvényesek – 6 alakzat domború, 10 nem konvex, egy euklideszi 3-dimenziós méhsejt, 4 pedig hiperbolikus méhsejt.
A négydimenziós poliéder Euler-karakterisztikáját a képlet számítja ki, és minden típusnál egyenlő nullával.
Kidudorodó
A 6 konvex szabályos 4D poliéder az alábbi táblázatban látható. Mindezen poliéderek Euler-karakterisztikája (χ) 0.
| Név |
Schläfli {p,q,r} |
koxéter
|
Cellák {p,q} |
Facets {p} |
borda {r} |
Csúcsok {q,r} |
Kettős {r,q,p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ötcellás ( 4 szimplex ) |
{3,3,3} |
|
5 {3,3} |
10 {3} |
10 {3} |
5 {3,3} |
(önkettős) |
| Tesseract ( 4 kocka ) |
{4,3,3} |
|
8 {4,3} |
24 {4} |
32 {3} |
16 {3,3} |
Hexadecimális sejt |
| Tizenhat cellás (4 ortoplex ) |
{3,3,4} |
|
16 {3,3} |
32 {3} |
24 {4} |
8 {3,4} |
tesserakt |
| huszonnégy cella | {3,4,3} |
|
24 {3,4} |
96 {3} |
96 {3} |
24 {4,3} |
(önkettős) |
| 120 cella | {5,3,3} |
|
120 {5,3} |
720 {5} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
600 cella |
| 600 cella | {3,3,5} |
|
600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {3,5} |
120 cella |
| Ötcellás | tesserakt | Tizenhat cellás |
Huszonnégy cella |
120 cella |
600 cella |
|---|---|---|---|---|---|
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| Drótváz ( Petri poligon ) ferde merőleges vetületben | |||||
| ortogonális vetület | |||||
Tetraéder héj ( sejt/csúcs központú ) |
Köbös héj (cellaközpontú) |
Köbös héj (cellaközpontú) |
Kuboktaéder héj (sejtközpontú) |
Csonka rombotriakontaéder héj ( sejtközpontú ) |
Pentakiikosi – dodekaéder héj (csúcsközpontú) |
| Schlegel diagramok ( perspektivikus vetítés ) | |||||
(a cella közepén) |
(a cella közepén) |
(a cella közepén) |
(a cella közepén) |
(a cella közepén) |
(felül középen) |
| Sztereografikus vetítési keret ( hiperszférikus ) | |||||
A 4-dimenziós diéderek és az ozoéderek a 3-gömb szabályos burkolásaként léteznek .
A szokásos 4-dimenziós diéderek (2 oldal = 3 dimenziós lapok) a következők: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3 ,5,2}, {p,2,2} és kettős 4 dimenziós ozoédereik (2 csúcs): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, { 2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. A {2,p,2} formájú poliéderek 4-dimenziós diéderek és oszoéderek is. Léteznek olyan {p,2,q} alakok is, amelyek diéderes sejtekkel és oszoéderes csúcsalakokkal rendelkeznek.
| Schläfli {2,p,q} |
koxéter
|
Cellák {2,p} π/q |
Lapok {2} π/p,π/q |
borda | Csúcsok | Csúcsábra {p,q} |
Szimmetria | Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {2,3,3} |
|
4 {2,3} π/3 |
6 {2} π/3,π/3 |
négy | 2 | {3,3} |
[2,3,3] | {3,3,2} |
| {2,4,3} |
|
6 {2,4} π/3 |
12 {2} π/4,π/3 |
nyolc | 2 | {4,3} |
[2,4,3] | {3,4,2} |
| {2,3,4} |
|
8 {2,3} π/4 |
12 {2} π/3,π/4 |
6 | 2 | {3,4} |
[2,4,3] | {4,3,2} |
| {2,5,3} |
|
12 {2,5} π/3 |
30 {2} π/5,π/3 |
húsz | 2 | {5,3} |
[2,5,3] | {3,5,2} |
| {2,3,5} |
|
20 {2,3} π/5 |
30 {2} π/3,π/5 |
12 | 2 | {3,5} |
[2,5,3] | {5,3,2} |
Csillagok
Tíz szabályos négydimenziós csillagpoliéder létezik, amelyeket Schläfli-Hess-politópoknak neveznek . Csúcsaik egy konvex 120 cellán { 5,3,3 } és egy hatszáz cellán {3,3,5} találhatók .
Ludwig Schläfli négyet talált belőlük, a maradék hatot pedig eldobta, mert nem engedte meg az Euler-karakterisztikát a cellákon vagy a csúcsfigurákon (F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder című könyvében tette teljessé a listát . gömb az izoéder és az egyenszögű poliéderek elméletét figyelembe véve) .
4 élelrendezés és 7 lapelrendezés van ebben a 10 szabályos csillagozott 4D poliéderben, amelyek ortogonális vetületekként vannak ábrázolva :
| Név |
keret | Test | Schläfli {p, q, r} Coxeter |
Cellák {p, q} |
Facets {p} |
borda {r} |
Csúcsok {q, r} |
Sűrűség [ en | χ | Szimmetria csoport | Kettős {r, q, p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ikozaéder 120 cellás (fazettás 600 cellás) |
{3,5,5/2}
|
120 {3,5} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
négy | 480 | H 4 [5,3,3] |
Kicsi csillagozott 120 cellás | ||
| Kicsi csillagozott 120 cellás | {5/2,5,3}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
120 {5,3} |
négy | −480 | H 4 [5,3,3] |
Ikozaéder 120 cellás | ||
| Nagy, 120 cellás | {5,5/2,5}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
6 | 0 | H 4 [5,3,3] |
önkettős | ||
| Nagyszerű 120 cellás | {5,3,5/2}
|
120 {5,3} |
720 {5} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
húsz | 0 | H 4 [5,3,3] |
Nagy, csillagozott 120 cellás | ||
| Nagy, csillagozott, 120 cellás | {5/2,3,5}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
720 {5} |
120 {3,5} |
húsz | 0 | H 4 [5,3,3] |
Nagyszerű 120 cellás | ||
| Nagyszerű, 120 cellás csillagozott | {5/2, 5, 5/2}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
66 | 0 | H 4 [5,3,3] |
önkettős | ||
| Nagy, nagyszerű 120 cellás | {5,5/2,3}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
1200 {3} |
120 {5/2,3} |
76 | −480 | H 4 [5,3,3] |
Nagyszerű ikozaéder 120 cellás | ||
| Nagy ikozaéder, 120 cellás (nagy fazettás, 600 cellás) |
{3,5/2,5}
|
120 {3,5/2} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
76 | 480 | H 4 [5,3,3] |
Remek nagy 120 cellás | ||
| Nagy 600 cella | {3,3,5/2}
|
600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
191 | 0 | H 4 [5,3,3] |
Nagyszerű, nagy csillagos 120 cellás | ||
| Nagy, nagyszerű 120 cellás | {5/2,3,3}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
191 | 0 | H 4 [5,3,3] |
Nagy 600-as cella |
A politópoknak 4 hibás szabályos csillagpermutációja van: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2 }. Sejtjeik és csúcsalakjai léteznek, de nem fedik le a hiperszférát véges számú reprezentációval.
Ötös és nagyobb méret
Az ötdimenziós térben a szabályos politópokat a következőképpen jelölhetjük , ahol 4-arcú típus, cellatípus, 2-arcú típus, arcfigura, élfigura és csúcs. ábra.
A csúcsfigura (egy 5 dimenziós politóp) egy 4 dimenziós politóp, amelyet az adott csúcshoz tartozó csúcsok alkotnak. Egy élalak (egy 5 dimenziós poliéder) egy poliéder, amelyet minden él körül lapok alkotnak. Az arcforma (5-dimenziós poliéder) egy poliéder, amelyet az egyes lapokat körülvevő cellák alkotnak.
Szabályos 5-politóp csak akkor létezik, ha és szabályos 4-politópok.
Az értéktől függően
szerezze be a tér típusát
: gömb alakú 4D csempézés vagy 5D poliéder : Euklideszi 4 dimenziós burkolás : Hiperbolikus 4D burkolás
Ezekből a megszorításokból 3 konvex poliédert, nulla nem konvex politópot, 3 4-dimenziós csempézést és 5 hiperbolikus 4-dimenziós csempézést kapunk. Nincsenek nem konvex szabályos poliéderek az 5D-ben és felette.
Kidudorodó
Az 5-ös és nagyobb méretekben csak háromféle konvex szabályos poliéder létezik [10] .
| Név | Schläfli szimbólum { p 1 ,...,p n −1 } |
koxéter | k -arcok | Facet típus |
Vertex figura |
Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|
| n -simplex | { 3n− 1 } | ... |
{ 3n −2 } | { 3n −2 } | Önkettős | |
| n -kocka | {4,3n − 2 } | ... |
{4,3n − 3 } | { 3n −2 } | n -ortoplex | |
| n - ortoplex | { 3n − 2,4 } | ... |
{ 3n −2 } | { 3n − 3,4 } | n -kocka |
Vannak olyan helytelen esetek is, amikor a Schläfli-szimbólum egyes számjai 2-vel egyenlők. Például a {p,q,r,...2} egy nem megfelelő szabályos gömbpolitóp {p,q,r... esetben. } szabályos gömbpolitóp, a {2,...p,q,r} pedig nem megfelelő szabályos gömbpolitóp, amikor {...p,q,r} szabályos gömbpolitóp. Az ilyen poliéderek {p,q,...2...y,z} alakú fazettaként használhatók.
Ötdimenziós terek| Név | Schläfli szimbólum { p,q,r,s} Coxeter |
A lapok száma ( négydimenziós lapok) {p,q,r} |
Cellák (3D lapok) {p,q} |
Arcok (2D) {p} |
borda | Csúcsok | Arcforma { s} |
{r,s
} élalak |
Csúcsábra {q , r,s} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hexateron | {3,3,3,3} |
6 {3,3,3} |
15 {3,3} |
20 {3} |
tizenöt | 6 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| Penteract | {4,3,3,3} |
10 {4,3,3} |
40 {4,3} |
80 {4} |
80 | 32 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| 5-ortoplex | {3,3,3,4} |
32 {3,3,3} |
80 {3,3} |
80 {3} |
40 | tíz | {4} | {3,4} | {3,3,4} |
Hexateron |
Penteract |
5-ortoplex |
| Név | Schläfli | Csúcsok | borda | Facets (2D) | Cellák (3D) | 4D arcok | 5D arcok | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6 szimplex | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 0 |
| Hexeract | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 0 |
| 6-ortoplex | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 0 |
6-dimenziós szimplex |
Hexeract |
6-dimenziós ortoplex |
| Név | Schläfli | Csúcsok | borda | Facets (2D) | Cellák (3D) | 4D arcok | 5D arcok | 6D arcok | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7 szimplex | {3,3,3,3,3,3} | nyolc | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | nyolc | 2 |
| Hepteract | {4,3,3,3,3,3} | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | tizennégy | 2 |
| 7-ortoplex | {3,3,3,3,3,4} | tizennégy | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 2 |
7 szimplex |
Hepteract |
7-ortoplex |
| Név | Schläfli | Csúcsok | borda | Facets (2D) | Cellák (3D) | 4D arcok | 5D arcok | 6D arcok | 7D arcok | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8 szimplex | {3,3,3,3,3,3,3} | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 0 |
| Octeract | {4,3,3,3,3,3,3} | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 0 |
| 8-ortoplex | {3,3,3,3,3,3,4} | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 0 |
8 szimplex |
Octeract |
8-ortoplex |
| Név | Schläfli | Csúcsok | borda | Facets (2D) | Cellák (3D) | 4D arcok | 5D arcok | 6D arcok | 7D arcok | 8D arcok | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9 szimplex | {3 8 } | tíz | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | tíz | 2 |
| Entereract | {4,3 7 } | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | tizennyolc | 2 |
| 9-ortoplex | {3 7 ,4} | tizennyolc | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 2 |
9 szimplex |
Entereract |
9-ortoplex |
| Név | Schläfli | Csúcsok | borda | Facets (2D) | Cellák (3D) | 4D arcok | 5D arcok | 6D arcok | 7D arcok | 8D arcok | 9D arcok | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 szimplex | { 39 } | tizenegy | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | tizenegy | 0 |
| Deceract | {4,3 8 } | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | húsz | 0 |
| 10-ortoplex | {3 8 ,4} | húsz | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 0 |
10 szimplex |
Deceract |
10-ortoplex |
...
Nem konvex
Nincsenek nem domború szabályos poliéderek 5-ös vagy nagyobb méretben.
Szabályos projektív poliéder
Projektív szabályos ( n + 1)-politóp akkor létezik, ha az eredeti szabályos n -gömb alakú {p,q,...} centrálisan szimmetrikus . Az ilyen poliédereket fél-{p,q,...}-nek nevezzük, és feleannyi elemet tartalmaznak. Coxeter a {p,q,...}/2 szimbólumot adja nekik, míg McMullen a {p,q,...} h/2 , ahol h a Coxeter-szám . [tizenegy]
A páros oldalszámú szabályos sokszögeknek félig 2n szögű projektív sokszögeik vannak, {2p}/2.
4 szabályos projektív politóp , ami az 5 platóni test közül 4-nek felel meg .
A félkocka és féloktaéder bármely dimenzióban félig n kockákra és félig n ortoplexekre általánosítható.
Szabályos projektív poliéderek 3D térben
| Név | Coxeter McMullen |
Kép | arcok | Élek | Csúcsok | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fél kocka | {4,3}/2 {4,3} 3 |
3 | 6 | négy | egy | |
| Féloktaéder | {3,4}/2 {3,4} 3 |
négy | 6 | 3 | egy | |
| Szemidodekaéder | {5.3}/2 {5.3} 5 |
6 | tizenöt | tíz | egy | |
| Félikozaéder | {3.5}/2 {3.5} 5 |
tíz | tizenöt | 6 | egy |
Szabályos projektív poliéder négy dimenzióban
A 4-dimenziós térben a 6 konvex szabályos poliéderből 5 alkot projektív 4-politópokat. A 3 speciális eset fél huszonnégy cella, fél hatszáz cella és félszázhúsz cella.
| félig tesserakt | {4,3,3}/2 | {4,3,3} 4 | négy | 12 | 16 | nyolc | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| félig tizenhat sejt | {3,3,4}/2 | {3,3,4} 4 | nyolc | 16 | 12 | négy | 0 |
| félhuszonnégy cella | {3,4,3}/2 | {3,4,3} 6 | 12 | 48 | 48 | 12 | 0 |
| félig 120 cellás | {5,3,3}/2 | {5,3,3} 15 | 60 | 360 | 600 | 300 | 0 |
| félhatszáz sejt | {3,3,5}/2 | {3,3,5} 15 | 300 | 600 | 360 | 60 | 0 |
Szabályos projektív politópok ötdimenziós térben
Csak 2 konvex szabályos projektív félpolitóp van az 5-ös vagy nagyobb dimenziójú terekben.
| Név | Schläfli | 4D arcok | Cellák (3D) | Facets (2D) | borda | Csúcsok | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| félig átható | {4,3,3,3}/2 | 5 | húsz | 40 | 40 | 16 | egy |
| félig pentacross | {3,3,3,4}/2 | 16 | 40 | 40 | húsz | 5 | egy |
Infinitezimals
A végtelen egypoliédervégtelen számú oldalával. Egy negyn-dimenziós végtelen-csúcs: 2-végtelen-csúcs = végtelen-gon (apeirogon), 3-végtelen-csúcs = végtelen-csúcs a 3D-s térben stb.
A végtelen tópoknak két fő geometriai osztálya van: [12]
- Szabályos lépek n -dimenziós térben, teljesen kitöltve az n -dimenziós teret.
- Szabályos ferde végtelentópok , amelyek n -dimenziós sokaságot tartalmaznak magasabb terekben.
Egydimenziós tér (végtelen)
A közvetlen apeirogon egy egyenes szabályos csempézése, amelynek végtelen sok egyenlő szakaszra van osztva. Végtelenül sok csúcsa és éle van. Schläfli - szimbóluma {∞}, Coxeter-diagramja pedig
.
... ...
A hiperbolikus síkon lévő apeirogonok , amelyek közül a szabályos {∞} apeirogon a legfigyelemreméltóbb, lehetnek görbületek, mint az euklideszi síkon véges sokszögek, és csúcsaik horociklusokon vagy hiperciklusokon fekszenek .
A végtelenben konvergenciájú szabályos apeirogonok szimbóluma {∞}, és horociklusokon léteznek, bár általában létezhetnek hiperciklusokon.
| {∞} | {πi/λ} |
|---|---|
Végtelen egy horocikluson |
Végtelen egy hipercikluson |
A fent látható két hiperbolikus apeirogon egy Poincaré-korongon . A jobb oldali ábra merőleges vonalakat mutat, amelyek az alapterületeket λ távolságra választják el egymástól.
Térbeli végtelenségekA kétdimenziós térben (síkban) a ferde apeirogonok cikkcakkot alkotnak. Ha a cikcakk szimmetrikus és egyenletes, akkor az apeirogon helyes.
A ferde apeirogonok bármilyen méretű térben kialakíthatók. A háromdimenziós térben a ferde csúcsok spirált alkotnak, és lehetnek balra vagy jobbra.
| kétdimenziós tér | 3D tér |
|---|---|
Apeirogon cikkcakk formájában |
spirális apeirogon |
Kétdimenziós tér (végtelen)
Euklideszi csempékA síkon három szabályos csempézés van. Mindhárom Euler-karakterisztika (χ) 0.
| Név | Négyzet alakú mozaik (quadrille) |
Háromszög alakú mozaik (deltatilis) |
Hatszögletű parketta (hatszögletű) |
|---|---|---|---|
| Szimmetria | p4m, [4,4], (*442) | p6m, [6,3], (*632) | |
| Schläfli {p,q} | {4,4} | {3,6} | {6,3} |
| Coxeter diagram |
|
|
|
| Kép | |||
Két nem megfelelő szabályos csempézés létezik - {∞,2}, egy végtelen szögű diéder , amelyet két apeirogonból kapunk , amelyek mindegyike kitölt egy félsíkot, és a kettős {2,∞} csempézés, egy végtelen szögű oszoéder , amely végtelen számú párhuzamos egyenesként ábrázolható.
{∞,2} ,
|
{2,∞} ,
|
Nincsenek szabályos csempézések a síkon csillag sokszögek szerint . Végtelen sok olyan számpár van, amelyekre a lapos burkolás feltétele (1/ p + 1/ q = 1/2) teljesül, például {8/3.8}, {10/3.5}, {5/2.10 }, {12/5,12} stb., de ezek a csillagok egyike sem alkalmas csempézésre.
Hiperbolikus burkolólapokA hiperbolikus kétdimenziós tér burkolatai hiperbolikus csempék . A H 2 -ben végtelenül sok szabályos csempe van . Ahogy fentebb említettük, minden olyan pozitív pár { p , q }, amelyben 1/ p + 1/ q < 1/2, hiperbolikus mozaikozást ad. Valójában az általános Schwartz-háromszögre ( p , q , r ) ugyanez igaz 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1-re.
A hiperbolikus sík ábrázolásának sokféle módja van, beleértve a Poincaré-korong-modellt , amely a síkot lemezre képezi le, az alábbiak szerint. A csempék minden sokszögű oldalát egyenlő oldalúnak kell tekinteni, és a sokszögek egyre kisebbek, ahogy közeledünk a lemez széléhez a vetítés miatt, ami hasonló a halszem kamera hatásához .
Végtelen sok lapos szabályos 3-végtelen csúcs van, mint a {p,q} alakú hiperbolikus sík szabályos csempézése, ahol p+q<pq/2.
- {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
- {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
- {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
- {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
- {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
- {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
- {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
- ...
- {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}
Példák:
| Gömb alakú (platonikus) / euklideszi / hiperbolikus (Poincare lemez: kompakt / parakompakt / nem kompakt ) burkolólapok Schläfli szimbólumaikkal | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p\q | 3 | négy | 5 | 6 | 7 | nyolc | ... | ∞ | ... | iπ/λ |
| 3 | ( tetraéder ) {3,3}
|
( oktaéder ) {3,4}
|
( ikozaéder ) {3,5}
|
( delta csempe ) {3,6}
|
{3,7}
|
{3,8}
|
{3,∞}
|
{3,iπ/λ} 
| ||
| négy | ( kocka ) {4,3}
|
( kvadrill ) {4,4}
|
{4,5}
|
{4,6}
|
{4,7}
|
{4,8}
|
{4,∞}
|
{4,iπ/λ}
| ||
| 5 | ( dodekaéder ) {5,3}
|
{5,4}
|
{5,5}
|
{5,6}
|
{5,7}
|
{5,8}
|
{5,∞}
|
{5,iπ/λ}
| ||
| 6 | ( hexatilis ) {6,3}
|
{6,4}
|
{6,5}
|
{6,6}
|
{6,7}
|
{6,8}
|
{6,∞}
|
{6,iπ/λ}
| ||
| 7 | {7,3}
|
{7,4}
|
{7,5}
|
{7,6}
|
{7,7}
|
{7,8}
|
{7,∞}
|
{7,iπ/λ}
| ||
| nyolc | {8,3}
|
{8,4}
|
{8,5}
|
{8,6}
|
{8,7}
|
{8,8}
|
{8,∞}
|
{8,iπ/λ}
| ||
| ... | ||||||||||
| ∞ | {∞,3}
|
{∞,4}
|
{∞,5}
|
{∞,6}
|
{∞,7}
|
{∞,8}
|
{∞,∞}
|
{∞,iπ/λ}
| ||
| ... | ||||||||||
| iπ/λ | {ip/λ,3}
|
{ip/λ,4}
|
{ip/λ,5}
|
{ip/λ,6}
|
{ip/λ,7}
|
{ip/λ,8}
|
{iπ/λ,∞}
|
{iπ/λ,iπ/λ}
| ||
Két végtelen típusú hiperbolikus burkolólap létezik, amelyek lapjai vagy csúcsalakjai csillagpoligonok – { m /2, m } és duálisaik { m , m /2}, ahol m = 7, 9, 11, .... Mozaikok { m / 2, m } az { m , 3} csempék csillagképei , míg a kettős csempék { m , m /2} a {3, m } csempék és az { m , 3} csempék bővítései
Az { m /2, m } és { m , m / 2} sémák páratlan m < 7 esetén poliéderként folytatódnak : ha m = 5, akkor egy kis csillagozott dodekaédert és egy nagy dodekaédert kapunk , m = 3 -mal pedig egy tetraéder . A másik két Kepler-Poinsot szilárdtestnek ( a nagy csillagú dodekaédernek és a nagy ikozaédernek ) nincs analógja a szabályos hiperbolikus burkolatokban. Ha m páros, attól függően, hogy hogyan választjuk meg az { m /2} definícióját, vagy egy másik burkolólap degenerált borítását, vagy csempék csomópontját kaphatjuk.
| Név | Schläfli | Coxeter diagram | Kép | Arctípus {p} |
Csúcsábra {q} |
Sűrűség [ en | Szimmetria | dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hétszögletű csempézés, 7. rendelés | {7/2,7} |
|
{7/2} |
{7} |
3 | *732 [7,3] |
Hétszögletű heptagram burkolat | |
| Hétszögletű heptagram burkolat | {7,7/2} |
|
{7} |
{7/2} |
3 | *732 [7,3] |
7. rendelés heptagramos csempézése | |
| Enneagram-mozaik rend 9 | {9/2,9} |
|
{9/2} |
{9} |
3 | *932 [9,3] |
Enneagram kilencoldalas burkolás | |
| Enneagram kilencoldalas burkolás | {9,9/2} |
|
{9} |
{9/2} |
3 | *932 [9,3] |
Rendeljen 9 Enneagram kilencoldalas burkolást | |
| 11. rendű genekagram mozaik | {11/2,11} |
|
{11/2} |
{tizenegy} |
3 | *11.3.2 [11.3] |
Hendekagramos burkolólap tizenegy szögű burkolás | |
| Hendekagramos burkolólap tizenegy szögű burkolás | {11,11/2} |
|
{tizenegy} |
{11/2} |
3 | *11.3.2 [11.3] |
11. rendű genekagram mozaik | |
| p - gramm csempézés rendelés p | { p /2, p } |
|
{ p /2} | { p } | 3 | * 32. o . [p,3] |
p - gramm p - faszén burkolás | |
| p -gram csempézés p -szög burkolat | { p , p /2} |
|
{ p } | { p /2} | 3 | * 32. o . [p,3] |
p -gram rendelési csempézés p |
Három szabályos ferde végtelen van az euklideszi 3D-s térben, és egy szabályos térbeli sokszög csúcsalakként [13] [14] [15] . Ugyanolyan csúcselrendezésük és élelrendezésük , mint 3 konvex egyenletes méhsejtnek .
- 6 négyzet minden csúcs körül: {4,6|4}
- 4 hatszög minden csúcs körül: {6,4|4}
- 6 hatszög minden csúcs körül: {6,6|3}
| Szabályos ferde sokszög | ||
|---|---|---|
{4,6|4} |
{6,4|4} |
{6,6|3} |
Az euklideszi háromdimenziós térben harminc szabályos végtelen van [17] . Ezek magukban foglalják a fent felsoroltakat és 8 másik "tiszta" végtelent is. Mindegyik köbös méhsejthez kapcsolódik {4,3,4}. A többinek térbeli sokszöglapja van: {6,6} 4 , {4,6} 4 , {6,4} 6 , {∞,3} a , {∞,3} b , {∞,4} .*3 , {∞,4} 6,4 , {∞,6} 4,4 és {∞,6} 6,3 .
Ferde végtelen hiperbolikus 3D térben31 szabályos ferde végtelen van a hiperbolikus háromdimenziós térben [18] :
- 14 kompakt: {8.10|3}, {10.8|3}, {10.4|3}, {4.10|3}, {6.4|5}, {4.6|5}, {10,6|3}, {6 ,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3}, {6,6|5}, { 8,6|3} és {6,8|3}.
- 17 parakompakt: {12.10|3}, {10.12|3}, {12.4|3}, {4.12|3}, {6.4|6}, {4.6|6}, {8,4|4}, {4, 8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, { 8,6|4}, {6,8|4}, { 12,8|3}, {8,12|3} és {8,8|4}.
A 3 dimenziós térnek ( méhsejtnek ) csak egy nem degenerált szabályos burkolata van, {4, 3, 4} [19] :
| Név | Schläfli {p,q,r} |
koxéter
|
{ p,q} cellatípus |
Arctípus { p} |
Élalak { r} |
Csúcsábra {q , r} |
χ | Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| köbös méhsejt | {4,3,4} | |
{4,3} | {4} | {4} | {3,4} | 0 | Önkettős |
Hat nem megfelelő szabályos burkolólap létezik, páronként három szabályos euklideszi burkolat alapján. Sejtjeik és csúcsalakjaik szabályos { 2,n} oszoéderek , {n,2} diéderek és euklideszi csempék. Ezek a nem megfelelő szabályos tesszellációk szerkezetileg hasonlatosak a hasáb alakú egyenletes méhsejtekhez a csonkítási művelet révén. Ezek a 2-es rendű végtelen szögű csempézés [en és a végtelen szögű oszoéder nagydimenziós megfelelői .
| Schläfli {p,q,r} |
Coxeter diagram |
{ p,q} cellatípus |
Arctípus { p} |
Élalak { r} |
Csúcsábra {q , r} |
|---|---|---|---|---|---|
| {2,4,4 | |
{2,4} | {2} | {4} | {4,4} |
| {2,3,6 | |
{2,3} | {2} | {6} | {3,6} |
| {2,6,3} | |
{2,6} | {2} | {3} | {6,3} |
| {4,4,2} | |
{4,4} | {4} | {2} | {4,2} |
| {3,6,2} | |
{3,6} | {3} | {2} | {6,2} |
| {6,3,2} | |
{6,3} | {6} | {2} | {3,2} |
| ||||
|
Tíz lapos szabályos méhsejt található a hiperbolikus 3-dimenziós térben [20] ( a fentiekben csempékként szerepel):
- 4 kompakt: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} és {5,3,5}
- 6 parakompakt: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6} , {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} és {6,3,6}.
A hiperbolikus 3-tér burkolásait hiperbolikus méhsejtnek nevezhetjük . 15 hiperbolikus méhsejt található a H 3 -ban, 4 kompakt és 11 parakompakt.
| Név | Schläfli szimbólum { p,q,r} |
koxéter
|
{ p,q} cellatípus |
Arctípus { p} |
Élalak { r} |
Csúcsábra {q , r} |
χ | Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ikozaéder méhsejt | {3,5,3} | |
{3,5} | {3} | {3} | {5,3} | 0 | Önkettős |
| Köbös méhsejt rendelés 5 | {4,3,5} | |
{4,3} | {4} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,4} |
| Rendeljen 4 dodekaéder méhsejt | {5,3,4} | |
{5,3} | {5} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,5} |
| Dodekaéder méhsejt rendelés 5 | {5,3,5} | |
{5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | Önkettős |
11 parakompakt H 3 méhsejt is található (végtelen (euklideszi) sejtekkel és/vagy csúcsfigurákkal): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4 , 3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5 } és {6,3,6}.
| Név | Schläfli szimbólum { p,q,r} |
koxéter
|
{ p,q} cellatípus |
Tpi határ {p} |
Élalak { r} |
Csúcsábra {q , r} |
χ | Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6-os rendű tetraéder méhsejt | {3,3,6} | |
{3,3} | {3} | {6} | {3,6} | 0 | {6,3,3} |
| Hatszögletű mozaik lépek | {6,3,3} | |
{6,3} | {6} | {3} | {3,3} | 0 | {3,3,6} |
| Rendeljen 4 oktaéderes méhsejtet | {3,4,4} | |
{3,4} | {3} | {4} | {4,4} | 0 | {4,4,3} |
| Négyzet alakú mozaik méhsejt | {4,4,3} | |
{4,4} | {4} | {3} | {4,3} | 0 | {3,3,4} |
| Háromszög alakú mozaik lépek | {3,6,3} | |
{3,6} | {3} | {3} | {6,3} | 0 | Önkettős |
| Köbös méhsejt rendelés 6 | {4,3,6} | |
{4,3} | {4} | {4} | {3,4} | 0 | {6,3,4} |
| Rendeljen 4 hatszögletű mozaik méhsejtet | {6,3,4} | |
{6,3} | {6} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,6} |
| Négyzet alakú mozaik méhsejt rendelés 4 | {4,4,4} | |
{4,4} | {4} | {4} | {4,4} | 0 | {4,4,4} |
| Dodekaéder méhsejt rendelés 6 | {5,3,6} | |
{5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | {6,3,5} |
| Hatszögletű mozaik méhsejt rendelés 5 | {6,3,5} | |
{6,3} | {6} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,6} |
| Hatszögletű mozaik méhsejt rendelés 6 | {6,3,6} | |
{6,3} | {6} | {6} | {3,6} | 0 | Önkettős |
A nem kompakt megoldások Lorentzi Coxeter-csoportokként léteznek, és a hiperbolikus térben nyitott területtel jeleníthetők meg (egy alapvető tetraéder, amelynek egyes részei a végtelenség miatt elérhetetlenek), és néhányat az alábbiakban ábrázolunk, bemutatva a síkkal való metszéspontjukat. Minden olyan méhsejt, amely nem szerepel a táblázatokban, és amelynek Schläfli szimbólumában nincs 2, nem kompakt.
| p\r | 3 | négy | 5 | 6 | 7 | nyolc | ...∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 |
{3,3,3}
|
{3,3,4}
|
{3,3,5}
|
{3,3,6}
|
{3,3,7}
|
{3,3,8}
|
{3,3,∞}
|
| négy |
{4,3,3}
|
{4,3,4}
|
{4,3,5}
|
{4,3,6}
|
{4,3,7}
|
{4,3,8}
|
{4,3,∞}
|
| 5 |
{5,3,3}
|
{5,3,4}
|
{5,3,5}
|
{5,3,6}
|
{5,3,7}
|
{5,3,8}
|
{5,3,∞}
|
| 6 |
{6,3,3}
|
{6,3,4}
|
{6,3,5}
|
{6,3,6}
|
{6,3,7}
|
{6,3,8}
|
{6,3,∞}
|
| 7 |
{7,3,3}
|
{7,3,4}
|
{7,3,5}
|
{7,3,6}
|
{7,3,7}
|
{7,3,8}
|
{7,3,∞}
|
| nyolc |
{8,3,3}
|
{8,3,4}
|
{8,3,5}
|
{8,3,6}
|
{8,3,7}
|
{8,3,8}
|
{8,3,∞}
|
| ... ∞ |
{∞,3,3}
|
{∞,3,4}
|
{∞,3,5}
|
{∞,3,6}
|
{∞,3,7}
|
{∞,3,8}
|
{∞,3,∞}
|
| q = 4 | q = 5 | q = 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
A H 3 -ban nincsenek hiperbolikus csillagozott lépek – minden olyan alakzat, amelyben egy szabályos csillagozott poliéder sejtként, csúcsalakként vagy mindkettő gömb alakú.
Négydimenziós tér (5-végtelen-éder)
4-dimenziós tér euklideszi csempézéseiHáromféle végtelen szabályos ( méhsejt ) létezik, amelyek kitölthetik az euklideszi négydimenziós teret:
| Név | Schläfli szimbólum { p,q,r,s} |
Facet típusa {p,q,r} |
{ p,q} cellatípus |
Arctípus { p} |
arcforma { s} |
{r,s
} élalak |
Csúcsábra {q , r,s} |
Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tesseact honeycombs | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | Önkettős |
| 16 sejtes méhsejt | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,3} |
| Huszonnégy cellás méhsejt | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,3,4,3} |
Kivetített méhsejt-töredék {4,3,3,4} (Tesseract méhsejt) |
Kivetített sejtfragmens {3,3,4,3} (tizenhat sejt méhsejt) |
Kivetített sejtfragmens {3,4,3,3} (24 sejtes méhsejt) |
Két helytelen eset is van, a {4,3,4,2} és a {2,4,3,4}. Az euklideszi 4-dimenziós térben három lapos, szabályos méhsejttípus létezik: [19]
- {4,3,3,4}, {3,3,4,3} és {3,4,3,3}.
Hét lapos szabályos konvex méhsejt található egy hiperbolikus 4 dimenziós térben: [20]
- 5 kompakt: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}
- 2 parakompakt: {3,4,3,4} és {4,3,4,3}.
A hiperbolikus 4-dimenziós térben négy lapos, szabályos csillag típusú méhsejt létezik: [20]
- {5/2.5.3.3}, {3.3.5.5/2}, {3.5.5/2.5} és {5.5/2.5.3}.
A H 4 térben hét domború szabályos méhsejt és négy csillag alakú méhsejt található [21] . Öt konvex típus kompakt, kettő pedig parakompakt.
Öt kompakt, szabályos méhsejt H 4 -ben :
| Név | Schläfli szimbólum { p,q,r,s} |
Facet típusa {p,q,r} |
{ p,q} cellatípus |
Arctípus { p} |
arcforma { s} |
{r,s
} élalak |
Csúcsábra {q , r,s} |
Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ötcellás méhsejt rendelés 5 | {3,3,3,5} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,3} |
| 120 sejtes méhsejt | {5,3,3,3} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {3,3,3,5} |
| Tesseract honeycombs order 5 | {4,3,3,5} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,4} |
| 120 cella sorrend 4 cella | {5,3,3,4} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,5} |
| 120 cellás rendelés 5 méhsejt | {5,3,3,5} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | Önkettős |
Két szabályos parakompakt szabályos típusú méhsejt H 4 -ben: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.
| Név | Schläfli szimbólum { p,q,r,s} |
Facet típusa {p,q,r} |
{ p,q} cellatípus |
Arctípus { p} |
arcforma { s} |
{r,s
} élalak |
Csúcsábra {q , r,s} |
Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 24 cella sorrend 4 cella | {3,4,3,4} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {4,3,4} | {4,3,4,3} |
| Köbös méhsejt | {4,3,4,3} | {4,3,4} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,4} |
A nem kompakt megoldások Lorentzi-féle Coxeter-csoportokként léteznek, és a hiperbolikus tér (egy alapvető öt cella, amelynek egyes részei a végtelenség miatt elérhetetlenek) nyílt területével jeleníthetők meg. Minden olyan méhsejt, amely nem szerepel a táblázatokban, és amelynek Schläfli szimbólumában nincs 2, nem kompakt.
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A H 4 térben négyféle szabályos csillag alakú méhsejt létezik :
| Név | Schläfli szimbólum { p,q,r,s} |
Facet típusa {p,q,r} |
Cellatípus {p , q} |
Arctípus { p} |
arcforma { s} |
{r,s
} élalak |
Csúcsábra {q , r,s} |
Dupla | Sűrűség _ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Méhsejt egy kis, 120 cellás, csillagozott | {5/2,5,3,3} | {5/2,5,3 | {5/2,5} | {5} | {5} | {3,3} | {5,3,3} | {3,3,5,5/2} | 5 |
| 600 cellás pentagram rendelés | {3,3,5,5/2} | {3,3,5} | {3,3} | {3} | {5/2} | {5.5/2} | {3,5,5/2} | {5/2,5,3,3} | 5 |
| Ikozaéder 120 cellás méhsejt rendelés 5 | {3,5,5/2,5} | {3,5,5/2} | {3,5} | {3} | {5} | {5/2,5} | {5,5/2,5} | {5.5/2.5.3} | tíz |
| Egy nagy, 120 cellás méhsejt | {5.5/2.5.3} | {5,5/2,5} | {5.5/2} | {5} | {3} | {5,3} | {5/2,5,3} | {3,5,5/2,5} | tíz |
Ötdimenziós tér (végtelen szögű 6-poliéder)
Csak egy lapos, szabályos méhsejt található az euklideszi 5-térben: ( fent csempékként szerepelnek) [19]
- {4,3,3,3,4}
Öt lapos, szabályos méhsejt található hiperbolikus 5-térben, mindegyik parakompakt: ( fent csempékként szerepel) [20]
- {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} és {4 ,3,3,4,3}
A hiperkocka méhsejt az egyetlen szabályos méhsejt-család, amely bármilyen dimenziójú (öt vagy több) teret képes csempézni, amelyet hiperkocka -lapok alkotnak , mindegyik (n-2) dimenziós lap körül négy.
| Név | Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n −1 } |
Facet típus |
Vertex figura |
Dupla |
|---|---|---|---|---|
| Négyzet alakú parketta | {4,4} | {4} | {4} | Ön -kettős |
| köbös méhsejt | {4,3,4} | {4,3} | {3,4} | Önálló kettős |
| Tesseact honeycombs | {4,3 2,4 } | {4,3 2 } | {3 2 ,4} | Önálló kettős |
| 5 köbös méhsejt | {4,3 3,4 } | {4,3 3 } | {3 3 ,4} | Önálló kettős |
| 6 köbös méhsejt | {4,3 4,4 } | {4,3 4 } | {3 4 ,4} | Önálló kettős |
| 7 köbös méhsejt | {4,3 5,4 } | {4,3 5 } | {3 5 ,4} | Önálló kettős |
| 8 köbös méhsejt | {4,3 6,4 } | {4,3 6 } | {3 6 ,4} | Önálló kettős |
| n -dimenziós hiperköbös lépek | {4,3 n-2 ,4} | {4,3n −2 } | { 3n-2 ,4} | Önálló kettős |
Az E 5 -ben is vannak nem megfelelő esetek {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3 , 4,3}, {3,4,3,3,2} és {2,3,4,3,3}. E n -ben a {4,3 n−3 ,4,2} és a {2,4,3 n−3 ,4} mindig nem megfelelő euklideszi csempézés.
Hiperbolikus 5-dimenziós tér burkolásaA H 5 -ben 5 normál típusú méhsejt található , mindegyik parakompakt. Ezek végtelen (euklideszi) lapokat vagy csúcsformákat tartalmaznak: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3, 4,3,3,4} és {4,3,3,4,3}.
Egy 5-ös vagy nagyobb dimenziójú hiperbolikus térben két nem kompakt szabályos burkolólap található, a 6-os vagy nagyobb dimenziójú hiperbolikus térben pedig nincs parakompakt szabályos burkolat.
| Név | Schläfli szimbólum { p,q,r,s,t} |
Facet típusa {p,q,r,s} |
4 arc típusú {p,q,r} |
cellatípus {p , q} |
arctípus { p} |
cella alakja {t} |
arcfigura {s , t} |
élfigura {r,s,t
} |
Csúcsábra {q , r,s,t} |
Dupla |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-ortoplex méhsejt | {3,3,3,4,3} | {3,3,3,4} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,3} |
| Huszonnégy cellás méhsejt | {3,4,3,3,3} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {4,3,3,3} | {3,3,3,4,3} |
| 16 sejtes méhsejt | {3,3,4,3,3} | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,4,3,3} | Önálló kettős |
| 24 cella sorrend 4 cella | {3,4,3,3,4} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,4 | {4,3,3,4,3} |
| Tesseact honeycombs | {4,3,3,4,3} | {4,3,3,4 | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,4} |
Mivel n ≥ 5 esetén nincsenek szabályos csillagozott n -politópok, amelyek potenciális sejtek vagy csúcsfigurák lennének , a H n -ben n ≥ 5 esetén nincs több hiperbolikus csillagozott méhsejt .
6-os és nagyobb dimenzió (7-dimenziós végtelen+)
Hiperbolikus 6-dimenziós tér és afölötti burkolásokNincsenek megfelelő kompakt vagy parakompakt burkolólapok 6-os vagy nagyobb méretű hiperbolikus térhez. Minden fel nem sorolt egész érték egy hiperbolikus n - dimenziós tér nem tömör mozaikszerű elrendezését adja.
A poliéderek vegyületei
2D kapcsolatok
Bármely n természetes számhoz létezik egy n csúcsú szabályos csillagsokszög {n/m} Schläfli szimbólummal bármely m < n/2 esetén (szigorúan véve: {n/m}={n/(n−m)} ), ahol m és n viszonylag prím . Ha m és n nem relatív prím, akkor a kapott sokszögnek n / m oldala lesz. Új alakzatot kapunk, ha ezeket az n / m -szögeket egy csúcsponttal elforgatjuk (balra), amíg a forgatások száma el nem éri az n / m mínusz egy számot, és ezeket az elforgatott alakzatokat kombináljuk. Extrém esetben, amikor n / m egyenlő 2-vel, n / 2 szegmensből álló ábrát kapunk. Az ilyen alakzatot degenerált csillagpoligonnak nevezzük .
Más esetekben, amikor n -nek és m -nek közös osztója van, egy kisebb n -es csillagsokszöget kapunk, és az elforgatással kapott változatok kombinálhatók vele. Ezeket az alakzatokat csillagformáknak , helytelen csillagsokszögeknek vagy összetett sokszögeknek nevezik . Gyakran ugyanazt az { n / m } jelölést használják rájuk , bár egyes szerzők, például Grünbaum (1994), (bizonyos minősítéssel) a k { n } alakot részesítik előnyben, mint pontosabbat, ahol általában k = m .
További bonyodalom adódik, ha két vagy több csillagsokszöget kapcsolunk össze, például két pentagramot, amelyek elforgatása 36°-kal különbözik egymástól, és tízszögbe vannak beírva. Helyesebb ebben az esetben, ha k { n / m } formában írunk, esetünkben 2{5/2}, nem pedig a gyakran használt {10/4}.
A kibővített Coxeter-jelölés a sokszögek összekapcsolására: c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, ami azt a d megkülönböztető { p , q -t tükrözi. ,...} együtt lefedi a csúcsokat { m , n ,...} c - szer és a lapokat { s , t ,...} e - szer. Ha nincs érvényes { m , n ,...}, akkor a bejegyzés első része törlésre kerül, így a [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} marad. Ennek ellenkezője, ha nincs helyes { s , t ,...}. A c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} duálisa e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Ha c vagy e egyenlő 1-gyel, akkor ezek elhagyhatók. A sokszögek összekapcsolásához ez a jelölés { nk }[ k { n / m }]{ nk } értékre redukálódik. Például egy hexagram felírható a következőképpen: {6}[2{3}]{6}.
2{2} |
3{2} |
4{2} |
5{2} |
6{2} |
7{2} |
8{2} |
9{2} |
10{2} |
11{2} |
12{2} |
13{2} |
14{2} |
15{2} | |
2{3} |
3{3} |
4{3} |
5{3} |
6{3} |
7{3} |
8{3} |
9{3} |
10{3} |
2{4} |
3{4} |
4{4} |
5{4} |
6{4} |
7{4} |
2{5} |
3{5} |
4{5} |
5{5} |
6{5} |
2{5/2} |
3{5/2} |
4{5/2} |
5 {5/2} |
6 {5/2} |
2{6} |
3{6} |
4{6} |
5{6} | |
2{7} |
3{7} |
4{7} |
2{7/2} |
3 {7/2} |
4 {7/2} |
{7/3}. 2. |
3{7/3} |
4 {7/3} |
2{8} |
3{8} |
2{8/3} |
3 {8/3 | ||
2{9} |
3{9} |
2{9/2} |
3{9/2} |
2{9/4} |
3{9/4} |
2{10} |
3{10} |
2{10/3} |
3{10/3} | |||||
2{11} |
2{11/2} |
2{11/3} |
2 {11/4} |
2. {11/5} |
2{12} |
2. {12/5} |
2{13} |
2 {13/2} |
2 {13/3} |
2 {13/4} |
2. {13/5} |
2 {13/6} | ||
2{14} |
2. {14/3} |
2. {14/5} |
2{15} |
2 {15/2} |
2 {15/4} |
2. {15/7} |
Szabályos térbeli sokszögek is hoznak létre kapcsolatokat, ami az antiprizmák prizmás kapcsolatának élein figyelhető meg , pl.
Tér négyzetek összekötése |
Térbeli hatszögek összekapcsolása |
Térbeli tízszögek összekapcsolása | |
| Két {2}#{ } | Három {2}#{ } | Két {3}#{ } | Két {5/3}#{ } |
3D kapcsolatok
A reguláris politóp kapcsolatokat olyan kapcsolatokként határozhatjuk meg, amelyek a reguláris politópokhoz hasonlóan csúcstranzitívak, éltranzitívak [ en és arctranzitívak . E meghatározás szerint 5 helyes kapcsolat létezik.
| Szimmetria | [4,3], Ó h | [5,3] + , I | [5,3], Ih | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Kettősség | önkettős | Kettős pár | |||
| Kép | |||||
| Gömbölyű | |||||
| Poliéder | csillagozott oktaéder | 5 {3,3} | 10 {3,3 | 5 {4,3} | 5 {3,4} |
| koxéter | {4,3} [2 {3,3} ] {3,4} | {5,3} [5 {3,3} ] {3,5} | 2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5} | 2 {5,3} [5 {4,3} ] | [5 {3.4} ]2 {3.5} |
Az euklideszi síkburkolatok szabályos kapcsolatainak tizennyolc kétparaméteres családja van. Öt egyparaméteres család és tizenhét elszigetelt eset ismert hiperbolikus síkon, de a lista teljessége még nem bizonyított.
A 2 { p , p } euklideszi és hiperbolikus síkok vegyületcsaládjai (4 ≤ p ≤ ∞, p egész szám) hasonlóak a gömb alakú oktaéderekhez , 2 {3,3}.
| Önkettős | Önkettős | Önkettős | |
|---|---|---|---|
| 2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞,∞} |
{{4,4}} vagy a{4,4} vagy {4,4}[2{4,4}]{4,4}  +  vagy
|
[2{6,3}]{3,6} | a{6,3} vagy {6,3}[2{3,6}]  + vagy
|
{{∞,∞}} vagy a{∞,∞} vagy {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4}  +vagy
|
| 3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞,∞} | |
| 2{3,6}[3{6,3}]{6,3} | {3,6}[3{3,6}]2{6,3}++
|
++
| |
Kapcsolatok a 4D térben
| 75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
|---|
A 4-dimenziós térben harminckét szabályos politóp szabályos kapcsolata van, amelyeket Coxeter a Regular Polytopes című könyvében sorol fel : [22]
| Összetett | Szimmetria | Vertex helye | Cellaelrendezés |
|---|---|---|---|
| 120 {3,3,3} | [5,3,3], 14400-as rendelés | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 5 {3,4,3} | [5,3,3], 14400-as rendelés | {3,3,5} | {5,3,3} |
| 1. vegyület | 2. vegyület | Szimmetria | Csúcs helye (1) | Cellaelrendezés (1) | Csúcs helye (2) | Cellaelrendezés (2) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 {3,3,4} [23] | 3 {4,3,3} | [3,4,3], 1152. sz | {3,4,3} | 2{3,4,3} | 2{3,4,3} | {3,4,3} |
| 15 {3,3,4} | 15 {4,3,3} | [5,3,3], 14400-as rendelés | {3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | {5,3,3} |
| 75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], 14400-as rendelés | 5{3,3,5} | 10{5,3,3} | 10{3,3,5} | 5{5,3,3} |
| 75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], 14400-as rendelés | {5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | {3,3,5} |
| 300 {3,3,4} | 300 {4,3,3} | [5,3,3] + , rendelés 7200 | 4{5,3,3} | 8{3,3,5} | 8{5,3,3} | 4{3,3,5} |
| 600 {3,3,4} | 600 {4,3,3} | [5,3,3], 14400-as rendelés | 8{5,3,3} | 16{3,3,5} | 16{5,3,3} | 8{3,3,5} |
| 25 {3,4,3} | 25 {3,4,3} | [5,3,3], 14400-as rendelés | {5,3,3} | 5{5,3,3} | 5{3,3,5} | {3,3,5} |
75 tesseraktumnak két különböző kapcsolata van: az egyik ugyanazokat a csúcsokat használja, mint a 120 cellás, a másik pedig ugyanazokat a csúcsokat, mint a 600 cellás. Ebből következik, hogy a 75 tizenhat sejt megfelelő kettős vegyületei is eltérőek.
| Összetett | Szimmetria | Vertex helye | Cellaelrendezés |
|---|---|---|---|
| 5 {5.5/2.5} | [5,3,3] + , rendelés 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 {5.5/2.5} | [5,3,3], 14400-as rendelés | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| 5 {5/2,5,5/2} | [5,3,3] + , rendelés 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 {5/2,5,5/2} | [5,3,3], 14400-as rendelés | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| Csatlakozás 1 | Csatlakozás2 | Szimmetria | Csúcs helye (1) | Cellaelrendezés (1) | Csúcs helye (2) | Cellaelrendezés (2) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 {3,5,5/2 | 5 {5/2,5,3 | [5,3,3] + , rendelés 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3 | [5,3,3], 14400-as rendelés | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| 5 {5.5/2.3} | 5 {3.5/2.5} | [5,3,3] + , rendelés 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 _ | 10 {3.5/2.5} | [5,3,3], 14400-as rendelés | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| 5 {5/2,3,5 | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3] + , rendelés 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 {5/2,3,5 | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], 14400-as rendelés | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
Tizennégy részlegesen szabályos összekapcsolás is létezik, amelyek vagy vertex-tranzitívak vagy sejttranzitívak, de nem mindkettő. A hét vertex-tranzitív, részben szabályos összekapcsolás duális a hét sejttranzitív, részben szabályos csatlakozással.
| Az 1. vegyület csúcstranzitív |
2. vegyület sejt tranzitív |
Szimmetria |
|---|---|---|
| 2 hexadecimális cella [24] | 2 tesserakt | [4,3,3], 384. sz |
| 100 huszonnégy cella | 100 huszonnégy cella | [5,3,3] + , rendelés 7200 |
| 200 huszonnégy cella | 200 huszonnégy cella | [5,3,3], 14400-as rendelés |
| 5 hatszáz sejt | 5 százhúsz cella | [5,3,3] + , rendelés 7200 |
| 10 hatszáz sejt | 10 százhúsz cella | [5,3,3], 14400-as rendelés |
| A Connection1 csúcs tranzitív |
Join2 cell tranzitív |
Szimmetria |
|---|---|---|
| 5 {3,3,5/2 | 5 {5/2,3,3 | [5,3,3] + , rendelés 7200 |
| 10 {3,3,5/2 | 10 {5/2,3,3 | [5,3,3], 14400-as rendelés |
Az egyetlen szabályos euklideszi méhsejt-kapcsolat a köbös méhsejt -kapcsolatok végtelen családja, amelyek csúcsai és lapjai osztoznak más köbös méhsejtekkel. Ez a kapcsolat tetszőleges számú köbös cellát tartalmazhat. A Coxeter-jelölés: {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.
Kapcsolatok ötdimenziós és magasabb terekben
Az ötdimenziós és hatdimenziós terekben nincsenek helyes kapcsolatok. Három hétdimenziós vegyület (16, 240 és 480 7-simplices ) és hat nyolcdimenziós (16, 240 és 480 okterakt vagy 8- ortoplex ) ismert. Az n -dimenziós térben egy n -dimenziós egyszerűségnek is van egy kapcsolata , feltéve, hogy n eggyel kisebb, mint kettő hatványa, valamint két kapcsolat ( n - dimenziós kockák kapcsolata és n - dimenziós ortoplexek kettős kapcsolata) ) egy n - dimenziós térben, ha n kettő hatványa.
A Coxeter-jelölés ezekre a vegyületekre (ahol α n = {3 n −1 }, β n = {3 n −2 .4 }, γ n = {4.3 n −2 }:
- 7 egyszerűség: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7 , ahol c = 1, 15 vagy 30
- 8-ortoplexek: c γ 8 [16 c β 8 ]
- 8 kocka: [16 c γ 8 ] c β 8
Általános eset (ha n = 2 k és d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):
- Szimplexek: γ n −1 [ d α n −1 ]β n −1
- Ortoplexek: γ n [ d β n ]
- Hiperkockák: [ d γ n ]β n
A szabályos euklideszi méhsejt-kapcsolatok végtelen családja ismert öt és annál nagyobb dimenzióban – olyan hiperköbös lépek kapcsolata, amelyeknek közös csúcsai és felületei vannak más hiperbolikus méhsejtekkel. Ennek a kapcsolatnak tetszőleges számú hiperbolikus cellája lehet. A Coxeter-jelölés ezekre a vegyületekre δ n [ d δ n ]δ n , ahol δ n = {∞} n = 2 esetén és {4,3 n −3 ,4} n ≥ 3 esetén.
Absztrakt poliéder
Az absztrakt poliéder fogalma akkor merült fel, amikor a poliédereket úgy próbálták tanulmányozni, hogy nem kapcsolták össze azokat a geometriai térrel, amelyben elhelyezkednek. Ide tartoznak a gömb alakú, euklideszi és hiperbolikus terek csempézései, más sokaságok csempézései és sok más olyan objektum, amelyeknek nincs jól meghatározott topológiája, hanem „lokális” topológiájuk jellemzi őket. Bármely dimenzióban végtelenül sok absztrakt poliéder létezik. Példákért lásd az atlaszt . Néhány figyelemre méltó példa az elvont szabályos poliéderekre, amelyeket máshol nehéz megtalálni: a tizenegy cellás , {3,5,3} és az ötvenhét cellás , { 5,3,5 }, amelyek szabályos projektív politópokkal rendelkeznek. cellákként és csúcsalakként.
Az absztrakt poliéder elemei a teste (legnagyobb elem), a lapok, az élek, a csúcsok és a nulla poliéder (üres halmaz). Ezek az absztrakt elemek megjeleníthetők a közönséges térben, vagy geometriai alakzatokként vehetők fel. Egyes absztrakt poliédereknek jól formált vagy elfogadható megvalósításai vannak, másoknak nem. A zászló az egyes dimenziók kapcsolódó elemeinek halmaza. Egy négydimenziós poliéder esetében ez egy test, egy lap, ennek a lapnak a széle, az él csúcsa és egy nulla poliéder. Egy absztrakt poliédert szabályosnak mondunk, ha kombinatorikus szimmetriái tranzitívak a zászlóin, azaz bármelyik zászlóját a poliéder szimmetriája bármely másikra lefordíthatja. Az absztrakt szabályos poliéderek a kutatás aktív területei.
Öt ilyen szabályos absztrakt poliédert, amelyeket nem lehet hihetően megvalósítani , Coxeter a Regular Polytopes (1977) című könyvében , majd később JM Wills "The kombinatorally regular polyhedra of index 2" (1987) [25] című cikkében közölt . Topológiailag egy toroidnak felelnek meg . Építésük azáltal, hogy az egyes csúcsok közelébe n lapokat helyeznek el, a végtelenségig folytatható, így a hiperbolikus sík csempézett.
| Poliéder | Középső rombotriakontaéder |
Dodecodedekaéder |
Középső triambikikozaéder |
Bitrigonális dodekaéder |
Hornyolt dodekaéder |
|---|---|---|---|---|---|
| Vertex figura | {5}, {5/2} |
(5,5/2) 2 |
{5}, {5/2} |
(5,5/3) 3 |
|
| Szempontok | 30 gyémánt |
12 ötszög 12 pentagram |
20 hatszög |
12 ötszög 12 pentagram |
20 hexagramm |
| Mozaik | {4, 5 |
{5, 4 |
{6, 5 |
{5, 6 |
{6, 6}{6, 6 |
| χ | −6 | −6 | −16 | −16 | −20 |
Kettős párként jelennek meg:
- A középső rombuszos triakontaéder és a dodekodekaéder kettős egymással.
- A középső triambikikozaéder és a bitrigonális dodekaéder kettős egymással.
- A hornyolt dodekaéder önkettős .
Lásd még
- Poligon
- Poliéder
- Szabályos poliéder (5 szabályos platóni test és 4 Kepler-Poinsot test )
- 4D poliéder
- Szabályos 4-politóp (16 normál 4-politóp, 4 konvex és 10 csillag (Schläfli–Hess))
- Egységes négydimenziós poliéder
- parketta (geometria)
- Az euklideszi sík tessellációja szabályos sokszögekkel
- Konvex egységes méhsejt
- Szabályos többdimenziós poliéder
- Egységes négydimenziós poliéder
- Helyes térkép
Jegyzetek
- ↑ Coxeter, 1973 , p. 129.
- ↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. harminc.
- ↑ Johnson, 2012 , p. 86.
- ↑ Coxeter, 1973 , p. 120.
- ↑ Coxeter, 1973 , p. 124.
- ↑ Az angol szakirodalomban - ferde sokszög, szó szerint - ferde sokszög . Az orosz irodalomban a térbeli sokszög kifejezés gyökeret vert , a ferde poliéder kifejezés pedig a ferde poliéder ( ferde poliéder ) kifejezésnek felel meg . Ez a cikk a ferde poliéder kifejezést használja a 4-es és nagyobb méreteknél.
- ↑ Coxeter, 1973 , p. 66-67.
- ↑ Forrás . Hozzáférés dátuma: 2016. január 10. Az eredetiből archiválva : 2014. november 29.
- ↑ Az angolban a következő neveket használják a poliéderekre: polyhedra - egy háromdimenziós poliéder, polychoron - egy négydimenziós poliéder, polytop - egy 5-ös vagy nagyobb dimenziójú poliéder. Az orosz nyelvben ezekre a fajokra általában a poliéder , néha politóp kifejezést használják .
- ↑ Coxeter (1973 ), I. táblázat: Szabályos politópok, (iii) Három szabályos politóp az n méretekhez ( n>=5), 294–295.
- ↑ Absztrakt szabályos politópok, p. 162-165 [1] Archiválva : 2019. szeptember 15. a Wayback Machine -nél
- ↑ Grünbaum, B.; "Szabályos poliéderek – régi és új", Aeqationes mathematicae , Vol. 16 (1977), 1–20.
- ↑ Coxeter, 1937 , p. 33–62.
- ↑ Coxeter, reguláris és félreguláris politópok II 2.34
- ↑ A dolgok szimmetriája, 2008, 23. fejezet Elsődleges szimmetriával rendelkező objektumok , Végtelen platóni poliéder , pp. 333–335
- ↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. 224.
- ↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. 7E. szakasz.
- ↑ Garner, CWL szabályos ferde poliéder hiperbolikus háromtérben. Kanada. J Math. 19, 1179–1186, 1967. [2] Archiválva : 2015. április 2., a Wayback Machine Megjegyzés: A cikk szerint 32 van, de az egyik önkettős, így 31 marad.
- ↑ 1 2 3 Coxeter, 1973 , p. 296, II. tábla: Szabályos lépek.
- ↑ 1 2 3 4 Coxeter, 1999 , p. 10. fejezet
- ↑ Coxeter, 1956 , p. 213, IV. táblázat.
- ↑ Coxeter, 1973 , p. 305 VII. táblázat.
- ↑ Richard Klitzing, Egységes vegyület, csillagozott ikozitetrachoron Archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél
- ↑ Richard Klitzing, Egységes vegyület, demidistesseract Archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél
- ↑ The Regular Polyhedra (a második indexből) Archiválva : 2016. március 4., a Wayback Machine , David A. Richter
Irodalom
- HSM Coxeter . Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, vol. III. - Amszterdam: North-Holland Publishing Co., 1956. - P. 155-169. . Újranyomva a HSM Coxeterben . 10. fejezet, pp. 199–214 // A geometria szépsége: Tizenkét esszé . - Mineola, NY: Dover Publications, Inc., 1999. - ISBN 0-486-40919-8 . . Lásd különösen a The Beauty of GeometryII., III., IV., V. táblázatát, 212–213.
- HSM Coxeter . Rendszeres politópok. — 3. – Dover Publications, Inc., 1973. Lásd különösen az I. és II. táblázatot: Szabályos politópok és méhsejt, 294–296.
- Norman W. Johnson. Nemzetközi Távolságok és Alkalmazások Matematikai Konferenciája. – 2012. július 2–5., Várna, Bulgária, 2012. – 85–95. o.
- HSM Coxeter. Szabályos ferde poliéder három és négy dimenzióban // Proc. London Math. Szoc.. - 1937. - Szám. 43 . – 33–62 .
- Peter McMullen, Egon Schulte. Absztrakt szabályos politópok. - Cambridge University Press, 2002. - V. 92. - (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). - ISBN 0-521-81496-0 . - doi : 10.1017/CBO9780511546686 .
- DMY Sommerville. Bevezetés az n méret geometriájába. - New York: Dover Publications, Inc., 1958 . Újrakiadás 1930, EP Dutton. Lásd a X. fejezetet: A szabályos politópok.
- Hyperbolic Honeycombs vizualizálása Roice Nelson, Henry Segerman, (2015) [4]
Linkek
- Plátói szilárdtestek
- Kepler-Poinsot testek
- Szokásos 4d politóp kihajtások
- Többdimenziós szószedet (lásd Hexacosichoron és Hecatonicosachoron )
- Polytop Viewer
- Politópok és p pont optimális pakolása n dimenziós gömbben
- Kis szabályos poliéderek atlasza
- Szabályos poliéderek az időben I. Hubard, Politópok, térképek és szimmetriáik
| Fundamentális konvex szabályos és egységes lépek 2-10 méretű térben | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| geometrikus mozaikok | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Időszakos |
| ||||||||
| időszakos |
| ||||||||
| Egyéb |
| ||||||||
| Csúcskonfiguráció szerint _ |
| ||||||||