Az n rendű önburkoló csempe ( eng. setiset ) halmaza n alakzat halmaza, általában lapos, amelyek mindegyike ugyanazon n alakzat kisebb példányaival burkolható. Pontosabban: n figurát n féleképpen lehet összeállítani , nagy másolatokat adva az azonos halmaz figuráiról, és a nagyítási tényező is ugyanaz. Az 1. ábra egy példát mutat n = 4-re, különböző alakú dekaminók használatával. A fogalom általánosítható és nagyobb számok is használhatók. A setsets nevet Lee Sallows adta 2012 -ben [ 1 ] [2] , de az ilyen halmazok megtalálásának problémáját n = 4-re már jóval azelőtt C. Dudley Langford állította fel , és példákat a polyabolo figurákra (megtalálta : Martin Gardner , Wade Philpott és munkatársai) és a Gardner által korábban publikált poliominók (megtalálója: Maurice J. Povah ) [3] .
A fenti definícióból következik, hogy egy n azonos formából álló önburkoló csempe halmaz egy "elválasztó" csempe , amelyre az önburkoló csempe egy általánosítás [4] . Az n különböző alakú halmazt, mint amilyen az 1. ábrán látható, tökéletesnek nevezzük . A 2. ábra egy példát mutat n = 4-re, és ez nem tökéletes , mert a készletben lévő két lapka azonos alakú.
A készletekben lévő alakzatoknak nem kell összefüggő területeknek lenniük. Két vagy több különálló szigetből álló, szétválasztott figurák is megengedettek. Az ilyen ábrákat szétkapcsoltnak vagy gyengén kapcsolódónak tekintjük (ha a szigeteknek van egy közös pontja), amint az a 3. ábrán látható.
A legkisebb számú lapka egy halmazban 2. A 4. ábra a 2. rendű halmazok végtelen családját tartalmazza, amelyek mindegyike két P és Q háromszögből áll . Az ábrán látható módon a háromszögek csuklósan csuklósan állíthatók be, így a csuklópánt körüli forgatás ugyanazokat a P vagy Q (nagyobb) háromszögeket eredményezi. Ezek a háromszögek a csuklópánt vágására szolgálnak példát .
Az öncsempéző csempekészletek tulajdonságai azt jelentik, hogy ezek a csempék helyettesítő tulajdonsággal rendelkeznek , azaz csempét alkotnak , amelyben prototilokat lehet kivágni vagy kombinálni, hogy másolatot készítsenek magukról (kisebb vagy nagyobb). Nyilvánvaló, hogy a csempék kombinálásának megismétlésével egyre nagyobb példányokat kaphatunk (a folyamatot expanziónak nevezzük), vagy egyre kisebbeket (tömörítés), és ezek a folyamatok a végtelenségig folytathatók. Ily módon az önburkoló készletek nem időszakos burkolást képezhetnek. Azonban a talált nem időszakos csempézések egyike sem időszakos , mivel a prototilok kombinálhatók periodikus burkolóanyaggá. Az 5. ábra a 4. sorrendű halmaz bővítésének első két szakaszát mutatja, amely nem időszakos csempézéshez vezet.
Az 1-es hosszúságú hurkokként felfogható öncsempéző készleteken kívül léteznek hosszabb hurkok vagy zárt csempekészlet-láncok, amelyekben mindegyik halmaz az előzőt tesszellálja [5] . A 6. ábra egy pár kölcsönösen csempézett decamino lapkakészletet mutat be, más szóval egy 2 hosszúságú hurkot. Sallows és Schotel kimerítő keresést végzett a 4. sorrendű oktamino lapkák készletei között . A hét szokásos készleten kívül (1-es hosszúságú hurkokkal) meglepően sok olyan készletet találtak, amelyek hossza akár 14 is lehet. A talált hurkok teljes száma körülbelül másfél millió. Az ilyen irányú további kutatások még nem fejeződtek be, de igaznak tűnik, hogy más csempekészletek tartalmazhatnak hurkokat [6] .
Eddig két módszert alkalmaztak a saját burkolt csempekészletek beszerzésére. Abban az esetben, ha a készlet poliomino típusú figurákból áll , amelyekben az alkatrészek száma rögzített, akkor közvetlen számítógépes felsorolással lehet keresni. Könnyen kimutatható, hogy az n lapkák számának négyzetnek kell lennie [4] . Az 1., 2., 3., 5. és 6. ábra ilyen módon talált példák.
Egy másik módszer az "osztó" csempének több példányának kivágása valamilyen módon, ami öncsempéző készletet eredményez. A 7. és 8. ábra az így kapott halmazokat mutatja. Ezekben minden lapka két, illetve három "osztó" lapka uniója. A 8. ábrán láthatja, hogy 9 lapka (fent) hogyan csempészi össze a 3 "osztó" lapkát (alul), míg maga ez a 9 lapka ugyanazon három "elválasztó" lapka kombinálásával jön létre. Így minden csempét úgy kaphatunk, hogy minden formát kisebb csempével burkolunk ugyanabból a 9 lapból álló készletből [4] .
| geometrikus mozaikok | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Időszakos |
| ||||||||
| időszakos |
| ||||||||
| Egyéb |
| ||||||||
| Csúcskonfiguráció szerint _ |
| ||||||||