Háromszögletű mozaik

Háromszögletű mozaik
Típusú	félig szabályos csempézés
Vertex konfiguráció	(3.6) 2
Schläfli szimbólum	r{6,3} vagy h 2 {6,3}
Wythoff szimbólum	2 | 6 3 3 3 | 3
Coxeter-Dynkin diagram	=
Szimmetriák	p6p, [6,3], (*632)
Forgatási szimmetriák	p6, [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333)
Bowers jelölés	Hogy
Kettős méhsejt	rombuszos mozaik
Tulajdonságok	vertex-tranzitive él-tranzitív

A háromszögletű csempézés egyike annak a 11 egységes burkolatnak az euklideszi síkon szabályos sokszögekből [1] . A mozaik szabályos háromszögekből és szabályos hatszögekből áll, amelyek úgy vannak elrendezve, hogy minden hatszöget háromszögek vesznek körül, és fordítva. A burkolólap elnevezése onnan ered, hogy a hagyományos hatszögletű burkolólap és a szabályos háromszögletű burkolás ötvözi . Minden csúcs körül két hatszög és két háromszög váltakozik, és az élek végtelen vonalkonfigurációt alkotnak . A kettős burkolat rombusz alakú [2] .

A mozaikot és helyét a homogén mozaikok osztályozásában Johannes Kepler már 1619- ben megadta Harmonices Mundi [3] című könyvében . A mintát régóta használják a japán kosárfonásban , ahol kagoménak hívták . Ennek a mintának a japán kifejezését fizikusok kölcsönözték, ahol kagome rácsnak nevezték el . A mintázat egyes ásványok kristályszerkezetében található. Conway a hexadeltille (hat-delta-mozaik) nevet használta, a hex-/delta/tille szavak egyes részeit kombinálva [4] .

Kagome

A kagome (籠目) egy hagyományos japán bambusz szövés minta. A név a kago (kosár) és az én (szem) szavak kombinációja, utóbbi a bambuszkosár lyukaira utal.

A Kagome rudak összefonódó konfigurációja, amely háromhatszögletű mozaikmintát alkot. A szövés a kagomé királis tapétacsoport szimmetriáját adja, csoportok p6.

Kagome rácsa

A kagome rács kifejezést egy japán fizikus, az Orosz Tudományos Akadémia külföldi tagja vezette be [5] Koji Fushimi. A kifejezés először egy 1951-es cikkben jelent meg, amelyet Ishirō Shoji írt Fushimi irányításával [6] . A kagome rács ebben az értelemben egy háromhatszögletű burkolólap csúcsaiból és éleiből áll. A névvel ellentétben ezek a metszéspontok nem alkotnak matematikai rácsot .

Egy negyedkocka méhsejt csúcsai és élei által alkotott összekapcsolt 3D-s szerkezet, amely szabályos tetraéderekkel és csonka tetraéderekkel tölti ki a teret, kagome hiperrácsnak nevezik [ 7] . A teret tetraéderekkel és csonka tetraéderekkel kitöltő negyedköbös lépek csúcsai és élei képviselik . A szerkezet négy párhuzamos síkot tartalmaz, és mindegyik sík egy kétdimenziós kagome rács. Egy másik, háromdimenziós térbeli ábrázolásnak párhuzamos szintjei vannak a kétdimenziós rácsoknak, és ezt ortorombikus kagome-rácsnak nevezik [7] . A háromszögletű prizmás lépek a rács éleit és csúcsait képviselik.

Egyes ásványok , nevezetesen a jarosit és a herbertsmitit , kétdimenziós rácsokat vagy háromdimenziós kagome-rácsokat tartalmaznak, amelyek kristályszerkezetben lévő atomokból alakulnak ki . Ezek az ásványok a geometriai frusztrációs mágnesekkel kapcsolatos fizikai tulajdonságokat mutatják . Például a mágneses ionok spin-eloszlása ​​Co 3 V 2 O 8 -ban kagome-rács formájában van elrendezve, és alacsony hőmérsékleten elképesztő mágneses viselkedést mutat [8] . A kifejezést ma már széles körben használják a tudományos irodalomban, különösen az elméleti kagome-rács mágneses tulajdonságainak elméleti tanulmányozásában.

Szimmetria

A háromhatszögletű burkolólapon az r{6,3} Schläfli-szimbólum és a Coxeter-Dynkin diagram látható , ami azt a tényt szimbolizálja, hogy a csempe teljesen csonka hatszögletű burkolólap , {6,3}. Szimmetriái a p6mm , (*632) [9] tapétacsoporttal írhatók le . A csempézés Wythoff konstrukciójával nyerhető e csoport alapvető reflexiós régióiból . A háromhatszögletű burkolólap egy kváziszabályos burkolat, amely kétféle sokszöget váltakozik, és csúcskonfigurációja (3.6) 2 . A csempézés is egységes csempézés , egyike annak a nyolcnak, amely szabályos hatszögletű burkolásból származik.

Egységes színezések

A háromszögletű burkolólapnak két különböző egységes színe van . Ennek a két színezésnek, ha színindexet adunk meg egy csúcs körüli 4 laphoz (3.6.3.6), 1212 és 1232 indexkészlettel rendelkezik [10] . A második színezést ferde hatszögletű burkolásnak nevezzük , h 2 {6,3}, két háromszög színnel a p3m1 tapétacsoport szimmetriájából (*333) .

Szimmetria	p6p, (*632)	p3p, (*333)
Színezés
alapvető terület
Wythoff szimbólum	2 | 6 3	3 3 | 3
Coxeter -Dynkin diagram		=
Schläfli szimbólum	r{6,3}	r{3 [3] } = h 2 {6,3}

Topológiailag egyenértékű csempézések

Egy háromhatszögletű burkolólap geometriailag ívelt topológiailag egyenértékű, alacsonyabb szimmetriafokú burkolólapokká [10] . A mozaik ezen változataiban az élek nem feltétlenül szegmensek (lehet ívelni).

Kapcsolódó kvázi szabályos burkolások

A háromhatszögletű burkolólap a (3. n ) 2 csúcskonfigurációjú kvázi szabályos burkolólapok szimmetriasorozatában van jelen, amely egy gömbön lévő csempékkel kezdődik, az euklideszi síkra megy, és átmegy a hiperbolikus síkra. Orbifold jelöléssel* n 32 szimmetria esetén mindezen csempézéseket a Wythoff-konstrukció hozza létre egy alapszimmetria - régióval és egy generátorponttal a tartomány derékszögű csúcsánál [11] [12] .

Kapcsolódó szabályos összetett végtelen

2 szabályos összetett végtelen van, amelyeknek ugyanazok a csúcsai, mint a háromhatszögletű csempének. A reguláris összetett végteleneknek csúcsai és élei vannak, míg az éleknek 2 vagy több csúcsa lehet. A p { q } r reguláris végtelenek (apeirogonok) a korlátozó egyenlőséggel rendelkeznek: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Az éleknek p csúcsa van, amelyek szabályos sokszögszerűen vannak elrendezve , és a csúcsalakzatok r -gonálisak [13 ] .

Az első végtelen háromszög alakú élekből áll, két háromszög minden csúcs körül, a második hatszögletű élekkel, két hatszög minden csúcs körül.

3{12}2 vagy	6{6}2 ill

Lásd még

• perkolációs küszöb
• Dávid csillaga
• Háromszögletű prizmás lépek

Jegyzetek

1. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 . Lásd különösen: 2.1.3. Tétel az 59. oldalon (homogén burkolólapok osztályozása), 2.1.5. ábra a 63. oldalon (a burkolólap illusztrációja), 2.9.1. Tétel a 103. oldalon (színes burkolólapok osztályozása), 2.9. ábra. 2 a 105. oldalon (színes burkolólapok illusztrációja), 2.5.3(d) ábra a 83. oldalon (topológiailag ekvivalens csillagcsempe), és 4.1.3. gyakorlat a 171. oldalon (a három- és kétszögletű burkolólapok topológiai egyenértékűsége).
2. ↑ Williams, 1979 , p. 38.
3. ↑ Kepler, 1997 , p. 104–105.
4. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , p. 288.
5. ↑ Fushimi Koji. | IS ARAN . Letöltve: 2021. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2021. június 4. (határozatlan)
6. ↑ Mekata, 2003 , p. 12–13.
7. ↑ 1 2 Lawler, Kee, Kim, Vishwanath, 2008 .
8. ↑ Yen, Chaudhury, Galstyan et al., 2008 , p. 1487–1489
9. ↑ Steurer, Deloudi, 2009 , p. húsz.
10. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1987 .
11. ↑ Coxeter, 1973 .
12. ↑ Kétdimenziós szimmetriamutációk Daniel Husontól
13. ↑ Coxeter, 1991 , p. 111-112, 136.

Irodalom

• Robert Williams. A természetes szerkezet geometriai alapjai: A tervezés forráskönyve . - New York: Dover Publications , 1979. -  32. o . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , Shephard GC burkolólapok és minták. - New York: W. H. Freeman, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Johannes Kepler. A világ harmóniája – Johannes Kepler / Aiton EJ, Duncan AM, Field JV. - Amerikai Filozófiai Társaság, 1997. - T. 209. - S. 104-105. - (Az Amerikai Filozófiai Társaság emlékiratai). — ISBN 9780871692092 .
• Coxeter HSMD szabályos komplex politópok . — 2. - New York, Port Chester, Melburne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - P.  111-112 , 136. - ISBN 0-521-39490-2 .
• Coxeter HSMD V. fejezet: A kaleidoszkóp, szakasz: 5.7 Wythoff konstrukciója // Szabályos politópok . - Harmadik kiadás. - Doveri kiadás, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. 21. fejezet: Arkhimédeszi és katalán poliéderek és burkolólapok elnevezése; Euklideszi sík tesszellációk // A dolgok szimmetriái. - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - P. 288. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Mamoru Mekata. Kagome: A kosárfonó rács története // Fizika ma. - AIP Publishing, 2003. - február ( 56. évf. , 2. szám ). — S. 12–13 . - doi : 10.1063/1.1564329 . — Iránykód .
• Michael J. Lawler, Hae-Young Kee, Yong Baek Kim, Ashvin Vishwanath. Topológiai spin folyadék a Na 4 Ir 3 O 8 hiperkagóm rácsán  // Physical Review Letters. - 2008. - június ( 100. évf. , 22. szám ). - doi : 10.1103/physrevlett.100.227201 . - . - arXiv : 0705.0990 .
• Yen F., Chaudhury RP, Galstyan E., Lorenz B., Wang YQ, Sun YY, Chu CW A Kagome lépcsőház Co 3 V 2 O 8 mágneses fázisdiagramjai  // Physica B: Condensed Matter. - 2008. - T. 403 . - S. 1487-1489 . - doi : 10.1016/j.physb.2007.10.334 . - . - arXiv : 0710.1009 .
• Dale Seymour, Jill Britton. Bevezetés a Tessellationsbe . - 1989. - S.  50-56 . — ISBN 978-0866514613 .
• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Kvazikristályok krisztallográfiája: fogalmak, módszerek és szerkezetek . - Springer, 2009. - T. 126. - P. 20. - (Springer sorozat az anyagtudományban). — ISBN 9783642018992 .