Rombikus mozaik

Rombikus mozaik
Típusú Laves mozaik
Coxeter diagram CDel node.pngCDel 3.pngCDel csomópont f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel csomópont h1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel csomópont f1.png
Szempontok gyémántok 60°-120°
Arckonfiguráció V3.6.3.6
Szimmetria csoport p6m, [6,3], *632
p3m1, [3 [3] ], *333
Rotációs csoport p6, [6,3] + , (632)
p3, [3 [3] ] + , (333)
dupla háromhatszögű mozaik
Tulajdonságok él-tranzitív
arc-tranzitív

Rombos csempézés [1] , billenő tömbök [2] , megfordítható kockák vagy köbös rács  - az euklideszi síkon 60°-os szöget bezáró, azonos rombuszok burkolása . Minden rombusznak két 60°-os és két 120°-os szöge van. Az ilyen rombuszokat néha gyémántoknak is nevezik . A három rombuszból álló halmazok 120°-os, a hatosak pedig 60°-os szögű csúcsokkal érintkeznek.

Tulajdonságok

A rombusz alakú burkolólap felosztott hatszögletű burkolólapnak tekinthető, amelyben minden hatszög három rombuszra van osztva , amelyeknek közös csúcsa van a hatszög közepén. Ez a felosztás egy szabályos összefüggő csempézést jelent . Négy hatszögletű burkolólap felosztásának is tekinthető, amelyben a hatszögek 12 rombuszra vannak osztva.

A rombusz átlói 1:√3 arányban állnak egymással. A rombusz alakú burkolólap a háromhatszögletű csempe vagy kagome rács kettőse . Az egységes csempézés kettős burkolataként ez a tizenegy lehetséges Laves csempézés egyike , csúcskonfigurációját pedig [3.6.3.6] [4] -ként jelöljük .

A csempézés egyben az 56 lehetséges négyszögletes izoéder burkolás egyike [5] és egyike annak a síknak a 8 burkolatának, amelyben bármely él a csempe szimmetriatengelyén fekszik [6] .

Egy háromdimenziós egész rács részhalmazába rombuszos csempét ágyazhatunk be oly módon, hogy két csúcs akkor és csak akkor szomszédos, ha a rács megfelelő pontjai egységnyi távolságra vannak egymástól. Pontosabban, ha a mozaik két csúcsa közötti legrövidebb út éleinek száma megegyezik a megfelelő rácspontok közötti várostömbök távolságával . Így a rombuszos csempézés egy végtelen egységtávolság-gráf és egy részkocka példájának tekinthető [7] .

Alkalmazás a művészetben

A rombuszos csempézés egy kockahalmaz izometrikus vetületeként értelmezhető két különböző módon, amelyek a Necker-kockához ] társított megfordítható alakzatokat reprezentálják . Ezt a jelenséget „visszafordítható kockák” illúziónak nevezik [8] .

A Metamorphoses I , Metamorphoses II és Metamorphoses III fametszeteiben Escher a mozaiknak ezt az értelmezését használja a kétdimenziós formákból háromdimenziós formákká való átalakuláshoz [9] . Másik művében, a Ciklusban (1938) Escher a mozaik kétdimenziós és háromdimenzióssága közötti belső ellentmondással játszik – a rajzon olyan épületek láthatók, amelyek építészeti elemei nagy méretű kockatömbök, tetejükön pedig terasz, kikövezett. rombuszos mozaikkal. Az udvarról a kockákon leereszkedő emberi alakok stilizálttá és lapossá válnak [10] . Ezek a művek a mozaiknak csak egy 3D-s értelmezését használják, de a Convex and Concave Escher megfordítható figurákkal kísérletez, és megfordítható kockák képét is tartalmazza egy zászlón [11] .

A rombuszos mozaikot parkettára [12] és padló- vagy falburkolólapként is használják, néha a rombuszok alakjának megváltoztatásával [13] A rombuszminta egy ősi mozaikpadlón található a görög Delosban [14] és századi olasz padló [15] , bár a sienai székesegyház mozaikjának csempéi későbbi gyártásúak [16] . A steppelt anyag az 1850-es évektől ismert "bukókövek" mintázatként, amely a kétdimenziós háromdimenziós értelmezés okozta vizuális disszonanciát fejezi ki [2] [15] [17] . Ennek a mintának sok más neve is van, mint például a mennyei létra és a Pandora szelencéje [17] . Úgy tartják, hogy ezt a mintát jelzésként használták a földalatti vasúton  – amikor a rabszolgák látták, hogy felakasztják a kerítésen, összeszedték a holmijukat és elrejtőztek [18] . Ezekben a dekoratív mintákban többféle színű gyémánt is használható, de általában három árnyalatot használnak, a világosabb gyémántokat vízszintes hosszú átlókkal és a másik két irányban sötétebbeket, ami fokozza a háromdimenziós hatásukat. Az angol heraldikában egy rombusz- és háromszögletű mozaik előfordulása ismert  - a Geal / e hadsereg címerén [19] .

Topológiailag egyenértékű csempézések

A rombikus mozaikok néha kisebb fokú szimmetriával készülnek. Például a következő két lehetőség. Néha ezeket a változatokat kockamozaikoknak nevezik a szögben látható háromdimenziós egymásra rakott kockák illúziójára .

Egyéb alkalmazások

A rombusz alakú burkolás felfogható két különböző hatszögletű burkolólap egymásra helyezésének eredményeként, amelyeket úgy tolnak el, hogy az egyik burkolólap csúcsai a másik burkolat hatszögeinek középpontjában helyezkedjenek el. Ebben a formában egy rombusz alakú burkolólap segítségével blokkos cellás automatát lehet létrehozni , amelyben a burkolórombuszok az automata cellák, és két burkolólap hatszögei váltakozó automata lépésekben blokkként szolgálnak. Ebben az összefüggésben a gépet "Q*bert mezőnek" nevezik, a Q* bert videojáték után , amelyben a játéktér úgy néz ki, mint egy kockák piramisa. A Q*bert mezővel egy univerzális rendszert támogathatunk biliárd számítógép szimulálásával [20] .

A kondenzált anyag fizikában a rombusz alakú burkolólapokat köbös rácsnak vagy kettős kagom rácsnak nevezik . Ez egyike annak a számos ismétlődő szerkezetnek, amelyeket az Ising-modell és a kétatomos kristályok spin - kölcsönhatásainak összekapcsolt rendszereinek tanulmányozására használtak [21] , és tanulmányozták a perkolációs elméletben is [22] .

Szimmetria

A rombusz alakú burkolólapnak *632 szimmetriája van, de a csúcsok váltakozó színekkel színezhetők, ami *333 szimmetriát eredményez.

Kép
(2 szín)
(3 színben)
Szimmetria p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3 [3] ], (*333)
koxéter CDel node.pngCDel 6.pngCDel csomópont f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel 3.pngCDel 3.pngCDel csomópont f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel csomópont f1.pngCDel 3.pngCDel 3.png=CDel csomópont h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel csomópont f1.png

Kapcsolódó poliéderek és burkolólapok

A rombusz alakú burkolólap a háromhatszögletű burkolólap kettőse , ezért a homogén kettős burkolólapok halmazába tartozik. Ugyancsak része a rombusz alakú poliéderek és csempék sorozatának a Coxeter szimmetriacsoporttal [n,3], amely egy kockával kezdődik, amely rombusz hatszögnek tekinthető, és négyzetek rombuszként szolgálnak. Ennek a sorozatnak az n -edik eleme az arc konfigurációja V3.n.3.n.

Kettős kettős kváziszabályos burkolólapok szimmetriái: V(3.n) 2
Gömbölyű euklideszi Hiperbolikus
*n32 *332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Mozaik
Konf. V(3.3) 2 V(3.4) 2 V(3.5) 2 V(3.6) 2 V(3.7) 2 V(3.8) 2 V(3.∞) 2

A rombuszos csempézés a sík rombuszokkal való burkolásának egyik módja. Mások közé tartozik

négyzet parketta lapos változata (párhuzamos áthelyezéssel) a Miura-ori merev hajtogatási sémában használt mozaik (váltakozó párhuzamos fordítások és reflexiók) Penrose burkolólap , amely kétféle, 36°-os és 72°-os hegyesszögű rombuszokat használ periodikusan , valamint egyéb időszakos burkolólapokat

Ezek mellett található a Szfinx mozaik , amely, mint egy rombusz alakú mozaik, hatszögletű mozaik alapja .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 , p. 288.
  2. ↑ 12 Smith, 2002 .
  3. ↑ Guy, Woodrow, 1996 , p. 79.
  4. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 .
  5. ↑ Grünbaum és Shephard 1987 , p. 477. ábra. 9.1.2, Mozaik P 4 -42.
  6. ↑ Kirby, Umble, 2011 , p. 283–289.
  7. ↑ Deza, Grishukhin, Shtogrin, 2004 , p. 150.
  8. ↑ Warren, 1919 , p. 262.
  9. ↑ Kaplan, 2008 , p. 39–46.
  10. ↑ Escher, 2001 , p. 29–30.
  11. ↑ 2003. május , p. 130–141.
  12. ↑ Schleining, O'Rourke, 2003 , p. 58.
  13. ↑ Tessellation Tango archiválva : 2019. december 30., a Wayback Machine , The Mathematical Tourist, Drexel Egyetem, letöltve: 2012-05-23.
  14. ↑ Dunbabin, 1999 , p. 32.
  15. ↑ 1 2 Tatem, 2010 , p. 115.
  16. ↑ Wallis, 1902 , p. xxv.
  17. ↑ 12 Fowler , 2008 .
  18. ↑ Tobin, Dobard, 2000 , p. 81.
  19. ↑ Aux armes: symbolism Archivált : 2016. március 4., a Wayback Machine , Symbolism in arms, Pleiade, letöltve: 2013-04-17.
  20. ↑ A Q*Bert környék Archivált 2012. június 4-én a Wayback Machine -nél , Tim Tyler.
  21. ↑ Fisher, 1959 , p. 969–981.
  22. ↑ Yonezawa, Sakamoto & Hori, 1989 , p. 636–649.

Irodalom

További olvasnivalók

 geometrikus mozaikok
Időszakos
időszakos
Egyéb
Csúcskonfiguráció szerint _
Gömbölyű
helyes
félig
helyes
Hiperbolikus
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3,4,6 2,4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3.14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4.14 2
  • 4.16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5.8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6.16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8.6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2