ikozidodekaéder |
Csúcsfigura , 3.5.3.5 vagy (3.5) 2 |
A csúcskonfiguráció [1] [2] [3] egy poliéder csúcsalakjának vagy egy csúcs körüli lapok sorozataként történő megjelenítésének rövidítése . Egy homogén poliéder esetében csak egyféle csúcs létezik, ezért a csúcskonfiguráció teljesen meghatározza a poliédert. ( A királis poliéderek tükörpárokként léteznek azonos csúcskonfigurációval.)
A csúcskonfiguráció olyan számsorozatként van megadva, amely a csúcsot körülvevő lapok oldalainak számát reprezentálja. Az " abc " jelölés egy olyan csúcsot jelöl, amelynek három lapja van körülötte, és ezeknek a lapoknak a , b és c oldala (éle) van.
Például a "3.5.3.5" olyan csúcsot jelöl, amely négy laphoz, váltakozó háromszögekhez és ötszögekhez tartozik . Ez a csúcskonfiguráció egy csúcs-tranzitív ikozidodekaédert határoz meg . A jelölés ciklikus, így a kiindulási pont nem számít. Tehát a 3.5.3.5 ugyanaz, mint az 5.3.5.3. A sorrend fontos, ezért a 3.3.5.5 nem ugyanaz, mint a 3.5.3.5. (Az első esetben két szomszédos háromszöget két ötszög követ.) Az ismétlődő elemeket felülírással csökkenthetjük, így példánkat (3.5) 2 -ként írhatjuk fel .
A csúcskonfiguráció kifejezés mellett a különböző források a csúcsleírás (vertex description) [4] [5] [6] , vertex type (vertex type) [7] [8] , vertex symbol (vertex symbol) [9 ] kifejezéseket is használják. ] [10] , csúcselrendezés (csúcs-elrendezés) [11] , csúcsminta (csúcsminta) [7] , arc-vektor (felületvektor) [12] . A csúcskonfiguráció a Candy és a Rollett szimbólum kifejezést is használja , mivel a csúcskonfigurációt használták az archimédeszi szilárdtestek leírására 1952-ben megjelent Mathematical Models [ 13 ] [ 14] [15] [16] könyvükben .
Egy csúcskonfiguráció ábrázolható sokszögű csúcsfiguraként , amely a csúcs körüli éleket mutatja. Ez a csúcsfigura 3-dimenziós szerkezetű, mivel a lapok nincsenek ugyanabban a síkban, de a csúcs-uniform poliédereknél az összes szomszédos csúcs ugyanabban a síkban van, így az ortogonális vetítést használhatja a csúcskonfiguráció vizuális ábrázolására .
{3,3} = 3 3 Hiba 180° |
{3,4} = 3 4 Hiba 120° |
{3,5} = 3 5 Hiba 60° |
{3,6} = 3 6 |
{4,3} Hiba 90° |
{4,4} = 4 4 |
{5,3} = 5 3 Hiba 36° |
{6,3} = 6 3 |
| A csúcsnak legalább 3 lappal kell rendelkeznie, és a csúcsnak van egy sarokhibája . A 0°-os szöghiba lehetővé teszi a sík szabályos mozaikkal való lefedését. Descartes tétele szerint a csúcsok száma 720°/ hiba (4 π radián/ hiba ). | |||
Másfajta jelölést használnak, néha vesszővel (,), néha ponttal (.) elválasztva. Felsõ index is használható. Például a 3.5.3.5-öt néha úgy írják, hogy (3.5) 2 .
A jelölés a szabályos poliéder Schläfli szimbólumának kiterjesztett formájának tekinthető . A {p, q} Schläfli jelölés q p -gonokat jelent minden csúcs körül. Tehát a {p, q} felírható ppp… ( q - szer) vagy p q -ként . Például az ikozaéder {3,5} = 3.3.3.3.3 vagy 3 5 .
Ez a jelölés a sokszögű burkolásra és a poliéderekre egyaránt vonatkozik. A lapos csúcskonfiguráció egységes csempézést jelent, ahogy a nem sík csúcskonfiguráció egységes poliédert jelent.
A megnevezés nem egyedi a királis fajokra. Például egy snub kockának olyan alakzatai vannak, amelyek tükrözve azonosak. Mindkét alakzatnak van csúcskonfigurációja 3.3.3.3.4.
A megjelölés a nem konvex szabályos lapokra, csillag sokszögekre is vonatkozik . Például a pentagramnak az {5/2} szimbóluma van, ami azt jelenti, hogy a sokszögnek 5 oldala van, amelyek kétszer körbejárják a középpontot.
Például van 4 szabályos csillagpoliéder szabályos sokszög vagy csillagcsúcs alakzatokkal. A kis csillagozott dodekaédernek van egy Schläfli-szimbóluma {5/2,5}, amely az 5/2,5/2,5/2,5/2,5/2 explicit csúcskonfigurációvá bontakozik ki, amelyet (5/2) 5 -ként ábrázolhatunk . Az {5/2,3} jelű nagy csillagképű dodekaéder háromszög alakú csúcsalakja és konfigurációja (5/2,5/2,5/2) vagy (5/2) 3 . Az {5,5/2} jelű nagy dodekaédernek van egy (5.5.5.5.5)/2 vagy (5 5 )/2 csúcskonfigurációjú pentagram csúcsalakja . A {3,5/2} jelű nagy ikozaédernek is van egy (3.3.3.3.3)/2 vagy (3 5 )/2 csúcskonfigurációjú pentagram csúcsa.
| {5/2,5} = (5/2) 5 | {5/2,3} = (5/2) 3 | 3 4 .5/ | 3 4 .5/ | (3 4 .5/2)/2 |
|---|---|---|---|---|
| {5,5/2} = (5 5 )/2 | {3,5/2} = (3 5 )/2 | V.3 4.5/2 [ | V3 4.5/3 [ | V(3 4 .5/2)/2 |
A félig szabályos politópok csúcskonfigurációja pozitív sarokhibával rendelkezik .
Megjegyzés : A csúcsfigura egy szabályos vagy félig szabályos csempézést ábrázolhat a síkban, ha a hibája nulla. Egy csúcsfigura reprezentálhat egy csempét egy hiperbolikus síkon, ha a hibája negatív.
Egyenletes poliédereknél a sarokhibával kiszámolható a csúcsok száma. Descartes tétele kimondja, hogy a topológiai gömb összes szöghibájának összege 4 π radiánnak vagy 720°-nak kell lennie.
Mivel egy egyenletes poliéder minden csúcsa azonos, ez az arány lehetővé teszi a csúcsok számának kiszámítását, amely egyenlő a 4 π / hiba vagy 720° / hiba hányadossal .
Példa: A 3.8.8 csonka kocka sarokhibája 30°. Tehát a poliédernek 720/30 = 24 csúcsa van.
Ebből különösen az következik, hogy az { a , b }-nek 4 / (2 - b (1 - 2/ a )) csúcsa van.
Egy csúcs bármely numerikus konfigurációja potenciálisan egyedileg határoz meg egy félszabályos poliédert. Azonban nem minden konfiguráció lehetséges.
A topológiai követelmények korlátozzák a poliéder létezését. Konkrétan a pqr azt jelenti, hogy egy p - gont felváltva q -gonok és r -gonok vesznek körül , tehát vagy p páros, vagy q egyenlő r -rel . Hasonlóképpen q páros, vagy p egyenlő r -rel , r páros, vagy p egyenlő q -val . Tehát a potenciális hármasok: 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (bármely n >2 esetén), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Valójában ezek a konfigurációk, amelyekben három lap találkozik egy csúcsban, létezik.
Hasonlóképpen, ha négy lap találkozik ugyanabban a csúcsban, pqrs , ha egy szám páratlan, a többinek egyenlőnek kell lennie.
A zárójelben lévő szám a sarokhibából számított csúcsok száma.
Hármasok
négyes
Ötös
Hatosok
A kettős vagy az egységes poliéderek a katalán testek , beleértve a bipiramisokat és a trapézédereket is, függőlegesen szabályosak ( arc-tranzitívak ), ezért hasonló jelöléssel azonosíthatók, amelyet néha lapkonfigurációnak is neveznek [2] . Cundy és Rollett ezeket a kettős jelöléseket az V jellel látja el. Ezzel szemben a Tilings and Patterns [17] című könyv szögletes zárójeleket használ az izoéderes burkoláshoz.
Ez a jelölés az egyes csúcsok közelében lévő lapok egymás utáni számát jelenti egy lap körül [18] . Például a V3.4.3.4 vagy V(3.4) 2 egy rombikus dodekaédert jelöl, amely laptranzitív – bármely lap rombusz , és a rombusz váltakozó csúcsai 3 vagy 4 lapot vesznek körül.