Egy poliéder vagy egy csúcsalak csúcskapcsolata egy eggyel kisebb dimenziójú poliéder, amelyet az eredeti poliéder egy szakaszán egy csúcsot levágó síkkal kapunk. Egy csúcshivatkozás különösen az egy csúcs körüli poliéderlapok sorrendjére vonatkozó információkat tartalmaz.
Ha a poliéder valamelyik csúcsát veszed, jelölj meg valahol minden szomszédos élen egy pontot, rajzolj a lapokra szegmenseket, összekötve a kapott pontokat, így egy teljes ciklust (sokszöget) kapsz a csúcs körül. Ez a sokszög a csúcshivatkozás.
A formális definíció a körülményektől függően nagyon eltérő lehet. Például Coxeter (1948, 1954) megváltoztatta a definícióját, hogy megfeleljen a jelenlegi vitának. Az alábbiakban megadott link definíciók többsége egyformán jól illeszkedik mind a síkbeli végtelen csempézésekhez , mind a poliéderek térbeli burkolásához .
Ha egy poliéder csúcsát úgy vágja le, hogy a csúcsgal szomszédos éleket metszi, a vágási felület egy link lesz. Talán ez a leggyakoribb és legérthetőbb megközelítés. A különböző szerzők különböző helyeken vágnak bele. Wenninger [1] [2] minden élt a csúcstól egységnyi távolságra levág, akárcsak Coxeter (1948). Az egységes poliédereknél Dorman Luke konstrukciója minden szomszédos élt középen metsz. Más szerzők az egyes élek másik oldalán lévő csúcson keresztül vágnak [3] [4] .
Cromwell [5] egy gömb alakú metszetet készít, amelynek középpontja a csúcson van. A metszetfelület vagy kapcsolat tehát egy gömb alakú sokszög ezen a gömbön.
Sok kombinatorikus és számítási megközelítés (például Skilling [6] ) egy hivatkozást egy adott csúcshoz tartozó összes szomszédos (éllel összefüggő) csúcs pontjainak rendezett (vagy részben rendezett) halmazának tekint.
Az absztrakt poliéderek elméletében egy adott V csúcs linkje a csúcsra eső összes elemből áll – csúcsokból, élekből, lapokból stb.
Ezt az elemkészletet csúcscsillagnak nevezik .
Egy n -politóp csúcsának linkje egy ( n − 1)-politóp. Például egy 3-politóp csúcshivatkozása egy sokszög , a 4-politóp linkje pedig egy 3-politóp.
A hivatkozások a leghasznosabbak az egységes politópoknál , mivel minden csúcs ugyanazon a hivatkozáson osztozik.
Nem domború poliédereknél a kapcsolat lehet nem konvex is. Az egységes poliédereknek például lehetnek csillagozott sokszögek az oldalai, de a hivatkozások is lehetnek csillagozottak.
A duális poliéder lapja duális a megfelelő csúcs linkjével.
Ha a poliéder szabályos, akkor a Schläfli szimbólummal írható le , ebből a jelölésből kinyerhető az arc és a link szimbólum.
Általános esetben egy { a , b , c ,..., y , z } Schläfli-szimbólumú szabályos poliédernek vannak (legmagasabb dimenziójú) { a , b , c ,..., y } lapjai, és a link a következő lesz: { b , c ,..., y , z }.
Mivel a szabályos politóp kettős politópja is reguláris, és a Schläfli-szimbólumban fordított indexekkel jelöljük, könnyen érthető, hogy a csúcs linkjéhez fűződő duális alak a duális politóp cellája . A szabályos poliéderek esetében ez a tény Dorman Luke konstrukciójának speciális esete .
A csonka köbös lépek csúcsának láncszeme egy heterogén négyzet alakú piramis . Az egyes csúcsok közelében elhelyezkedő egy oktaéder és négy csonka kocka térbeli mozaikot alkot .
| Csúcslink : Nem egyenletes négyzet alakú piramis | Schlegel diagram |
perspektíva |
| Az oktaéder négyzetes alapjából alakult ki | (3.3.3.3) | |
| és egy csonka kocka négy egyenlő szárú háromszögű oldala | (3.8.8) |
A hivatkozáshoz kapcsolódó másik fogalom az élhivatkozás . Az éllink egy ( n − 2)-politóp, amely egy adott él körül (az adott éllel szomszédos) n − 1 dimenziós lapok elrendezését reprezentálja . Az élhivatkozás egy csúcshivatkozás csúcshivatkozása [7] . Az élhivatkozások hasznosak a szabályos és egységes poliéderek elemei közötti kapcsolatok kifejezésére.
Az egy aktív tükör reflexiójából származó szabályos és egyenletes politópoknak egyetlen típusú élkapcsolatuk van, de általában egy egységes politópnak annyi kapcsolata lehet, ahány tükör aktív felépítéskor, mivel minden aktív tükör élt hoz létre az alapterületen.
A szabályos poliédereknek (és a méhsejteknek) egyetlen éle van, amely szintén szabályos. Egy szabályos politóp { p , q , r , s ,..., z } esetén az élhivatkozás { r , s ,..., z } lesz.
A 4D-s térben egy poliéder vagy 3D méhsejt peremlinkje egy sokszög, amely az él körüli lapok elrendezését ábrázolja. Például egy szabályos kocka alakú méhsejt { 4,3,4 } peremlinkje egy négyzet , míg egy szabályos négydimenziós { p , q , r } poliéder éllinkje { r } lenne .
Kevésbé nyilvánvaló, hogy a csonka köbös méhsejt t 0,1 {4,3,4} link csúcsa négyzet alakú gúla . Itt kétféle élhivatkozás létezik . Az egyik a piramis tetején lévő él négyzet alakú láncszeme, amely megfelel a négy csonka kockának a perem körül. A második lap a piramis alján lévő háromszögek. Két csonka kocka és egy oktaéder elrendezését jelentik a többi él körül.