Méhsejt (geometria)

A méhsejt  a tér nem metsző poliéderekkel való kitöltése , amelyben nincs kitöltetlen tér. Ez a mozaik vagy parketta matematikai fogalmának általánosítása bármely dimenzióra.

A méhsejt általában a szokásos euklideszi ("lapos") térben tartják. Nem euklideszi terekben is kialakíthatók , például a hiperbolikus méhsejtben . Bármely véges egyenletes poliéder kivetíthető a kerületére , így egyenletes méhsejt jön létre a gömb térben.

Osztályozás

Végtelenül sok sejt létezik, és csak részben osztályozhatók. A legszokványosabb burkolások kapják a legnagyobb érdeklődést, bár a többi burkolóanyag gazdag és széles skáláját újra és újra felfedezik.

A legegyszerűbb méhsejteket parkettákból síkban épített prizmarétegekből alakítják ki . Különösen bármely paralelepipedon másolatai tölthetik ki a teret, a köbös méhsejt pedig speciális eset, mivel egyedül alkotnak szabályos lépeket a közönséges (euklideszi) térben. Egy másik érdekes példa a Hill-tetraéder és általánosításai, amelyek szintén mozaikot alkotnak a térben.

Homogén 3D méhsejt

A 3D -s homogén méhsejt  egy olyan méhsejt a 3D térben , amely azonos csúcsokkal rendelkező , egyenletes poliéderekből áll (azaz a 3D-s tér izometriacsoportja, amely megőrzi a mozaikot, tranzitív a csúcsokban ). 28 példa van konvex burkolásra háromdimenziós euklideszi térben [1] , más néven arkhimédeszi méhsejtnek .

Szabályosnak nevezzük a méhsejtet, ha a csempézést megőrző izometriacsoport tranzitív módon hat a zászlókra , ahol a zászló  a laphoz tartozó élen fekvő csúcs (együtt). Minden szabályos méhsejt automatikusan homogén. Az euklideszi háromdimenziós térben azonban csak egyféle szabályos méhsejt létezik - a köbös lépek . Két sejt kvázi szabályos (kétféle szabályos cellából készül):

A tetraéder-oktaéder méhsejt és az elforgatott tetraéder-oktaéder méhsejt olyan rétegekből áll, amelyeket tetraéderek és oktaéderek 3. vagy 2. pozíciója alkot. Ezeknek a rétegeknek a különböző módokon történő váltogatásával végtelen számú egyedi sejt nyerhető.

Térkitöltő poliéder

Azokról a háromdimenziós méhsejtekről, amelyekben minden sejt azonos, beleértve a szimmetriát is, sejttranzitívnak vagy izokhorikusnak mondják . Az ilyen lépek sejtjéről térkitöltő poliéderként beszélnek [2] .

Csak öt térkitöltő poliéder képes kitölteni a 3-dimenziós euklideszi teret csak párhuzamos fordítással. Ezeket paraleloédereknek nevezzük :

1. Köbös lépek (vagy változatai: téglatest , rombusz alakú hatszög vagy téglatest );
2. Hatszögletű prizmás lépek [3] ;
3. Rombikus dodekaéder lépek ;
4. Megnyúlt dodekaéder lépek [4] ;
5. Méhsejt mélyen csonka kockákból [5] .

További figyelemre méltó példák:

• Háromszög alakú prizmás lépek .
• Egységesen elforgatott háromszög hasáb alakú méhsejt
• Csonka triakisztetraéderes lépek . A gyémánt szénatomjaiból álló Voronoi-mozaik sejtjei így néznek ki [6] .
• Trapéz-rombusz alakú dodekaéder lépek [7] .
• Egyszerű izoéder burkolólapok [8] .

Más méhsejt két vagy több poliéderrel

Néha két [9] vagy több különböző politóp kombinálható egy tér kitöltésére. Jól ismert példa a Weir-Phelan szerkezet , amelyet a klatrát-hidrát kristályok szerkezetéből kölcsönöztek [10] .

Weir-Phelan szerkezet (kétféle cellával)

Nem konvex 3D méhsejt

A dokumentált példák ritkák. Két osztályt lehet megkülönböztetni:

• nem domború cellák, amelyek átfedés nélkül vannak csomagolva, hasonlóan a homorú sokszög burkolatokhoz; ezek közé tartozik a kis csillag alakú rombikus dodekaéderek , mint Yoshimoto kockájában ;
• átfedő cellákkal ellátott mozaikok, amelyekben a pozitív és negatív sűrűségek „megsemmisülnek”, egyenletes sűrűségű kontinuum képződésével, hasonlóan a síkokon átfedő mozaikokhoz.

Hiperbolikus méhsejt

A háromdimenziós hiperbolikus térben a poliéder diéderszöge a poliéder méretétől függ. A szabályos hiperbolikus méhsejt két típusból áll, négy vagy öt dodekaéderrel , amelyeknek közös élei. Diéderszögeik ekkor π/2 és 2π/5 lennének, mindkettő kisebb, mint az euklideszi dodekaéderé. Ettől a hatástól eltekintve a hiperbolikus lépek ugyanazoknak a korlátoknak felelnek meg, mint az euklideszi lépek és a poliéderek.

4 típusú kompakt, szabályos hiperbolikus méhsejt és sok homogén hiperbolikus méhsejt vizsgálata történik .

A méhsejt kettőssége három dimenzióban

Bármely cellához vannak kettős cellák, amelyek kicserélhetők:

A megfelelő cellákhoz:

• A köbös lépek önkettősek.
• Az oktaéderekből és tetraéderekből álló méhsejtek kettősek, mint a rombikus dodekaéderek méhsejtjei.
• Az egységes sík csempékből nyert réteges lépek kettősek, mint a kettős burkolásból nyert lépték.
• Az arkhimédeszi méhsejt többi részéhez képest a kettős lépek sejttranzitívak, és Inchbald cikkében [11] írják le őket .

Self-dual méhsejt

A méhsejtjei lehetnek önkettősek . Minden n - dimenziós hiperköbös méhsejt Schläfli - szimbólumokkal {4,3 n −2 ,4} önkettős.

Lásd még

• Az egységes burkolatok listája
• Szabályos többdimenziós politópok és vegyületek listája § Az euklideszi háromdimenziós tér burkolásai

Jegyzetek

1. ↑ Grünbaum, 1994 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Térkitöltő poliéder  a Wolfram MathWorld weboldalán .
3. ↑ [1] Archivált : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél. Homogén térkitöltő prizmák háromszög, négyzet és hatszög alapján
4. ↑ [2] Archivált : 2016. március 3. a Wayback Machine -nél Homogén térkitöltő rombusz-hatszögletű dodekaéderek
5. ↑ [3] Archivált : 2006. január 14. a Wayback Machine -nél Homogén térkitöltő csonka oktaéder
6. ↑ Voronoi poliéder
7. ↑ Qian, Strahs, Schlick, 2001 , p. 1843–1850
8. ↑ Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005 , p. 358-362.
9. ↑ Archivált másolat (a hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2012. május 16. Az eredetiből archiválva : 2015. június 30.  (határozatlan)  Gabbrielli, Ruggero. Tizenhárom oldalú poliéder, amely királis másával tölti ki a teret.
10. ↑ Pauling, 1960 .
11. ↑ Inchbald, 1997 , p. 213–219.

Irodalom

• HS M Coxeter . 8. fejezet: Transzation //Rendszeres politópok . — 3. kiadás. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - P.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Williams, R. 5. fejezet: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - New York: Dover Publications , 1979. -  164-199 .
• K. Critchlow. Rend az űrben. - New York: Thames & Hudson Inc., 1997. - ISBN 0-500-34033-1 .
• Branko Grunbaum. Egységes burkolatok 3 térben // Geombinatorials . - 1994. - Kiadás. 4. (2) bekezdése alapján .
• P. Pearce. A természetben lévő szerkezet a tervezés stratégiája. – Cambridge, Massachusetts, London: MIT sajtó, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. Egy új program a szolvatált biomolekulák periodikus határmodelljeinek (PBCAID) optimalizálására. // Journal of Computational Chemistry. - 2001. - T. 22 , sz. 15 .
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Izoéderes egyszerű burkolólapok: binodális és 16-nál kisebb felületű csempék  // Acta Cryst. - 2005. - Kiadás. A61 .
• Linus Pauling. A kémiai kötés természete . - Cornell University Press, 1960. - ISBN 0-8014-0333-2 .
• G. Inchbald. Az arkhimédeszi méhsejt kettősök // The Mathematical Gazette. - 1997. - Kiadás. 81. júl .

Linkek

• Szószedet a hipertérhez
• Öt térkitöltő poliéder , Guy Inchbald
• The Archimedean honeycomb duals , Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , 1996. november, 466-475.
• Raumfueller (Térkitöltő poliéder), TE Dorozinski

Fundamentális konvex szabályos és egységes lépek 2-10 méretű térben

Család / / Homogén mozaik {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hatszögletű Homogén domború lépek {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 egységes ötdimenziós méhsejt {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 24 sejtből álló méhsejt egységes hatdimenziós méhsejt {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 egységes hétdimenziós méhsejt {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ egységes nyolcdimenziós méhsejt {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 egységes kilencdimenziós méhsejt {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Egységes n -dimenziós lépek {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21