Euklideszi tér

Az euklideszi tér (egyben euklideszi tér ) eredeti értelemben olyan tér, amelynek tulajdonságait az euklideszi geometria axiómái írják le . Ebben az esetben feltételezzük, hogy a tér mérete 3, azaz háromdimenziós .

Mai értelemben, általánosabb értelemben a hasonló és egymással szorosan összefüggő objektumok egyikét jelölheti: véges -dimenziós valós vektorteret, amelyre pozitív-definit skaláris szorzatot vezetnek be ; vagy egy ilyen vektortérnek megfelelő metrikus tér. Egyes szerzők egyenlőségjelet tesznek az euklideszi és a Hilbert előtti tér között . Ebben a cikkben az első meghatározást tekintjük kezdeti definíciónak. $\mathbb {R} ^{n}$

$n$ -dimenziós euklideszi teret szoktak jelölni ; a jelölést akkor is gyakran használják , ha a szövegkörnyezetből egyértelműen látszik, hogy a tér természetes euklideszi szerkezettel van ellátva. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Formális definíció

Az euklideszi tér meghatározásához a legegyszerűbb a pontszorzat fogalmát használni alapként . Az euklideszi vektorteret a valós számok mezője feletti véges dimenziós vektortérként határozzuk meg, amelynek vektorpárjain egy valós értékű függvény van megadva , amely a következő három tulajdonsággal rendelkezik: $(\cdot ,\cdot ),$

Linearitás: bármely vektorra és bármely valós számra érvényesek a relációk ; $\mathbf {u,v,w}$ $a,b$ $(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$
Szimmetria: minden vektorra igaz az egyenlőség $u,v$ $\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$
Pozitív határozottság: bármely és $\mathbf {(u,u)} \geqslant 0$ $te,$ $\mathbf {(u,u)} =0\Jobbra \mathbf {u} =0.$

Az ilyen vektortérnek megfelelő affin teret euklideszi affin térnek vagy egyszerűen euklideszi térnek nevezzük [1] .

Példa az euklideszi térre egy olyan koordinátatér, amely a valós számok összes lehetséges halmazából áll, ahol a skaláris szorzatot a képlet határozza meg. $\mathbb {R} ^{n},$ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ $\mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2 }+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Hosszúságok és szögek

Az euklideszi téren megadott skaláris szorzat elegendő a hossz és a szög geometriai fogalmának bevezetéséhez . Egy vektor hosszát a következőképpen definiáljuk és jelöljük [2] [3] A skaláris szorzat pozitív meghatározottsága garantálja, hogy egy nem nulla vektor hossza nullától eltérő, a bilinearitásból pedig az következik, hogy Az arányos vektorok hossza arányos. $u$ ${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$ $|\mathbf {u} |.$ $|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$

A és vektorok közötti szöget a következőképpen határozzuk meg. A koszinusztételből következik , hogy egy kétdimenziós euklideszi tér ( az euklideszi sík ) esetében a szögnek ez a definíciója egybeesik a szokásos szögmeghatározással . A nullától eltérő merőleges vektorok, akárcsak a háromdimenziós térben, szögben álló vektorokként definiálhatók , azaz nulla belső szorzatú vektorokként. ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$ ${\tfrac {\pi }{2)),$

Megjegyzés

Tisztázni kell, hogy az arc koszinuszának meghatározásához szükséges és elégséges az egyenlőtlenség teljesülése Ez az egyenlőtlenség valóban igaz egy tetszőleges euklideszi térben: Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenségnek nevezik . Ebből viszont következik a háromszög-egyenlőtlenség : A háromszög-egyenlőtlenség a hosszúság fenti tulajdonságaival együtt azt jelenti, hogy a vektor hossza norma az euklideszi vektortéren, és a függvény vagy beállítja a metrikus tér szerkezetét. az euklideszi téren (ezt a függvényt euklideszi metrikának nevezik ). Különösen az elemek (pontok) és a koordinátatér közötti távolságot adja meg a képlet $\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$ $\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$ $\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$ $d\mathbf {(x,y)} ,$ $\mathbf {|xy|} ,$ ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{ i}-y_{i})^{2}}}.$

Algebrai tulajdonságok

Ortonormális alapok

Az ortonormális bázis az euklideszi (vektor) térben páronként ortogonális egységnorma vektorokból álló bázis . Az ortonormális alapok a legkényelmesebbek a számításokhoz. Így például a koordinátákkal és ortonormális bázisú vektorok skaláris szorzata kiszámítható a képlettel . Bármely euklideszi térben van ortonormális bázis. Ha két euklideszi térben ortonormális bázist választunk, és az egyiket a másikba fordítjuk lineáris leképezéssel , bebizonyíthatjuk, hogy bármely két azonos dimenziójú euklideszi tér izomorf [4] (különösen egy -dimenziós euklideszi tér izomorf a standard skalárszorzat). $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Ortográfiai vetületek

Egy vektort akkor mondunk ortogonálisnak egy altérre, ha ortogonális az adott altér összes vektorára. Egy vektor altérre merőleges vetülete egy ortogonális vektor , amelyet a következő formában ábrázolunk, ahol A vektorok végei közötti távolság és a legkisebb távolság a vektor vége és az altér A nagy dimenziós terek ortogonális vetületeit például a legkisebb négyzetek módszerében alkalmazzák . $x$ $U$ $h,$ $te,$ $x$ $u+h,$ $u az U-ban.$ $u$ $x$ $x$ $U.$

Kettős szóközök és operátorok

Az euklideszi tér bármely vektora definiál egy lineáris funkcionálist ezen a téren. Ez az összehasonlítás izomorfizmus az euklideszi tér és annak kettős tere között [5] , és lehetővé teszi ezek azonosítását a számítások veszélyeztetése nélkül. Különösen az adjungált operátorok tekinthetők az eredeti térre hatónak, nem pedig annak duálisára, az önadjungált operátorok pedig az adjunktjaikkal egybeeső operátorokként definiálhatók. Ortonormális alapon az adjungált operátor mátrixa az eredeti operátor mátrixába kerül, az önadjungált operátor mátrixa pedig szimmetrikus . $x$ $x^{*}$ $x^{*}(y)=(x,y).$

Euklideszi térmozgások

Az euklideszi térmozgások a tér metrikusan megőrző transzformációi önmagába (más néven a tér önmagába való izometriái ). A mozgásra példa egy vektor párhuzamos fordítása , amely egy pontot ponttá alakít át . Könnyen belátható, hogy minden mozgás párhuzamos fordítás és transzformáció kompozíciója , amely egy pontot rögzít. Ha egy fix pontot választ ki origóként, minden ilyen mozgás ortogonális transzformációnak tekinthető . Egy n -dimenziós euklideszi tér ortogonális transzformációi egy csoportot alkotnak, amelyet O( n ) -vel jelölünk . Ha a térben ortonormális bázist választunk, ez a csoport n × n mátrixból álló csoportként ábrázolható, amely kielégíti a feltételt , ahol a transzponált mátrix és az identitásmátrix . ${\mathbf v}$ ${\mathbf p}$ $\mathbf {p+v}$ $Q^{\mathsf {T}}Q=E$ $Q^{\mathsf {T}}$ $E$

Példák

Jó példák az euklideszi terekre a következő terek:

$\mathbb {E^{1}}$ méretek ( valódi vonal - például numerikus tengely ); $egy$
$\mathbb {E^{2}}$ méretek ( euklideszi sík ); $2$
$\mathbb {E^{3}}$ dimenziók ( Euklideszi háromdimenziós tér ). $3$

Elvontabb példa:

a valós polinomok tere , amelyek foka nem haladja meg az n -t, egy belső szorzattal, amelyet a szorzatuk integráljaként definiálunk egy véges szakasz mentén (vagy a teljes egyenes mentén, de például gyorsan csökkenő súlyfüggvénnyel ). ${\mathcal {P}}^{n}$ $e^{-x^{2}}$

Példák geometriai alakzatokra többdimenziós euklideszi térben:

szabályos többdimenziós poliéder (pl. N - dimenziós kocka , N - dimenziós oktaéder , N - dimenziós tetraéder );
hiperszféra ;
hypertorus .

Kapcsolódó definíciók

Az euklideszi metrika a fent leírt metrikaként, valamint a megfelelő Riemann-metrikaként érthető .

A lokális euklidesziség általában azt jelenti, hogy a Riemann-sokaság minden érintőtere egy euklideszi tér, amely rendelkezik az összes következő tulajdonsággal, például azzal a lehetőséggel (a metrika simasága miatt), hogy koordinátákat vigyünk be egy olyan pont kis környezetébe, amelyben a távolság a fent leírtak szerint van kifejezve (bizonyos sorrendig).

A metrikus teret lokálisan euklideszinek is nevezik, ha mindenhol (vagy legalábbis egy véges tartományon) be lehet vezetni rajta olyan koordinátákat, amelyekben a metrika euklideszi lesz (a második definíció értelmében) - ami pl. nulla görbületű Riemann-féle sokaság.

Változatok és általánosítások

Ha nem a valós számok mezőjét, hanem a komplex számok mezőjét használjuk fő mezőként , akkor ez megadja az unitárius (vagy hermitikus) tér definícióját .

A véges dimenziósság követelményének elutasítása megadja a Hilbert előtti tér definícióját . A skaláris szorzat pozitív meghatározottságának követelményének elvetése a pszeudo-euklideszi tér meghatározásához vezet . Az a követelmény, hogy egy pre-Hilbert-tér metrikus -teljes legyen, egy Hilbert-tér meghatározásához vezet ; a négyzetesen összegezhető sorozatok tere egy Hilbert-tér, amely végtelen számú koordinátájú vektorok terének tekinthető.

Jegyzetek

↑ Gelfand, 1998 , p. 35.
↑ Gelfand, 1998 , p. 39.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 118.
↑ Shilov G. E. Bevezetés a lineáris terek elméletébe. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - p. 182
↑ Ez az eredmény pszeudoeuklideszi és unitárius terekre is igaz, Hilbert-terekre bonyolultabb és Riesz-tételnek nevezzük .

Irodalom

Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról. - 5. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 p. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineáris algebra és geometria. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
Vulikh BZ Bevezetés a funkcionális elemzésbe. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 p. - 7500 példány.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika