Háromszög egyenlőtlenség

A háromszög egyenlőtlenség a geometriában , a funkcionális elemzésben és a kapcsolódó tudományokban a távolság egyik intuitív tulajdonsága. Azt állítja, hogy a háromszög bármely oldalának hossza mindig kisebb, mint a másik két oldal hosszának összege. A háromszög egyenlőtlenség axiómaként szerepel a metrikus tér , a norma stb. definíciójában; emellett gyakran tételként szerepel különféle elméletekben.

Euklideszi geometria

Egyenlőtlenség

AC\leqslant AB+BC,

bármely háromszögben fut . Ezenkívül az egyenlőség csak akkor érhető el, ha a háromszög degenerált , és a pont szigorúan és között van . $\háromszög ABC$ $AC=AB+BC$ $B$ $A$ $C$

Euklidész elemei a következőképpen bizonyítják a háromszög egyenlőtlenséget. Először is bebizonyítjuk azt a tételt, hogy egy háromszög külső szöge nagyobb, mint a vele nem szomszédos belső szög. Ebből azt a tételt vezetjük le, hogy a háromszög nagyobbik oldalával szemben nagyobb belső szög van. Továbbá ellentmondásos módon igazoljuk azt a tételt, hogy a háromszög legnagyobb oldala a legnagyobb belső szöggel szemben van. Ebből a tételből pedig levezetjük a háromszög egyenlőtlenséget.

Normált tér

Legyen egy normált vektortér , ahol egy tetszőleges halmaz és egy normán definiált norma . Akkor az utóbbi definíciója szerint igaz: $(X,\|\cdot \|)$ $x$ $\|\cdot \|$ $x$

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.

Hilbert space

A Hilbert-térben a háromszög -egyenlőtlenség a Cauchy–Bunyakovsky-egyenlőtlenség következménye .

Metrikus tér

Legyen egy metrikus tér , ahol egy tetszőleges halmaz , és egy metrika , amely a -n van definiálva . Akkor az utolsó meghatározása szerint $(X,\rho)$ $x$ $\rho$ $x$

\rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.

Változatok és általánosítások

$d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$ Erős háromszög egyenlőtlenség

Fordított háromszög egyenlőtlenség

A háromszög egyenlőtlenség következménye a normált és metrikus terekben a következő egyenlőtlenségek:

${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|xy\|,\quad x,y\in X;$
$|\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.$

A háromszög egyenlőtlensége háromszögű szögre

Egy konvex háromszög minden lapos szöge kisebb, mint a másik két lapos szögének összege.

Tetszőleges számú pont

Jelöljük az és a pontok közötti távolságot . Ekkor teljesül a következő egyenlőtlenség: . Ezt úgy kapjuk meg, hogy egymás után alkalmazzuk a háromszög egyenlőtlenséget három pontra: [1] $\rho (x_{i},x_{j})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+ \rho (x_{m-1},x_{m})$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho ( x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Shilov G. E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M.: Fizmatlit, 1961. — 28. o