Sarok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 15 szerkesztést igényelnek .

Sarok
∠
Dimenzió	mérettelen
Egységek
SI	radián
Egyéb egységek	fok, perc, másodperc , fok , ezrelék

A szög egy geometriai alakzat , amelyet egy pontból kilépő két sugár ( egy szög oldala ) alkot (ezt a szög csúcsának nevezzük ) [1] .

Általános információk

A szög mindkét oldalát tartalmazó síkot a szög két tartományra osztja. Ezen területek mindegyikét a sarok oldalaival kombinálva lapos saroknak nevezzük (vagy csak saroknak, ha ez nem okoz zavart). A lapos sarkok egyikét (általában a kettő közül a kisebbet) gyakran belsőnek , a másikat pedig külsőnek nevezik . A síkszög azon pontjai, amelyek nem tartoznak az oldalaihoz , egy síkszög belső területét alkotják .

A lapos szög definíciójának egy másik, ekvivalens változatában a sík egy részét nevezik, amely egy adott pontból ( a szög csúcsából) kilépő és valamely ebben a síkban fekvő egyenest metsző sugár egyesülése (amely az adott síkszöget bezáró egyenesnek nevezzük ).

Gyakran a rövidség kedvéért a szöget szögmértéknek is nevezik , vagyis a szög nagyságát meghatározó számnak.

A legelterjedtebb lapos szögek mellett az általánosabb objektumok is szögeknek tekinthetők - metszőívek, félsíkok és egyéb alakzatok, mind az euklideszi, mind a geometria más típusaiban különböző méretű metrikus terekben .

Sarkok kijelölése

Van egy általánosan elfogadott szimbólum a szög jelölésére: Pierre Erigon francia matematikus javasolta 1634 -ben . A karakter Unicode -ban van ( U+2220 ∠ szög ). $\angle ,$

A matematikai kifejezésekben a szögeket gyakran kis görög betűkkel jelölik: α, β, γ, θ, φ stb. Általában ezeket a jelöléseket a rajzra is alkalmazzák, hogy elkerüljék a kétértelműséget a belső terület kiválasztásában. a sarok. A pi -vel való összetévesztés elkerülése érdekében a π szimbólumot általában nem használják erre a célra. Az ω és Ω betűket gyakran használják a térszögek jelölésére (lásd alább) .

Szintén gyakran a szöget három pontszimbólum jelöli, például egy ilyen jelölésben - a csúcs, és - a szög különböző oldalain fekvő pontok. A matematikában az óramutató járásával ellentétes szögszámlálás irányának megválasztása kapcsán szokás az oldalakon fekvő pontokat a szögjelölésben az óramutató járásával ellentétes irányban is felsorolni. Ez a konvenció lehetővé teszi az egyértelmű megkülönböztetést két lapos sarok között, amelyeknek közös oldalaik vannak, de különböző belső régiói vannak. Azokban az esetekben, amikor a lapos sarok belső területének megválasztása egyértelmű a szövegkörnyezetből, vagy más módon jelzi, ez az egyezmény megsérthető. Lásd a variációkat és az általánosításokat . $\szög ABC.$ $B$ $A$ $C$

Ritkábban használják a szög oldalait alkotó egyenesek jelölését. Például - itt feltételezzük, hogy a háromszög α belső szögét értjük , amelyet jelölni kell . $\angle(bc)$ $\angle BAC$ $\angle(cb)$

Tehát a jobb oldali ábra esetében a γ és bejegyzések ugyanazt a szöget jelentik . $\angle ACB$ $\angle(ba)$

Néha kisbetűs latin betűket ( a, b, c, ...) és számokat használnak a sarkok jelölésére.

A rajzokon a sarkokat kis szimpla, dupla vagy hármas bilincsekkel jelöljük, amelyek a sarok belső oldalán futnak a sarok csúcsán. A szögek egyenlősége az ívek azonos sokaságával vagy az íven végrehajtott keresztirányú ütések számával jelölhető. Ha szükséges jelezni a szögleolvasás irányát, azt nyíllal jelöljük az íjon. A derékszögeket nem ívek jelölik, hanem két egymáshoz kapcsolódó egyenlő szegmens, amelyek úgy vannak elrendezve, hogy az oldalakkal együtt egy kis négyzetet alkotnak, amelynek egyik csúcsa egybeesik a szög csúcsával.

Szögmérés

A síkszögek összehasonlítását lehetővé tevő szögmérés a következőképpen vezethető be. Két síkszöget egyenlőnek (vagy egybevágónak ) nevezünk, ha úgy kombinálhatók, hogy csúcsaik és mindkét oldaluk egybeessen. A síkon egy adott irányú bármely sugárból félretehet egy, az adott szöggel egyenlő szöget. Ha az egyik sarok teljesen egy másik sarok belsejébe helyezhető úgy, hogy a csúcsa és e sarkok egyik oldala egybeessen, akkor az első sarok kisebb, mint a második. Nevezzünk két szomszédos szöget, amelyek úgy helyezkednek el, hogy az egyik oldala egybeesik a másik oldalával (és így a csúcsok egybeesnek), de belső tartományaik nem metszik egymást. A két szomszédos szög nem egybeeső oldalaiból álló szöget e szögek vegyületének nevezzük . Minden szöghez hozzárendelhető egy szám (szögmérték) oly módon, hogy:

egyenlő szögek egyenlő szögmértéknek felelnek meg;
kisebb szög kisebb szögmértéknek felel meg;
olyan szögnél, amelynek oldalai egybeesnek (nulla szög), a szögmérték nulla (ugyanez igaz a párhuzamos egyenesek közötti szögre is);
minden nullától eltérő szögnek van egy bizonyos szögmértéke, amely nagyobb nullánál;
(additivitás) egy szög szögmértéke egyenlő azon szögek szögmértékeinek összegével, amelyekbe az oldalai között áthaladó bármely sugár felosztja.

Egyes jelölési rendszerekben, ha különbséget kell tenni egy szög és a mértéke között, a jelölést a szögre (geometriai ábra), a szög mértékének értékére pedig a jelölést használják. $\szög ABC ,$ $\widehat{ABC}.$

A szög mérése:

fokban , percben, másodpercben ;
radiánban ; _
forradalmakban ; _
fokban , percben, másodpercben ;
órákban, percekben és másodpercekben ;
a szögmérő ezrelékében és osztásaiban ;
rumbában . _

A leggyakoribb fokmérték a fok, perc, másodperc , amelyben a kiterjesztett szög 1/180-a 1°-nak (lásd alább ), egy percnek és egy másodpercnek számít . A fokmérőt az elemi geometriában (szögmérés rajzokon szögmérővel ), a geodéziában térképen és a földön használják (egy nagyon pontos eszközt használnak a szögek mérésére a talajon - kombi / teodolit). $1'=1^{\circ }/60$ $1''=1'/60$

Egy szög radián mértéke az összehúzódó ív s hosszának és r sugarának aránya . A radián mértékét matematikai elemzésben (például trigonometrikus függvények numerikus argumentumaként és inverz ívfüggvények numerikus (táblázatos és grafikus ) értékeinek meghatározásában ), a planimetriában és a mechanikában ( egy körüli elforgatásnál ) használják. pont vagy tengely és egyéb trigonometrikus függvényekkel leírt folyamatok, rezgések, hullámok stb.).

A szögek fordulatszámban is mérhetők . Egy fordulat teljes szög (azaz 360 fokos szög). Egy tetszőleges szöget x fordulatnak nevezünk, ha x a szöget bezáró ív s hosszának és az ezt az ívet tartalmazó kör L hosszának az aránya .

A szögek mérésére szolgáló jégeső -mértéket a történelemben javasolták, jelenleg szinte soha nem használják, mivel nem váltotta ki a gyakoribb hatszázalékos mértéket .

A szögek fokban történő mérése egészen az ókori Babilonig nyúlik vissza , ahol a hatszázalékos számrendszert használták , melynek nyomait az idő és a szög felosztásában is megőrizték nálunk. Egy fok (a teljes szög 1/360-a) 60 percnyi ívre (vagy ívpercekre) van osztva, viszont egy perc 60 ívmásodpercre (ívmásodpercekre) van osztva. A kisebb szögek mérése SI előtagok (ív ezredmásodperce, ívmikroszekundum stb.) segítségével szekundum alatti egységekben történik.

1 fordulat = 2 π radián = 360° = 400 fok .

Az SI rendszerben a szög alapmértékegysége a radián .

A tengerészeti terminológiában a szögeket pontokban mérik . 1 rumb egyenlő az iránytű teljes körének (360 fokos) 1⁄32-ével, azaz 11,25 fok vagy 11°15′ .

A csillagászatban a derékszöget és az óraszöget az egyenlítői koordináta-rendszerben órában, percben és másodpercben mérik ( 1 ⁄ 24 , 1 ⁄ 1440 és 1 ⁄ 86 400 egy teljes kör); ennek oka a Föld tengelyirányú forgásának szögsebessége , amely megközelítőleg 1 fordulat/24 óra [2] . Így egy óra (perc, másodperc) alatt az égi szféra szögben körülbelül 1 órát (perc, másodperc) "megfordul". A csillagászatban fennmaradó szögmennyiségeket általában fokban, percben és ívmásodpercben fejezik ki. Egy másodperc (perc) jobbra emelkedés 15 másodperc (perc) ívnek felel meg.

A tüzérségi és fegyverüzletben ezred- és goniométer- osztásokat is használnak .

Egyes összefüggésekben, mint például egy pont poláris koordinátákban történő azonosítása vagy egy objektum orientációjának két dimenzióban történő leírása az alaporientációhoz képest, az egész számú teljes fordulattal eltérő szögek gyakorlatilag egyenértékűek. Például ilyen esetekben a 15° és 360015° (= 15° + 360°×1000) szögek egyenértékűnek tekinthetők . Más összefüggésekben, mint például egy pont azonosítása egy spirálgörbén, vagy egy objektum kezdeti tájolása körüli kétdimenziós kumulatív elforgatásának leírása, a szögek, amelyek a teljes fordulatszám nullától eltérő egész számmal különböznek, nem egyenértékűek.

Egyes lapos sarkoknak különleges nevek vannak. A fenti mértékegységeken kívül (radián, rombusz, fok stb.) ezek a következők:

kvadráns (derékszög, 1 ⁄ 4 kör);
szextáns ( 1⁄6 kör ) ;
oktáns ( 1⁄8 kör ; emellett a sztereometriában az oktáns három egymásra merőleges sík által alkotott háromszög),

Néha a szögeket (például egy felület dőlésszögét ) nem a tényleges szögmértékkel, hanem annak érintőjével (vagy szinuszával ) mérik, vagyis a ferde sík emelkedése és a vízszintesre vetítés aránya. a rajta haladt út (vagy magához ehhez az úthoz). A kis dőlésszögek szokásos eseténél ez az arány megközelítőleg megegyezik a radiánban kifejezett szöggel ( tan α ≈ sin α ≈ α , α < 0,1 esetén az értékek közötti különbség kisebb, mint 1%). Ebben az esetben az arányt általában százalékban vagy ppm -ben fejezik ki . Például a 10%-os út lejtése azt jelenti, hogy minden 100 méteres utazás után (vízszintesre vetítve) az út 10 m-rel emelkedik; a horizont szöge arktán (10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 radián. Ez a szögmérési módszer szigorúan véve nem szögmérték, mivel nem rendelkezik az additív tulajdonsággal (lásd fent ). Lásd még a kis szögekre vonatkozó közelítéseket .

A szögszámlálás iránya

A matematikában és a fizikában általában a szögszámlálás pozitív iránya az óramutató járásával ellentétes . Általában a szöget a nyalábtól kezdik mérni , amelynek origója egybeesik a koordinátarendszer (SC) középpontjával, és az irány egybeesik az abszcissza tengely pozitív irányával ( poláris SC, hengeres SC, gömb SC , SC egy trigonometrikus körön és mások).

A földrajzban és a geodéziában az " északi " irányt veszik a szögek kezdőpontjaként azimutban ; a szöget az óramutató járásával megegyező irányba számoljuk . Így a „ keleti ” irány 90 °, „ dél ” - 180 °, „ nyugat ” - 270 ° azimutszögnek felel meg . A tüzérségben a sarki tengely iránya " dél ", és a megfelelő poláris szöget azimutnak is nevezik (a " nyugat " irány 90°-os irányszögnek felel meg).

A szögek típusai

konvex szög
Derékszög
teljes szögben
Éles sarok
Tompaszög
Fordított szög

A szögeket méretük szerint nevezik el.

Nullaszög (0°); a nullaszög oldalai egybeesnek, belseje az üres halmaz .
Hegyes sarok (0°-tól 90°-ig, határértékek nélkül).
Derékszög (90°); egy derékszög oldalai merőlegesek egymásra.
Tompaszög (90°-tól 180°-ig, határértékek nélkül).
Ferde szög (0°, 90°, 180° vagy 270°-tól eltérő).
Kiterjesztett szög (180°); egy egyenes szög oldalai egy egyenes két félegyenese , vagyis két ellentétes irányú sugár.
Nem konvex szög (0° és 180° között).
Konvex szög (180°-tól 360°-ig, határértékek nélkül).
Teljes szög (360°) - lásd fordulat (egység) .

Felező

A szögfelező ( latin bi- „double” és sectio „vágás”) a szög csúcsából kilépő és annak belső tartományán áthaladó sugár, amely oldalaival két egyenlő szöget zár be. A szögfelező bármely pontjának távolsága a szög oldalaitól azonos (és fordítva, a szög belső tartományának bármely pontja, amely egyenlő távolságra van a szög oldalaitól, a szögfelezőjén fekszik).

Lapos sarkok

A lapos szög kifejezést a cikk elején definiált szög kifejezés szinonimájaként használják , hogy megkülönböztessék a sztereometriában használt térszög fogalmától (beleértve a két-, három- vagy poliéderes szöget is).

A lapos szögek tulajdonságait gyakran a szögek (szomszédos, járulékos, szomszédos, függőleges - lásd alább) arányaként értjük abban az esetben, ha a szögek ugyanabban a síkban vannak (a planimetria esetében ez önmagában következik, de a szilárdtesteknél geometria, pontosítás szükséges, ellenkező esetben az alább felsorolt arányok nem valósulnak meg, és magukat a szögeket, ha nem egy síkban fekszenek, nem nevezzük szomszédosnak vagy szomszédosnak (a függőleges mindig ugyanabban a síkban fekszenek automatikusan).

Függőleges és szomszédos szögek

függőleges sarkok. Két szögpár (A és B, C és D) páronként egyenlő
szomszédos sarkok. A külső (nem közös) oldalaik által alkotott szög értéke egyenlő értékük összegével (α + β)
Komplementer szögek a és b (kölcsönösen kiegészítik egymást derékszögig). Mindkét komplementer szög hegyesszögű
A szomszédos szögek - ezen az ábrán hegyes (α) és tompaszögek (β) - egyenes szöget alkotnak (α + β)
Konjugált szögek - teljes szöget alkotnak (360 °); ezen az ábrán egy konkrét példa: 150° + 210° = 360°

Függőleges szögek - 2 szög egy síkon, amelyek akkor jönnek létre, amikor 2 nem párhuzamos egyenes metszi egymást. Ennek a 2 saroknak nincs közös oldala (vagyis az egyik sarok oldalai a másik oldalainak kiterjesztései). Fő tulajdonságuk: a függőleges szögek egyenlőek .
Az integrálszögek 2 szög egy síkban, amelyeknek 1 csúcsa és 1 oldala van, de nem metszik egymást belsőleg. A beépített szögek 2 külső (nem közös ) oldala által alkotott szög értéke megegyezik maguknak a beépített szögeknek az összegével ( az α + β ábrán).

A szomszédos szögek speciális esetei.

Ha a benne foglalt szögek egyenlőek, akkor közös oldaluk felező .

A komplementer szög két olyan szög, amelyeknek a síkon közös csúcsa van, amelyeknek egyik oldala közös, a többi oldal pedig derékszöget alkot. A komplementer szögek összege 90°. Egy szög szinusza , érintője és szekánsa rendre egyenlő a komplementer szög koszinuszával , kotangensével és koszekánsával .

Szomszédos szögek - 2 szög 1 közös csúcsponttal a síkon, melynek 2 oldala közül 1 közös , a maradék 2 oldal pedig 1 egyenesen fekszik (nem esik egybe). 2 szomszédos szög összege 180°. Vagyis a síkon 2 szomszédos szög 2 szomszédos szög , összesen 180°-ot adva.

Konjugált szögek - 2 szög a síkon, amelyeknek közös 1 csúcsa és 2 oldala, amelyek mentén csatlakoznak (határolódnak) egymáshoz, de belső területeken különböznek; ilyen 2 szög egyesülése a teljes sík, és mint beleszámított szögek , teljes szöget alkotnak; nagyságuk összege 360°.

Sík sarkok (anti)párhuzamos oldalakkal

Azok a szögek, amelyek oldalai páronként párhuzamosak és egyirányúak (vagy páronként párhuzamosak és ellentétes irányúak), egyenlőek egymással. Egy olyan szögpár, amelyben az egyik oldalpár párhuzamos és egymással párhuzamosan, a második oldalpár pedig párhuzamos és ellentétes irányú, összeadjuk az egyenes szöget, majd 180°-ot (lásd az ábrát) – mivel párhuzamos transzlációval szomszédos szögekké alakítható (az egyirányú oldalak "ragasztása").

Szögek egymásra merőleges oldalakkal

Két egymásra merőleges oldalú szög egyenlő, ha mindkettő hegyes vagy tompaszögű.

Háromszög külső sarka

Háromszög külső szögtétel . A háromszög külső szöge megegyezik a háromszög két fennmaradó szögének összegével, amelyek nem szomszédosak a külső szöggel.

Sokszögszögek

Önmetszéspontok nélküli tetszőleges n -szög belső szögeinek összege α i $\sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}.$

Így,

a háromszög belső szögeinek összege 180°,
négyszög - 360°,
ötszög - 540 ° és így tovább.

Következmény

Nevezzük a β i külső szöget (figyelem, ez nem a külső szög szokásos meghatározása) azt a szöget, amely az α i belső szöget teljes szöggel egészíti ki: β i = 360° − α i .

Egy tetszőleges n -szög külső szögeinek összege önmetszéspontok nélkül az $\sum_{i=1}^n \beta_i = n\cdot 360^{\circ} - \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n+2)\cdot 180^{\circ}.$

Középső és beírt szög

A kör bármely adott íve egyetlen középső és végtelen számú beírt szöggel társítható.

Központi sarok
Beírt szög

A központi szög olyan szög, amelynek csúcsa a kör közepén van . A középponti szög értéke megegyezik a szög oldalai közé zárt ív fokszámával.
A beírt szög olyan szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és oldalai metszik a kört. Egy beírt szög értéke egyenlő az oldalai által határolt ív fokmértékének felével. Minden beírt szög, amely ugyanazt az ívet bezárja, egyenlő.

A beírt szög értéke egyenlő a középponti szög értékének felével , az alapnál az ugyanazon az íven lévő körön alapulva (lásd az ábrát).

Változatok és általánosítások

Az egyenesek és az egyenesek közötti orientált szög értéke (jelölése: ) annak a szögnek az értéke, amellyel az egyenest az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni , hogy párhuzamos legyen az egyenessel . Ebben az esetben n 180 -kal eltérő szögek ° ( n egy egész szám) egyenlőnek tekintendő. A és a vonalak közötti orientált szög nem egyenlő a és a vonalak közötti orientált szöggel ( összeadják a 180°-ot, vagy megegyezés szerint ugyanazt a 0°-ot). Az orientált szögek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: a) b) c) a nem ugyanazon az egyenesen fekvő pontok akkor és csak akkor tartoznak ugyanahhoz a körhöz, ha $AB$ $CD$ $\angle(AB,CD)$ $AB$ $CD.$ $CD$ $AB$ $AB$ $CD$ $\angle(AB,BC)=-\angle(BC,AB);$ $\angle(AB,CD)+\angle(CD,EF)=\angle(AB,EF);$ $A,B,C,D$ $\angle(AB,BC)=\angle(AD,DC).$

Számos gyakorlati probléma vezet ahhoz, hogy a szöget olyan alaknak tekintsük, amelyet úgy kapunk, hogy egy rögzített sugarat az O pont körül (ahonnan a sugár kiáramlik) egy adott helyzetbe forgatunk. Ebben az esetben a szög a sugár forgásának mértéke. Egy ilyen definíció lehetővé teszi, hogy általánosítsuk a szög fogalmát úgy, hogy definíciós tartományát a teljes számegyenesre bővítjük : 360°-nál nagyobb szögeket vezetünk be, a forgásiránytól függően, pozitív és negatív szögeket különböztetünk meg . A trigonometriában ez a megfontolás lehetővé teszi a trigonometrikus függvények tanulmányozását az argumentum bármely értékéhez. $(-\infty ; +\infty)$

A szög fogalmát a sztereometriában figyelembe vett térszögre általánosítják .

Tömörszög

A síkszög általánosítása a sztereometriára egy térszög - a tér egy része, amely egy adott pontból ( a szög csúcsából) kilépő és valamilyen felületet metsző összes sugár egyesülése (ezt a felületet alámerítő felületnek nevezzük ) . adott térszög).

A térszögeket szteradiánban (az egyik alapvető SI-mértékegység), valamint a rendszeren kívüli egységekben - a teljes gömb részeiben (azaz 4 π szteradián teljes térszögében), négyzetfokban, négyzetpercben - mérjük. és négyzetmásodperc.

A térszögek különösen a következő geometriai testek:

kétszögű szög - két egymást metsző sík által határolt térrész;
háromszögű szög - három egymást metsző sík által határolt térrész;
poliéderes szög - a tér egy része, amelyet több, egy pontban metsző sík határol.

A diéderszöget lineáris szöggel (az azt alkotó síkok közötti szöggel) és térszöggel is jellemezhetjük (csúcsként az élének bármely pontja, lapjainak közvetlen metszéspontja választható). Ha egy diéderszög lineáris szöge (radiánban) φ , akkor a térszöge (szteradánban) 2 φ .

Görbék közötti szög

Mind a planimetriában, mind a szilárdgeometriában, valamint számos más geometriában is meg lehet határozni a sima görbék közötti szöget a metszéspontban: értelemszerűen ez az értéke megegyezik a görbék érintőinek szögével metszéspont.

Szög és pont termék

A szög fogalma tetszőleges természetű (és tetszőleges, beleértve a végtelen dimenziót is) lineáris terekre definiálható, amelyeken axiomatikusan bevezetünk egy pozitív határozott skaláris szorzatot a tér két eleme között és A skaláris szorzat lehetővé teszi az ún. egy elem normájának (hosszának) nevezzük , mint a szorzatelem négyzetgyökét önmagára A skaláris szorzat axiómáiból a Cauchy-Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz) egyenlőtlenség következik a skalárszorzatra: ebből következik, hogy az érték értékeket vesz fel. -1-től 1-ig, a szélső értékeket pedig akkor és csak akkor érjük el, ha az elemek arányosak ( kollineárisak ) egymással (geometriailag irányuk azonos vagy ellentétes). Ez lehetővé teszi, hogy a relációt az elemek közötti szög koszinuszaként értelmezzük , és különösen akkor mondjuk az elemeket ortogonálisnak , ha a pontszorzat (vagy a szög koszinusza) nulla. $(x,y)$ $x$ $y.$ $||x||=\sqrt{(x,x)}.$ $|(x,y)|\leqslant ||x||\cdot||y||,$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $x$ $y.$

Konkrétan bevezethető egy bizonyos intervallumon folytonos függvények közötti szög fogalma , ha bevezetjük a standard skaláris szorzatot , akkor a függvények normáit a következőképpen definiáljuk. Ekkor a szög koszinuszát standard módon definiáljuk, mint a függvények arányát. a függvények skaláris szorzata a normáikra. A függvényeket ortogonálisnak is nevezhetjük, ha pontszorzatuk (szorzatuk integrálja) nulla. $[a,b]$ $(f,g)=\int^b_a f(x) g(x) dx,$ $||f||^2=\int^b_a f^2(x)dx.$

A Riemann-geometriában a metrikus tenzor segítségével hasonlóképpen meghatározhatjuk az érintővektorok közötti szöget is .. Az érintővektorok skaláris szorzata tenzorjelölésben a következő formában lesz: a vektorok normái - és ezért a szög koszinusza a megadott skaláris szorzat és a vektorok normáinak arányának standard képlete határozza meg: $g_{ij}.$ $u$ $v$ $(u,v)=g_{ij}u^iv^j,$ $||u||=\sqrt{|g_{ij}u^iu^j|}$ $||v||=\sqrt{|g_{ij}v^iv^j|}.$ $\cos \theta = \frac {(u,v)} {||u||\cdot ||v||} = \frac {g_{ij}u^iv^j} { \sqrt{|g_{ij }u^iu^j|\cdot |g_{ij}v^iv^j|} }.$

Szög a metrikus térben

Számos olyan mű is létezik, amelyekben bemutatják a metrikus tér elemei közötti szög fogalmát.

Legyen metrikus tér . Legyenek továbbá elemei ennek a térnek. $(X,\rho)$ $x,y,z$

K. Menger bevezette a csúcsok közötti szög fogalmát, amelynek csúcsa egy pontban van $y$ $z$ $x$ , mint nem negatív számot , amely három axiómát kielégít: $\widehat{yxz}$

$\widehat{yxz}=\widehat{zxy}$
$\widehat{yxz}=0$ ha, és csak akkor ha $\rho(y,z)=|\rho(x,y)-\rho(x,z)|$
$\widehat{yxz}=\pi$ ha, és csak akkor ha $\rho(y,z)=\rho(x,y)+\rho(x,z)$

1932- ben Wilson a következő kifejezést tekintette szögnek:

$\widehat{yxz}_w = \arccos \frac{\rho^2(x,y)+\rho^2(x,z)-\rho^2(y,z)}{2\rho(x,y) )\rho(x,z)}$

Könnyen belátható, hogy a bevezetett kifejezésnek mindig van értelme, és kielégíti Menger három axiómáját.

Ezenkívül a Wilson-szögnek az a tulajdonsága, hogy az euklideszi térben ekvivalens az elemek közötti szöggel és az euklideszi tér értelmében. $yx$ $zx$

Szögek mérése

A szögek kialakításának és mérésének egyik legelterjedtebb eszköze a szögmérő (valamint a vonalzó – lásd alább); általában egy bizonyos nagyságú szög kialakítására szolgál. Számos eszközt fejlesztettek ki a szögek többé-kevésbé pontos mérésére:

goniométer ;
goniométer - a szögek laboratóriumi mérésére szolgáló eszköz;
A kipregel egy geodéziai goniometrikus műszer.

A két objektum közötti szögtávolság (vagy egyszerűen a szög) a megfigyelő számára annak a szögnek a mértéke, amelynek a tetején a megfigyelő helyezkedik el, és a tárgyak az oldalakon helyezkednek el. A kéz segítségével hozzávetőlegesen megbecsülhetjük két távoli tárgy közötti szöget. Karnyújtásnyira egy 1 fokos (1°) szögtávolság a kisujj szélességének felel meg (lásd még alább; a középső ujj szögszélessége karnyújtásnyira kb. 2°), 10 fokos szög a kisujj szélességével. vízszintesen elhelyezett ökölbe szorított ököl szélessége (vagy a tenyér átmérője), 20 fokos szög (vagy körülbelül 15 ° ÷ 17 ° ÷ 20 °) - az elvált hüvelyk- és mutatóujj hegyei közötti távolság ( span ), valamint a szög a kisujj vége és a hüvelykujj vége közötti távolság körülbelül a derékszög negyede . Ezek átlagos adatok. Javasoljuk, hogy saját kezűleg finomítsa őket.

A különböző szögmérési módszereket és eszközöket a szögfelbontás jellemzi , vagyis az ezzel a módszerrel mérhető minimális szög. A legjobb szögfelbontást a különféle interferometrikus módszerek biztosítják, amelyek bizonyos esetekben több mikroszekundumnyi ívszög mérését is lehetővé teszik (~10 -11 radián).

Példák gyakorlati trigonometrikus mérésekre

Problémák megoldása egyszerű módon

Hogyan mérjünk szöget (például térképen ) egy háromszög oldalaival (például mérnöki / trigonometrikus számológép (és táblázatok ) és PC ( MS Office Excel ) hiányában a költségszámításhoz) és rögtönzött azt jelenti - vonalzók milliméteres felosztással?
A sarok oldalain tegyen félre 60 mm-es szegmenseket, és kösse össze a végeket egyenes vonallal. Ennek a vonalnak a hossza milliméterben megadja a szög hozzávetőleges értékét fokban. Ily módon a hegyesszögek 60°-ig megfelelő (elfogadható) pontossággal mérhetők. Ha a szög nagyobb, mint 60°, mérje meg a komplementerét 90°-ra, 180°-ra, 270°-ra vagy 360°-ra. A szög csúcsától számított 90°-os vagy 270°-os összeadás méréséhez az egyik oldalra merőlegest kell megszerkeszteni egy háromszög segítségével (egyenlőszárú háromszögben - a medián a felező , ez egyben a magasság is ).

Hogyan mérjük meg a szöget egy vonalzóval (a talajon való vizuális tájékozódáshoz ... és a szög összehasonlításához a térképen - lásd az 1. pontot)?
Helyezzen egy milliméteres vonalzót maga elé a szemtől 57 cm-re ( legfeljebb 60 cm -re ). Ebben az esetben az 1 cm-es osztás 1°-os látószögnek felel meg. Könnyen ellenőrizheti ennek a módszernek az érvényességét, ha emlékszik arra, hogy az 1 °-os középső szög íve körülbelül a sugár 1/57-e. A vonalzóval (valamint az ujjakkal; lásd alább) történő szögmérés pontossága a vonalzó (vagy ujjak) szemtől kívánt távolságban elfoglalt helyzetétől függ. Ez gyorsan edzhető egy cérna segítségével, melynek hossza megfelel a kinyújtott kéz szemtől az ujjaiig terjedő távolságnak.

Hogyan lehet szögeket mérni és ábrázolni a talajon goniométerek használata nélkül?
Ezt legegyszerűbben úgy lehet megtenni, hogy a mért szöget összehasonlítjuk egy derékszöggel. A kezek irányával derékszöget állíthat be, amelyek közül az egyik a vállak mentén van kinyújtva, a másik pedig felemelt hüvelykujjal úgy van irányítva, hogy a jobb kéz ujja a jobb szem elé kerüljön (ill. a bal kéz ujja a bal szem előtt van). A derékszög vizuálisan két vagy három egyenlő részre osztható, amelyek mindegyike 45 ° vagy 30 ° -nak felel meg.
Kisebb szögek félretehetők vagy a talajon mérhetők a következő módon. Először is mérje meg egy vonalzóval a keze három zárt ujjának szélességét: mutató, középső és gyűrű. Ha ez egyenlő 6 cm-rel, akkor 60 cm-re nyújtott karral a látószög körülbelül 6 ° lesz. Ennek megfelelően a három ujj látószöge átlagosan 2 ° lesz. Ha például három ujj szélessége 5 cm, akkor ahhoz, hogy a látószögek azonosak legyenek, a kezet 50 cm-rel meg kell hosszabbítani.

Kinyújtott kar esetén a hüvelyk- és a mutatóujj látószöge, derékszögben széttárva, körülbelül 15°. Hogyan tudom ezt ellenőrizni és ellenőrizni?
Először is vegyen észre egy tereptárgyat a földön, és tegyen félre tőle 90°-os szöget. Ezt az előző feladatban leírt technikával lehet megtenni. Ezután a mérföldkőtől távolítson el hat 15°-os szöget a hüvelyk- és a mutatóujjon való megfigyeléssel, és húzza szét derékszögben. A szög utolsó lerakásának derékszöget kell alkotnia a talajon. Ha ez nem sikerült pontosan, meg kell ismételni a lerakódást, a kinyújtott kezet kicsit közelebb vagy távolabb tartva a szemhez (kb. 60 cm). Ez határozza meg azt a távolságot, amelyen keresztül ki kell nyújtania a karját, hogy 15°-os szöget zárjon be [3] .

Szögek számíthatók (számíthatók) különféle mérőműszerekkel és rögzítőelemekkel is - trigonometriával számláló vonalzón , mérnöki számológéppel (beleértve a számológépet (Windows) ), az MS Office Excel táblázatfüggvényeivel : (1) cos , (2) majd arccos , és (3) szintén függvényekkel konvertálja át a radiánok értékét fokokra (°) (ha van PC-nk; van egy háromszög adott oldalak mentén bezárt szögeinek on-line számítása is); Vannak speciális trigonometrikus táblák is: sin, cos, valamint arccos, arcsin, ez utóbbi egyébként (a legtöbbször is) átváltható fokokra.

Az analitikus geometriában például a koordinátasík vonalai közötti szöget a következő egyenlet adja meg:

\alpha ={\mathrm {arctg}}\,\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\jobb|

(lásd a Lineáris függvényt ; lásd még #Szög- és ponttermék )

Jegyzetek

↑ Sidorov L. A. Szög // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467-468. - 1248 stb. : ill. — 150.000 példány.
↑ Valójában a Föld forgási ideje az állócsillagokhoz képest körülbelül 4 perccel rövidebb, mint 24 óra, lásd a sziderális időt .
↑ Kuprin A. M. A földön és a térképen. - M. Nedra, 1982. - 112 p.

Lásd még

Azimut (csillagászat)
Azimut (geodézia)
Antipárhuzamos vonalak
rekeszszög
Csillagászati fénytörés
Kétszögű szög
Irányszög
isogone
Görgő (sarok)
Mágneses azimut
Poligon
Lejtő , lejtő
Ortogonalitás
Párhuzamos vonalak
Forgási szög
Pozíciószög és szögtávolság ( poláris koordináták )
poligonometria
Háromszögek megoldása
Rumb
Syngony
Deklináció (csillagászat) és óraszög ( égi koordinátarendszerek )
Tömör szög
háromszögű
Háromszögelés
Trigonometrikus parallaxis és parallaxisszög
Trigonometria
Szögsebesség (& CAV )
sarokfrekvencia
Szögfelbontás
Szöggyorsulás
Lejtése ( lineáris )
Szög mérete
Euler-szögek
emelkedési szög
Látószög
Az objektív látószöge
csúszási szög
Kategória: Sarkok

Irodalom

Barabanov O. O. A derékszög történetének kezdetei // Tudomány és technológia története. - 2015. - 1. sz . - S. 16-27 . '
Pogorelov A. V. Geometria: tankönyv a középiskola 7-11. osztályai számára . - M . : Oktatás , 1992. - 383 p. — ISBN 9785090038546 .
Sidorov L. A. Angle // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467‒468. - 1248 stb. : ill. — 150.000 példány.
Diéderszög // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1979. - T. 2: D - Koo. - Stb. 50. - 1104 stb. : ill. — 150.000 példány.
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M. : MTsNMO , 2004. - S. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0 .
Goniométerek / Szög (lapos) // Nagy Szovjet Enciklopédia (30 kötetben) / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : "Szovjet Enciklopédia", 1977. - T. XXVI. — S. 459‒460. — 624 p.
Weisstein, Eric W. Line Bisector (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Angle (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Polygon (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 : folyóirat. - 1931. - P. 721-745 .
W. A. Wilson. A szögekről bizonyos metrikus terekben (angol) // Bulletin of American Mathematical Society 39. - 1932. - P. 580‒588 .