Kör

A kör egy zárt síkgörbe , amely a síkon egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő összes pontból áll, amelyek a görbével azonos síkban helyezkednek el [1] : ezt a pontot a kör középpontjának nevezzük . A középpontot a kör bármely pontjával összekötő szakaszt sugárnak nevezzük ; a sugarat e szakasz hosszának is nevezik. A kör két részre osztja a síkot [2] – véges belsőre és végtelen külsőre. A kör belsejét körnek nevezzük ; határpontok (vagyis maga a kör), a megközelítéstől függően a kör tartalmazhat vagy nem.

A kör gyakorlati kialakítása iránytűvel lehetséges .

A nulla sugarú kör (egy degenerált kör) egy pont, továbbá ez az eset ki van zárva a számításból, hacsak másképp nincs megadva.

Egy kört egységnek nevezünk , ha sugara eggyel egyenlő. Az egységkör a trigonometria egyik alapvető tárgya .

A továbbiakban a betű a kör sugarát jelöli. $R$

Akkordok, ívek és érintők

1 - szekáns , 2 - AB húr (pirossal jelölve), 3 - szegmens (zölddel jelölve), 4 - ív
Kör szektorok

Egy egyenesnek legfeljebb két közös pontja lehet egy körrel.

A kört két különböző pontban metsző egyenest szekánsnak nevezzük . A kör belsejében elhelyezkedő szekáns szakaszt húrnak nevezzük . A kör középpontján átmenő húrt átmérőnek nevezzük ; hosszára ugyanezt a kifejezést használják. Az átmérő kétszerese a sugárnak: a kört két egyenlő részre osztja, ezért szimmetriatengelye . Az átmérője nagyobb, mint bármely más húr [3] . $D=2R,$

Az akkord két részre bontja a kört, ezeket a kör szegmenseinek nevezzük . A kört két különböző sugár is két részre, a kör szektorainak nevezik (lásd a képeket) [3] .

A kör bármely két nem egybeeső pontja két részre osztja. Ezen részek mindegyikét körívnek nevezzük . Az ívet félkörnek nevezzük , ha a végeit összekötő szakasz átmérője.

Egy adott körre a következő tulajdonságok játszódnak le [3] .

A középponttól egyenlő távolságra lévő akkordok egyenlőek. Ezzel szemben, ha két húr egyenlő hosszú, akkor egyenlő távolságra vannak a középponttól.
Az egyenlő akkordok egyenlő íveknek felelnek meg, és fordítva.

Azt az egyenest, amelynek pontosan egy pontja van egy körrel közös, a kör érintőjének , közös pontjukat pedig az egyenes és a kör érintőpontjának nevezzük. A kör érintője mindig merőleges az érintkezési pontban megrajzolt sugarára (és átmérőjére). Azaz a sugár egyidejűleg a kör normálja [ 4] .

A kör érintőinek szakaszai, amelyeket egy, a körön kívül eső pontból húztak, egyenlők, és egyenlő szöget zárnak be az ezen a ponton és a kör középpontján átmenő egyenessel [5] .

Szögek

A beírt θ szög egyenlő a 2 θ középponti szög értékének felével, ugyanazon az íven (rózsaszín)
Az ív és húr hosszának kiszámításához

A központi szög olyan szög, amelynek csúcsa a kör közepén van. A beírt szög olyan szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és oldalai metszik a kört. Azt mondják, hogy a középső vagy beírt szögek a sugaraik által egy körre faragott íven , vagy az ezt az ívet behálózó húron alapulnak .

A középső szög felfogható annak az ívnek a szögmértékeként, amelyen nyugszik. A sugárral egyenlő hosszúságú körív által alkotott központi szöget a matematika a szögek mértékegységeként veszi, és radiánnak nevezik .

A radián definíciójából következik, hogy bármely körív hosszát a középponti szöghez viszonyítjuk, ezen az íven alapulva egyszerű összefüggéssel [6] : ebben az esetben az azonos ívet behálózó húr hossza egyenlő -ig Mivel a kerület egyenlő -vel, a szög növekedésével a radián mértéke 0-ról változik $L$ $\theta$ $L=R\theta ,$ $2R\sin {\theta \over 2}<L.$ $2\pi R$ $2\pi .$

A beírt szög külső szöge az a szög, amelyet a beírt szög egyik oldala és a másik oldalának a folytatása alkot (a θ szög az ábrán barna). A beírt szög külső szöge megegyezik a másik oldalon lévő ugyanazon húron alapuló beírt szöggel.

A kör és az egyenes közötti szög a metszővonal és a kör két érintőjének egyike közötti szög az egyenes és a kör metszéspontjában.

A beírt szögek tulajdonságai :

A beírt szög vagy egyenlő a középponti szög felével az íve alapján, vagy ennek a szögnek a felét kiegészíti 180°-kal. A fél kör hosszúságú íven alapuló beírt szög mindig derékszög (egyenlő 90°-kal).
Egy beírt szög nem változtatja meg az értékét, ha a csúcsát a kör mentén mozgatjuk.
Két, ugyanazt az ívet bezáró beírt szög egyenlő.

Egyéb tulajdonságok:

A körön kívül eső pontból húzott két metsző közötti szög egyenlő a szekánsok között fekvő ívek méreteinek felével .
Az egymást metsző húrok közötti szög egyenlő a szögben fekvő ív és a vele szemközti ív mértékeinek felével.
Az érintő és a közös ponttal rendelkező húr közötti szög egyenlő az ív húr által kivont szögmértékének felével.

Tulajdonságok

Izoperimetrikus egyenlőtlenség : Egy adott hosszúságú zárt görbék közül egy kör határolja a maximális terület tartományát.
Három ponton keresztül, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, lehet kört rajzolni, sőt, csak egyet.
Azt mondjuk, hogy két kör összeér , ha egyetlen közös pontjuk van. Két kör érintkezési pontja a középpontjukon áthaladó egyenesen fekszik.
A szekáns tétel : Ha egy szekánst egy tetszőleges ponton keresztül húzunk , akkor az ettől a ponttól a metszéspont és a kör metszéspontjai közötti távolságok szorzata nem függ a metszéspont megválasztásától (és egyenlő az abszolút értékkel a pont fokának értéke a körhöz képest ). Ha egy pont a körön kívül van, akkor abból érintőt lehet húzni a körhöz. Az érintési ponthoz tartozó érintőszakasz hosszának négyzete azonos lesz. $E$ $E$

Az előző speciális eseteként, amikor két húr egy tetszőleges pontban metszi egymást, olyan szakaszokat kapunk, amelyek hosszának szorzata az egyik húr esetében egyenlő a másik húr megfelelő szorzatával (lásd az ábrát), azaz . $E$ $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

Képletek

Körméret:

C=2\pi R=\pi D

A kör sugara:

R={\frac {C}{2\pi }}={\frac {D}{2}}

Kör átmérője:

D={\frac {C}{\pi }}=2R

Az R sugarú kör területe :

S=\pi R^{2}={\frac {\pi D^{2}}{4}}

A szektor területe, amelyet az α középponti szög határol , fokban mérve, R sugarú :

{\displaystyle S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ ))))

A szelvény területe , amelyet egy körív határol, középponti szög α , húr:

S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}-{\frac {R^{2}\sin \alpha }{2}}

Történelem

A kör az egyenes vonallal együtt a leggyakoribb görbe az emberi tevékenység szinte minden területén. Kutatásának és alkalmazásának története az ókorba nyúlik vissza; a kerék feltalálása különös jelentőséget tulajdonított ennek a témának . Az ókori tudósok az egyenes vonalakat és a köröket tekintették a „tökéletes” görbék egyetlen példájának, ezért a geometriában csak az iránytűt és vonalzót használó konstrukciókat tartották elfogadhatónak , a bolygók mozgását pedig a körök mentén történő forgások előírásaként modellezték . A körök elméletét Eukleidész " Kezdetek " harmadik könyvének szentelik .

Az ókorban is felfedezték, hogy a kör kerületének és átmérőjének aránya ( π szám ) minden körre azonos. Évszázados kutatások történetileg fontos témája ennek a kapcsolatnak a finomítása, valamint a „ kör négyzetre emelése ” probléma megoldására tett kísérletek . Később a körelmélet fejlődése a trigonometria , az oszcillációelmélet és számos más, gyakorlatilag fontos tudomány és technológia ágának megalkotásához vezetett.

Körök analitikus geometriája

Az analitikus geometria szempontjából a kör egy egyszerű másodrendű sík algebrai görbe . A kör az ellipszis speciális esete , amelyben a féltengelyek egyenlőek, ezért a kör kúpszelet .

Derékszögű koordináták

A kör általános egyenlete a következőképpen írható fel:

x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0,

vagy

\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2},

ahol

2x_{0}=-A,\;2y_{0}=-B,\;2R={\sqrt {A^{2}+B^{2}-4C)).

A pont a kör középpontja és sugara. $\left(x_{0},y_{0}\right)$ $R$

Az origó középpontjában lévő sugarú kör egyenlete : $R$

x^{2}+y^{2}=R^{2}.

A nem egy egyenesen fekvő pontokon átmenő kör egyenlete (a determináns használatával ): $\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),$

{\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{ 2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3 }&1\end{vmatrix}}=0.

Ekkor a kör középpontjának koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

x_{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3} ^{2}-y_{3}^{2})+y_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1 }^{2})+y_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{ x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

y_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3}^ {2}-y_{3}^{2})+x_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1} ^{2})+x_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{x_ {1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

Egy kör paraméteres egyenlettel is leírható :

{\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases),\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .

A derékszögű koordinátarendszerben a kör nem függvénygráf , hanem a következő két függvény grafikonjainak uniójaként írható le:

y=y_{0}\pm {\sqrt {R^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.

Ha a kör középpontja egybeesik az origóval, a függvények a következő alakot öltik:

y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.

Poláris koordináták

pontban középpontos sugarú kör : $R$ $\left(\rho _{0},\phi _{0}\right)$

\rho ^{2}-2\rho \,\rho _{0}\cos \left(\phi -\phi _{0}\right)+\rho _{0}^{2}=R^{ 2}.

Ha a kör középpontjának poláris koordinátái, akkor az origón áthaladó kört a következő egyenlet írja le: $\rho _{0}=R,\;\phi _{0}=\alpha ,$

\rho (\varphi )=2R\cos \,(\varphi -\alpha ),\;\;\;\alpha -{\frac \pi 2}\leqslant \varphi \leqslant \alpha +{\frac \pi 2}.

Ha a középpont a koordináták origója, akkor az egyenlet így fog kinézni

\rho=R.

Komplex sík

A komplex síkon a kört a következő képlet adja meg:

\left|z-z_{0}\right|=R

vagy parametrikus formában

z=z_{0}+Re^{it},\,t\in \mathbb {R} .

Körök a térben

A térben egy pontban középpontos sugarú kör egy gömb átmérőjű metszetének körvonalaként definiálható $R$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}

repülőgép

a\cdot (x-x_{0})+b\cdot (y-y_{0})+c\cdot (z-z_{0})=0

ahol olyan paraméterek vannak, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nullával; vagyis az adott körön fekvő összes pont a rendszer megoldása $ABC$

{\begin{cases}(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2} ,\\a{\cdot }(x-x_{0})+b{\cdot }(y-y_{0})+c{\cdot }(z-z_{0})=0.\end{ esetek}}

Például ennek a rendszernek a megoldása során a következőképpen lehet paraméteresen beállítani: $a=c\neq 0$

{\begin{cases}x=x_{0}+{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{2))))}\cdot \!\left(c\cdot \ cos t-{\dfrac {a\cdot b\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2))))}\jobbra)\!,\ \[10pt]y=y_{0}+{\dfrac {R\cdot {\sqrt {a^{2}+c^{2)))){{\sqrt {a^{2}+b^{ 2}+c^{2)))))\cdot \sin t,\\[10pt]z=z_{0}-{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{ 2}}}}}\cdot \!\left(a\cdot \cos t+{\dfrac {b\cdot c\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+ c^{2}}}}}\jobbra)\!,\end{cases}}t\in [0;2\pi ).

Érintők és normálok

A kör egy pontban lévő érintőjének egyenletét az egyenlet adja meg $\left(x_{1},y_{1}\right)$

\left({\frac {A}{2}}+x_{1}\right)x+\left({\frac {B}{2}}+y_{1}\right)y+\left({\frac {A}{2}}x_{1}+{\frac {B}{2}}y_{1}+C\jobbra)=0.

A normál egyenlet ugyanabban a pontban a következőképpen írható fel

{\frac {x-x_{1}}{2x_{1}+A}}={\frac {y-y_{1}}{2y_{1}+B}}.

Koncentrikus körök

A közös középpontú, de eltérő sugarú köröket koncentrikusnak nevezzük . Az egyenletek által megadott két kör:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

akkor és csak akkor koncentrikusak, ha és $A_{1}=A_{2}$ $B_{1}=B_{2}.$

További információk

Háromszögek meghatározása egy körhöz

Az ABC háromszöget (A,B,C) körbe írtnak nevezzük , ha mindhárom csúcsa A , B és C ezen a körön fekszik. Ebben az esetben a kört az ABC háromszög körülírt körének nevezzük (lásd: körülírt kör ).
A beírt háromszög bármely csúcsán át húzott kör érintője ellentétes a háromszög adott csúcsával ellentétes oldalával .
Egy ABC háromszögről azt mondjuk , hogy körülírt egy kör (A',B',C'), ha mindhárom oldala AB , BC és CA érinti ezt a kört néhány C' , A' és B' pontban . Ebben az esetben a kört az ABC háromszög beírt körének nevezzük (Lásd. Beírt kör ).
Az ABC háromszöget körön kívülinek nevezzük egy körre (A',B',C'), ha mindhárom oldala AB , BC és CA érinti ezt a kört néhány C' , A' és B' pontban , nevezetesen: a 2 oldal egyike közvetlenül érinti, valamint 2 másik oldal kiterjesztése a háromszögön kívül. Ebben az esetben a kört az ABC háromszög körének nevezzük (Lásd Kizárás ).

A kör definíciójának változatai

Az AB átmérőjű kör egy olyan ábra, amely az A, B pontokból és a sík összes pontjából áll, ahonnan az AB szakasz derékszögben látható ( a kör átmérőjén alapuló szög definíciója ).
Az AB húrú kör az A és B pontokból és a sík összes olyan pontjából álló alak , amelyből az AB szakasz az AB ív beírt szögével egyenlő állandó szögben, egy másik állandó szögben látható. a másik oldalon egyenlő 180 fokkal mínusz a fent meghatározott AB ív beírt szöge (a beírt szög határozza meg ).
Olyan pontokból álló ábra, hogy az AX és BX szakaszok hosszának aránya állandó: ez egy kör (Definíció Apollonius körén keresztül ). $x,$ ${\frac {AX}{BX}}=c\neq 1,$
Az összes olyan pontból álló alakzat, amelyeknél két adott pont távolságának négyzetének összege egy adott értékkel egyenlő, nagyobb, mint az adott pontok közötti távolság négyzetének a fele, szintén kör. Pitagorasz-tétel egy körbe írt tetszőleges derékszögű háromszögre, amelynek hipotenusza , amely a kör átmérője).
A kör egy zárt, önmagát nem metsző alak, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik. Ha egy tetszőleges E ponton át húzunk AB , CD , GF stb. akkordot , akkor az egyenlőségek érvényesek: (lásd az ábrát). Az egyenlőségek mindig teljesülnek, függetlenül az E pont megválasztásától és az azon keresztül húzott akkordok irányától (Definíció metsző akkordokon keresztül ). $AE\cdot EB=CE\cdot ED=GE\cdot EF$

A kör egy zárt, önmagát nem metsző alak, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik. Ha egy azon kívüli tetszőleges M ponton keresztül két érintőt húzunk a körrel való érintkezési pontjaihoz, például A és B , akkor ezek hossza mindig egyenlő lesz: . Az egyenlőség mindig fennáll, függetlenül attól, hogy az M pontot választottuk (Egyenlő érintők definíciója ). $MA=MB$
A kör egy zárt, önmagát nem metsző alak, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik. Bármely húrja hosszának és bármely beírt szögének szinuszához viszonyított aránya ezen a húron alapulva állandó érték, amely megegyezik a kör átmérőjével (Definíció a szinusztételen keresztül ) .
A kör az ellipszis speciális esete , amelyben a fókuszpontok távolsága nulla (Degenerált ellipszisen keresztüli meghatározás ).
A kör egy szinuszos spirál -nál . $n=1$

Kapcsolódó definíciók két körhöz

Két olyan kört, amelyeknek közös középpontja van, koncentrikusnak nevezzük .
Két olyan kört, amelyeknek csak egy közös pontja van , kívülről érintőnek nevezzük , ha a köreiknek nincs más közös pontjuk, és belülről, ha köreik egymáson belül helyezkednek el.
Két olyan kört, amelyeknek két közös pontja van, metszéspontnak nevezzük . Az általuk határolt köreik egy kettős körszakasznak nevezett tartományban metszik egymást.
Két egymást metsző (vagy érintő) kör közötti szög a közös metszéspontban (vagy érintőlegesen) húzott érintőik szöge .
Szintén két egymást metsző (vagy érintő) kör közötti szög tekinthető a közös metszéspontban (vagy érintőlegesen) húzott sugaraik (átmérőik) közötti szögnek.
Mivel bármely kör esetében a sugara (vagy átmérője) és a kör bármely pontján áthúzott érintője egymásra merőleges, a sugarat (vagy átmérőt) tekinthetjük az adott pontjában megszerkesztett kör normálisának . Ezért az előző két bekezdésben meghatározott kétféle szög mindig egyenlő lesz egymással, mint a kölcsönösen merőleges oldalakkal rendelkező szögek.
Két kör gyöktengelye azoknak a pontoknak a helye, amelyek foka két adott körhöz képest egyenlő. Más szóval, egy adott ponthely bármely M pontjából két adott körre húzott négy érintő hossza.

Két kör szögeinek meghatározásai

A két egymást metsző kör közötti szög a körök metszéspontjában lévő körök érintőinek szöge . Két egymást metsző kör mindkét szöge egyenlő.
Két nem metsző kör közötti szög a két kör két közös érintője közötti szög , amely e két érintő metszéspontjában alakul ki. E két érintő metszéspontjának a két kör között kell lennie, és nem az egyik oldalán (ezt a szöget nem veszi figyelembe). Két nem metsző kör közötti mindkét függőleges szög egyenlő.

Ortogonalitás (perpendicularitás)

Két, derékszögben metsző kört merőlegesnek ( merőlegesnek ) nevezünk . Az egyenletek által megadott két kör:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

akkor és csak akkor merőlegesek, ha a következő feltétel teljesül:

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=2\bal(C_{1}+C_{2}\jobb).

Más szavakkal, két olyan kört, amelyek az A és B pontokban metszik egymást O és O' középponttal , merőlegesnek nevezzük, ha OAO' vagy OBO' derékszögek . Ez a feltétel garantálja a körök közötti derékszöget . Ebben az esetben a metszéspontjukig húzott két kör sugara (normálértéke) merőleges. Ezért a metszéspontjukhoz húzott két kör érintői is merőlegesek. A kör érintője merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra (normál). Általában a görbék közötti szög a metszéspontjukba húzott érintőik szöge.

Lehetséges még egy további feltétel. Legyen két, A és B pontban metsző körnek a C és D pontokban metsző íveinek felezőpontja , azaz az AC ív egyenlő a CB ívvel , az AD ív egyenlő a DB ívvel . Ekkor ezeket a köröket ortogonálisnak nevezzük, ha a CAD és a CBD derékszögek .
Az inverzió elméletében bevezetik: egy kört vagy egy egyenest, amely merőleges a körre . Ebben az esetben a merőlegességet a fenti módon határozzuk meg. $\Gamma$
Az inverzióelméletben egy egyenes merőleges egy körre , ha átmegy a kör középpontján. $\Gamma$

Kapcsolódó definíciók három körhöz

Három kört egymást érintőnek (metszőnek) nevezünk, ha bármelyik kettő érinti (metszi) egymást.
A geometriában három kör gyökközéppontja a körpárok három gyöktengelyének metszéspontja . Ha a gyökközép mindhárom körön kívül van, akkor ez az egyetlen kör középpontja ( gyökkör ), amely a három adott kört merőlegesen metszi .

Arkhimédész lemmája

Arkhimédész lemmája . Ha a kör a kör húrral kivont szakaszába van beírva, és a pontban érinti az ívet , és a húr érinti a pontot , akkor az egyenes a szög felezője . Arkhimédész lemmája fontos szerepet játszik az izocirkuláris transzformáció felépítésében . $időszámításunk előtt$ $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{1}A_{2}$ $BA_{1}C$

Bizonyíték

Legyen egy homotétia, amely egy kis kört egy nagyra visz. Akkor világos, hogy mi a középpontja ennek a homotétának. Ekkor az egyenes bemegy a nagykör valamelyik érintőjébe, és ezen az egyenesen egy olyan pontba megy, amely a nagykörhöz tartozik. Emlékeztetve arra, hogy a homotégia a vonalakat velük párhuzamos egyenesekké alakítja, megértjük, hogy . Legyen és egy pont az egyenesen olyan, amelyik éles, és egy olyan pont az egyenesen , amelyik éles. Aztán mivel a nagy kör érintője . Ezért - egyenlő szárú, és ezért , azaz - a szög felezője . $G$ $A_{1}$ $időszámításunk előtt$ $a$ $A_{2}$ $a\parallel BC$ $G(A_{2})=A_{3}$ $D$ $a$ $\angle CA_{3}D$ $E$ $a$ $\angle BA_{3}E$ $a$ $\angle CA_{3}D$ $=$ ${\displaystyle \angle CBA_{3))$ ${\displaystyle =\angle BCA_{3}E=\angle BCA_{3))$ ${\displaystyle \bigtriangleup BCA_{3))$ ${\displaystyle \angle BA_{1}A_{3}=\angle CA_{1}A_{3))$ $A_{1}A_{2}$ $\angle BA_{1}C$

Descartes tétele négy páronkénti érintőkör sugaraira

Descartes tétele kimondja, hogy bármely négy egymást érintő érintő kör sugara eleget tesz valamilyen másodfokú egyenletnek . Néha Soddy köröknek is nevezik őket .

Körkörös mozgás

Többdimenziós általánosítás

Általánosított kör definiálható bármely matematikai szerkezetre, ahol a távolság fogalma adott. Különösen a nagydimenziós euklideszi tér általánosítása a hiperszféra ; a háromdimenziós térben ez egy közönséges gömb . A gömbgeometriában fontos szerepet játszanak a gömbön lévő körök, amelyek középpontja egybeesik a gömb középpontjával (" nagy körök ").

A kultúrában és a misztikában

A kört a kör , a gyűrű és a gömb hasonló fogalmaival együtt ősidők óta a legmagasabb tökéletesség isteni szimbólumának, a szépség és az egyenlőség szimbólumának tartották. Az ókori csillagászok meg voltak győződve arról, hogy az égitesteket forgó gömbökre helyezték, és így körkörösen mozognak. Arthur király lovagjai kerek asztalhoz ültek, ami hangsúlyozta egyenlőségüket [7] .

Az egyiptomi mitológiában a teremtő Khnum isten embert formált fazekaskorongra . A Salamon Példabeszédek könyve azt mondja, hogy a világ teremtésekor Isten "kört rajzol a mélység színére" ( Péld. 8:27 ). A " gonosz szellemek " elleni védelem érdekében kört kellett volna rajzolnia maga köré ( varázskör ). A keresztény szentek képén az arcukat kerek glória veszi körül . Az alvilág sok vallásban koncentrikus körökből áll, ami a reménytelenséget szimbolizálja. Stonehenge -ben és más kromlechekben a kövek körben vannak elrendezve [7] [8] .

A különböző misztikus tanokban a kör gyakran a létezés végtelenségét és ciklikusságát ( ouroboros , Samsara ), az egyensúlyt ( yin/yang ), a stabilitást stb. jelképezi [9] . Hasonló jelentést látunk sok nép idiómáiban és mondásaiban, például: „egész évben”, „társadalmi kör”, „ördögi kör”, „kölcsönös felelősség” stb. a menyasszony és a vőlegény az érzelmek örökkévalóságát, a család stabilitását jelképezi [8] [10] .

Lásd még

A "körméret" szó planimetriás szószedete
Kerülje el
Egy háromszög beírt és körülírt körei
Beírt és körülírt ábrák egy háromszöghez
Beírt kör
Kategória:Körök - alapfogalmak és tételek körökhöz
Behatárolt kör
Ciklois

Jegyzetek

↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , p. 15-16.
↑ Elemi matematika, 1976 , p. 408-409.
↑ 1 2 3 Elemi matematika, 1976 , p. 410-411.
↑ Elemi matematika, 1976 , p. 409-410.
↑ L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , I. I. Yudina. Geometria. 7-9. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára. - 19. kiadás - M . : Oktatás , 2009. - S. 167. - 384 p. - ISBN 978-5-09-021136-9 .
↑ Elemi matematika, 1976 , p. 510.
↑ 1 2 Yakovleva T. S., Demenok S. L. Struktúrák és szimbólumok (Az absztrakció empirikus tény). - Szentpétervár. : Strata, 2020. - S. 65-69. — 232 p. - (Éppen). - ISBN 978-5-907314-11-5 .
↑ 1 2 Krug archiválva : 2021. augusztus 5. a Wayback Machine -nél .
↑ Abdullahi, Yahya (2019. október 29.), The Circle from East to West, Charnier, Jean-François, The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art , Rizzoli International Publications, Incorporated, ISBN 9782370741004 .
↑ Kör . Letöltve: 2022. március 17. Az eredetiből archiválva : 2022. január 24. (határozatlan)

Irodalom

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. et al. További fejezetek a 8. osztályos tankönyvhöz // Geometria. — 3. kiadás. — M. : Vita-Press, 2003.
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Korn G., Korn T. Körök, ellipszisek, hiperbolák és parabolák tulajdonságai // Matematika kézikönyve. - 4. kiadás. - M . : Nauka, 1978. - S. 70.
Markushevich A. I. Figyelemre méltó görbék, 4. szám . - M . : Gostekhizdat, 1952. - 32 p. Archivált: 2008. szeptember 14. aWayback Machine
Kör // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4.

Linkek

Circle archiválva : 2017. május 8. a Wayback Machine webhelyen, a www.univer.omsk.su oldalon.
Kör és kerület archiválva : 2017. március 17. a Wayback Machine -nél a MetMath weboldalán.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Új Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4032962-8 J9U : 987007286430105171 LCCN : sh85026057 LNB : 000321923 NKC : ph121971

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg

Kúpos szakaszok
Főbb típusok	Ellipszis Hiperbola Parabola
Elfajzott	Pont Egyenes Egyenes vonalpár
Az ellipszis speciális esete	Kör
Geometriai konstrukció	kúpos szakasz Dandelin golyók Steiner tervezése
Lásd még	Kúpos állandó
Matematika • Geometria