Riemann geometria
A Riemann-geometria a differenciálgeometria egyik ága , amelynek fő vizsgálati tárgya a Riemann-féle sokaság , vagyis a sima sokaságok egy kiegészítő szerkezettel, egy Riemann-metrikával , más szóval, minden érintőtéren egy euklideszi metrika kiválasztásával . és ez a mérőszám simán változik pontról pontra. Néha, különösen a matematikai fizikában, a Riemann-geometria a sokaságok pszeudo-riemann-geometriáját is jelenti pszeudo-riemann -metrikával , például a speciális és általános relativitáselmélet tér-idő geometriáját .
A Riemann-geometria fő alszekciója a matematikában a geometria egésze - egy olyan rész, amely felfedi a kapcsolatot a Riemann-féle sokaság globális tulajdonságai, például: topológia, átmérő, térfogat - és helyi tulajdonságai, például a görbületi korlátozások .
Történelem
A riemanni geometria őse Bernhard Riemann német matematikus, aki 1854 -ben vázolta fel annak alapfogalmait .
Riemann munkáinak megjelenése után gondolatai számos matematikus figyelmét felkeltették, akik továbbfejlesztették a Riemann geometria analitikai apparátusát, és új geometriai tételeket állítottak fel benne. A Riemann-féle geometria fejlődéséhez fontos hozzájárulást jelentett, hogy Ricci-Curbastro olasz geométerek és tanítványa, Levi-Civita a 20. század fordulóján megalkották a tenzorszámítást , amely a legalkalmasabb analitikai apparátusnak bizonyult. Döntő volt a Riemann-féle geometria alkalmazása az általános relativitáselmélet megalkotásában . Ez a Riemann-féle geometria és különféle általánosításainak gyors fejlődéséhez vezetett. Jelenleg a Riemann-geometria általánosításaival együtt a geometria hatalmas területe, amely továbbra is sikeresen fejlődik.
Alaptételek
A Riemann-geometria alaptétele kimondja, hogy bármely Riemann-féle sokaságon van egy egyedi csavarásmentes kapcsolat , amely megőrzi a metrikus tenzort , az adott metrika úgynevezett Levi-Civita kapcsolatát .
A Gauss-Bonnet tétel kimondja, hogy a Gauss-görbület integrálja egy kompakt 2-dimenziós Riemann-sokaságon 2πχ(M), ahol χ(M) a sokaság Euler-karakterisztikáját jelöli. Ez a tétel is megenged egy általánosítást egy páros dimenziójú kompakt Riemann-sokaságra.
Lásd még
- Riemann-féle sokaság
- Metrikus tenzor
- Görbület
- Görbületi tenzor
- Levi-Civita csatlakozás
- Riemann információs metrika
Irodalom
- Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Bevezetés a Riemann geometriába. - Szentpétervár: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .
- Rashevsky PK Riemann geometria és tenzoranalízis. — M.: Nauka, 1967.
- Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria. Módszerek és alkalmazások. - M.: Nauka, 1979.
- Postnikov M. M. Riemann-geometria (Előadások a geometriáról. V. félév) - Moszkva: Factorial Press, 1998. 496 p.
- Gromol D., Klingenberg V., Meyer V. Riemann geometria általában. — M.: Mir, 1971
 Szótárak és enciklopédiák | ||||
|---|---|---|---|---|
| ||||