A Riemann-geometria alaptétele kimondja, hogy bármely Riemann-féle sokaságon (vagy pszeudo-Riemann-féle sokaságon ) van egy egyedi torziómentes metrikus kapcsolat , amelyet az adott metrika Levi-Civita kapcsolatának neveznek. Itt a metrikus (vagy Riemann- ) kapcsolat olyan kapcsolat, amely megőrzi a metrikus tenzort .
A Riemann-geometria alaptétele . Legyen ( M , g ) Riemann sokaság (vagy pszeudo-Riemann sokaság ). Ekkor létezik egy egyedi affin kapcsolat ∇, amely kielégíti a következő feltételeket:
Az első feltétel azt jelenti, hogy a metrikus tenzor megmarad párhuzamos fordítás során, a második feltétel pedig azt a tényt fejezi ki, hogy a kapcsolat torziója nulla.
Az alaptétel általánosítása kimondja, hogy egy pszeudo-Riemann-féle sokaságon létezik egy olyan egyedi kapcsolat, amely megőrzi a metrikus tenzort bármely adott vektorértékű 2-formával, mint torziójával.
A következő technikai bizonyíték a lokális koordináta-rendszerbeli kapcsolat Christoffel-szimbólumainak képlete. Egy adott metrika esetében ez az egyenletrendszer meglehetősen bonyolulttá válhat. Vannak gyorsabb és egyszerűbb módszerek egy adott metrika Christoffel-szimbólumainak megszerzésére, például az akcióintegrál és a kapcsolódó Euler-Lagrange egyenletek felhasználásával.
Legyen m az M sokaság mérete . Néhány helyi térképen vegye figyelembe a szabványos koordináta vektormezőket
.Lokálisan a metrikus tenzor g ij elemének alakja van
.A kapcsolódás beállításához elegendő az összes i , j és k meghatározása
.Emlékezzünk vissza, hogy a helyi kapcsolatot m 3 sima függvények adják
,ahol
.A torziómentes állapot azt jelenti
.Másrészt a Riemann-metrikával való kompatibilitást úgy írják le
.Fix i , j és k esetén a permutációk 3 egyenletet adnak 6 ismeretlenben. A torziómentes feltevés háromra csökkenti a változók számát. Az így kapott három lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van
.Ez az első Christoffel személyazonosság .
Továbbá megjegyezzük, hogy
,ahol az Einstein-egyezményt használjuk , azaz a páros felső és alsó index azt jelenti, hogy ennek az indexnek az összes értéke összegzése történik. A metrikus tenzor megfordításával megkapjuk a második Christoffel-azonosságot :
.Az így létrejövő kapcsolat a Levi-Cevita kapcsolat.
A Riemann-geometria alaptételének alternatív bizonyítéka annak bemutatása, hogy egy csavarásmentes metrikus kapcsolat egy M Riemann-féle sokaságon szükségszerűen megadható a Koszul-formulával :
,ahol a vektormező természetes módon hat a sima függvényekre egy Riemann-sokaságon a képlet szerint .
Tegyük fel, hogy a kapcsolat kielégíti a szimmetriafeltételeket
és kompatibilitás a mérőszámmal
.Ekkor az összeg egyszerűsíthető, ami a Koszul képlethez vezet.
Ebben az esetben a kifejezés egyértelmûen határozza meg a -t, és fordítva, a Koszul képlet segítségével adható meg , így általában ellenõrizni kell, hogy a kapcsolat szimmetrikus és konzisztens-e a g metrikával [1] .