A Riemann-geometria alaptétele

A Riemann-geometria alaptétele kimondja, hogy bármely Riemann-féle sokaságon (vagy pszeudo-Riemann-féle sokaságon ) van egy egyedi torziómentes metrikus kapcsolat , amelyet az adott metrika Levi-Civita kapcsolatának neveznek. Itt a metrikus (vagy Riemann- ) kapcsolat olyan kapcsolat, amely megőrzi a metrikus tenzort .

Megfogalmazás

A Riemann-geometria alaptétele . Legyen ( M , g ) Riemann sokaság (vagy pszeudo-Riemann sokaság ). Ekkor létezik egy egyedi affin kapcsolat ∇, amely kielégíti a következő feltételeket:

bármely X , Y , Z vektormezőre

\partial _{X}\langle Y,Z\rangle =\langle \nabla _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\nabla _{X}Z\rangle ,

ahol a függvény deriváltját jelöli az X vektormező mentén .

\partial _{X}\langle Y,Z\rangle

\langle Y,Z\rangle

bármely X , Y vektormezőre

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],

ahol [ X , Y ] az X , Y vektormezők Lie zárójelét jelenti .

Az első feltétel azt jelenti, hogy a metrikus tenzor megmarad párhuzamos fordítás során, a második feltétel pedig azt a tényt fejezi ki, hogy a kapcsolat torziója nulla.

Az alaptétel általánosítása kimondja, hogy egy pszeudo-Riemann-féle sokaságon létezik egy olyan egyedi kapcsolat, amely megőrzi a metrikus tenzort bármely adott vektorértékű 2-formával, mint torziójával.

Bizonyítás

A következő technikai bizonyíték a lokális koordináta-rendszerbeli kapcsolat Christoffel-szimbólumainak képlete. Egy adott metrika esetében ez az egyenletrendszer meglehetősen bonyolulttá válhat. Vannak gyorsabb és egyszerűbb módszerek egy adott metrika Christoffel-szimbólumainak megszerzésére, például az akcióintegrál és a kapcsolódó Euler-Lagrange egyenletek felhasználásával.

Legyen m az M sokaság mérete . Néhány helyi térképen vegye figyelembe a szabványos koordináta vektormezőket

{\partial }_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i))},\qquad i=1,\dots ,m

Lokálisan a metrikus tenzor g ij elemének alakja van

g_{ij}=\left\langle {\partial }_{i},{\partial }_{j}\right\rangle

A kapcsolódás beállításához elegendő az összes i , j és k meghatározása

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle

Emlékezzünk vissza, hogy a helyi kapcsolatot m 3 sima függvények adják

{\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\))

ahol

\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{l}\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l}

A torziómentes állapot azt jelenti

\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}

Másrészt a Riemann-metrikával való kompatibilitást úgy írják le

\partial _{k}g_{ij}=\left\langle \nabla _{\partial _{k))\partial _{i},\partial _{j}\rangle +\langle \partial _ {i},\nabla _{\partial _{k}}\partial _{j}\right\rangle

Fix i , j és k esetén a permutációk 3 egyenletet adnak 6 ismeretlenben. A torziómentes feltevés háromra csökkenti a változók számát. Az így kapott három lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\tfrac {1}{2}}\left(\ részleges _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right)

Ez az első Christoffel személyazonosság .

Továbbá megjegyezzük, hogy

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}

ahol az Einstein-egyezményt használjuk , azaz a páros felső és alsó index azt jelenti, hogy ennek az indexnek az összes értéke összegzése történik. A metrikus tenzor megfordításával megkapjuk a második Christoffel-azonosságot :

\Gamma _{ij}^{l}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\ részleges _{j}g_{ik}\right)g^{kl}

Az így létrejövő kapcsolat a Levi-Cevita kapcsolat.

Koszul képlete

A Riemann-geometria alaptételének alternatív bizonyítéka annak bemutatása, hogy egy csavarásmentes metrikus kapcsolat egy M Riemann-féle sokaságon szükségszerűen megadható a Koszul-formulával :

{\begin{array}{ll}2g(\nabla _{X}Y,Z)&=\,X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z( g(X,Y))\\&\quad +\,g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X),\end {sor}}

ahol a vektormező természetes módon hat a sima függvényekre egy Riemann-sokaságon a képlet szerint . $x$ $Xf=\partial _{X}f$

Tegyük fel, hogy a kapcsolat kielégíti a szimmetriafeltételeket

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]

és kompatibilitás a mérőszámmal

Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)

Ekkor az összeg egyszerűsíthető, ami a Koszul képlethez vezet. $Xg(Y,Z)+Yg(X,Z)-Zg(Y,X)$

Ebben az esetben a kifejezés egyértelmûen határozza meg a -t, és fordítva, a Koszul képlet segítségével adható meg , így általában ellenõrizni kell, hogy a kapcsolat szimmetrikus és konzisztens-e a g metrikával [1] . $g(\nabla _{X}Y,Z)$ $\nabla _{X}Y$ $\nabla _{X}Y$ $\nabla _{X}$

Jegyzetek

↑ do Carmo, 1992 .

Irodalom

do Carmo, Manfredo (1992), Riemann geometria , Matematika: elmélet és alkalmazások, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8