Einstein egyezmény

A tenzorelemzésben , különösen az általános relativitáselmélet , a rugalmasság és a differenciálgeometria alkalmazásaiban , amikor többkomponensű mennyiségekből írunk kifejezéseket, amelyek felső- és alsóindexekkel vannak számozva ( tenzorok ), célszerű az Einstein-egyezménynek nevezett szabályt használni (más néven " Einstein összegzési szabálya "): ha az index megjelölésében ugyanaz a betű fordul elő egy monomban fent és lent is, akkor azt feltételezzük, hogy ez a monom az összes értéket összegezve, amelyet ez az index felvehet. Például a kifejezésben

v_k=a_ib^i_k

az index fent és lent is előfordul, így ez a kifejezés az összeggel egyenértékűnek tekinthető $én$

v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.

Pontosabban

v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k,

ahol annak a térnek a mérete, amelyen a és definiált (itt feltételezzük, hogy a koordináták számozása egyből indul). $n$ $a$ $b$

Az indexet, amelyen az összegzés történik, némának nevezzük ; tetszőleges betűvel helyettesíthető, miközben annak a kifejezésnek az értéke, amelybe belép, nem változik (nyilván, ). Ha az index nem buta ( szabad index), akkor az (in)egyenlőség mindkét részében ugyanazon a helyen kell előfordulnia; valójában ebben az esetben az egyik kifejezés egy kifejezésrendszer (egyenlőség vagy egyenlőtlenség), amelyek száma egyenlő n s -vel , ahol s a szabad indexek száma. Például, ha az n dimenzió = 4 , akkor a kifejezés ${\displaystyle a_{i}b^{i}\equiv a_{j}b^{j))$

r_{lk}=p_{li}q_{k}^{i}

két szabad indexű k és l 4 2 =16 egyenlőség rövidített jelölése, amelyek mindegyikének jobb oldalán négy szorzat összege látható:

r_{11}=p_{11}q_{1}^{1}+p_{12}q_{1}^{2}+p_{13}q_{1}^{3}+p_{14 }q_{1}^{4};

r_{12}=p_{11}q_{2}^{1}+p_{12}q_{2}^{2}+p_{13}q_{2}^{3}+p_{14 }q_{2}^{4};

...

r_{44}=p_{41}q_{4}^{1}+p_{42}q_{4}^{2}+p_{43}q_{4}^{3}+p_{44 }q_{4}^{4}.

Tört formájú kifejezések, például részleges származékok használata esetén a nevezőbe írt felső indexek a szabály alkalmazásában alsó indexnek minősülnek, és fordítva; például a kifejezés

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}dx_{i},

formában van írva

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i))}dx_{i))

vagy még egyszerűbb formában, amikor az index előtti vessző a megfelelő koordinátához képest részleges differenciálást jelöl:

f^{,i}dx_{i}.

Egyes esetekben [1] (ha a metrikus tenzort mindig δ ik -nek tételezzük fel ) a képletekben a felső és alsó indexek nem különböztethetők meg. Ebben az esetben az összegzést a tenzorok ugyanazon szorzatában előforduló bármely ismétlődő indexpáron hajtjuk végre. Például a háromdimenziós euklideszi térben $\mathbb {R} ^{3}$

D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }.

A szabványos Einstein-egyezményt használva kell írni . $D^{\alpha}_{\beta}n_\alpha$

Jegyzetek

↑ Például a rugalmasság elméletében. Lásd L. D. Landau és E. M. Lifshitz, Theoretical Physics. T. VII. A rugalmasság elmélete. - M .: Nauka, 1987.