Ortogonális függvények

Általános esetben két összetett értékű függvényt és a Lebesgue térhez tartozó , ahol egy mérhető halmaz , ortogonálisnak nevezzük, ha $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $L_2(E)$ $E$

\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0

A vektorfüggvényeknél bevezetjük a függvények integrál alatti skaláris szorzatát , és a szegmensen keresztüli integrációt felváltja a megfelelő dimenziójú tartomány feletti integráció. Az ortogonalitás fogalmának hasznos általánosítása a bizonyos súlyú ortogonalitás. merőlegesek a függvény súlyával és ha $w$ $f$ $g$

\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0

ahol a vektorok skaláris szorzata és a vektorértékű függvények értéke , és a pontban a régió pontja , és a térfogatának eleme ( mérték ). Ez a képlet a fentiekhez képest a legáltalánosabb módon íródott. Valódi skalárok esetén a skalárszorzatot a szokásosra kell cserélni; összetett skalárok esetén : . $\langle f(x), g(x)\rangle$ $f(x)$ $g(x)$ $f$ $g$ $x$ $x$ $\Omega$ $d\Omega$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f(x) g(x)$

A függvények térhez való tartozásának követelménye abból adódik, hogy a terek nem alkotnak Hilbert-teret , ezért nem lehet rájuk skaláris szorzatot bevezetni, és ezzel együtt az ortogonalitást. $L_2(E)$ $p \neq 2$ $L_p(E)$

Példa

$\sin x$ és ortogonális függvények az intervallumon $\cos x$ $[0,\pi ]$
$\sin (2\pi knx$ ) és , ahol egy egész szám, ortogonálisak az intervallumon $\cos (2\pi knx)$ $n$ $[0, T], T = 1/k$
$x$ és ortogonális az intervallumon $egy$ $[-1,1]$

Ortogonális függvények

Példa

Lásd még