Ortogonális rendszer

A vektortér belső szorzatú elemeinek ortogonális rendszere a vektorok olyan részhalmaza, amelyek közül bármelyik kettő merőleges , azaz a belső szorzatuk nulla: $\left\{\varphi _{i}\right\}\subset H$

(\varphi _{i},\varphi _{j})=0

Egy ortogonális rendszer, ha teljes, a tér alapjául szolgálhat . Ebben az esetben bármely elem dekompozíciója kiszámítható a következő képletekkel: , ahol . $\vec a$ ${\vec a}=\sum _{{k}}\alpha _{i}\varphi _{i}$ $\alpha _{i}={\frac {({\vec {a)),\varphi _{i})}{(\varphi _{i},\varphi _{i)))))$

Azt az esetet, amikor az összes elem normáját ortonormális rendszernek nevezzük . $||\varphi _{i}||=1$

Ortogonalizáció

Bármely lineárisan független rendszerhez ortonormális rendszer szerkeszthető a Gram–Schmidt ortogonalizációs eljárás alkalmazásával .

Minden teljes lineárisan független rendszer egy véges dimenziós térben alap. Az egyszerű alapról tehát át lehet térni az ortonormális alapra.

Ortogonális dekompozíció

Egy vektortér vektorainak ortonormális alapon történő felbontásakor a skalárszorzat számítása leegyszerűsödik: , ahol és . ${\displaystyle ({\vec {a)),{\vec {b)))=\sum _{k}\alpha _{k}\beta _{k))$ ${\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{k}\varphi _{k}$ ${\vec {b}}=\sum _{k}\beta _{k}\varphi _{k}$

Ortogonális rendszer

Ortogonalizáció

Ortogonális dekompozíció

Lásd még