Vektor tér

A vektortér ( lineáris tér ) egy matematikai szerkezet , amely elemek halmaza, úgynevezett vektorok , amelyekre az egymással való összeadás és a számmal való szorzás - skalár [1] műveletei vannak meghatározva . Ezek a műveletek nyolc axiómára vonatkoznak . A skalárok lehetnek valós , komplex vagy bármilyen más számmező elemei . Egy ilyen tér speciális esete a szokásos háromdimenziós euklideszi tér , amelynek vektorait például fizikai erők ábrázolására használják . Ebben az esetben a vektort, mint a vektortér elemét, nem kell irányított szegmensként megadni. A "vektor" fogalmának általánosítása egy tetszőleges természetű vektortér elemére nemcsak hogy nem okoz zavart a kifejezésekben, hanem lehetővé teszi számos olyan eredmény megértését vagy akár előrejelzését is, amelyek tetszőleges természetű terekre érvényesek . 2] .

A vektorterek a lineáris algebra vizsgálatának tárgyát képezik . A vektortér egyik fő jellemzője a mérete. A dimenzió a tér lineárisan független elemeinek maximális száma, azaz durva geometriai értelmezéshez folyamodva azoknak az irányoknak a száma, amelyek nem fejezhetők ki egymáson pusztán összeadás és skalárral való szorzás segítségével. A vektortér további struktúrákkal is felruházható, például normával vagy pontszorzattal . Az ilyen terek természetesen megjelennek a számításban , túlnyomórészt végtelen dimenziós függvényterek formájában ahol a függvények Számos elemzési probléma megköveteli annak megállapítását, hogy egy vektorsorozat konvergál-e egy adott vektorhoz. Az ilyen kérdések megfontolása további struktúrával rendelkező vektorterekben lehetséges, a legtöbb esetben - megfelelő topológia , amely lehetővé teszi a közelség és a folytonosság fogalmának meghatározását . Az ilyen topológiai vektorterek , különösen a Banach és Hilbert terek mélyebb tanulmányozást tesznek lehetővé.

Az első művek, amelyek a vektortér fogalmának bevezetését várták, a 17. századból származnak . Ekkor alakult ki az analitikus geometria , a mátrixok tana , a lineáris egyenletrendszerek és az euklideszi vektorok .

Definíció

Lineáris vagy vektoros tér egy mező felett egy rendezett négyes , ahol $V(F)$ $F$ ${\megjelenítési stílus (V,F,+,\cdot )}$

$V$ tetszőleges természetű elemek nem üres halmaza , amelyeket vektoroknak nevezünk .
$F$ egy olyan mező, amelynek elemeit skalároknak nevezzük .
Meghatározzuk a vektorösszeadás műveletét , amely a halmaz minden elempárját a halmaz egyetlen eleméhez társítja , amelyet összegüknek nevezünk és jelölünk . $V\times V\to V$ $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ $V$ $V$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$
Meg van határozva a vektorok skalárokkal való szorzásának művelete , amely a mező minden elemét és a halmaz minden elemét a halmaz egyetlen eleméhez rendeli, amelyet vagy jelöl . $F\-szer V\-től V-ig$ $\lambda$ $F$ $\mathbf {x}$ $V$ $V$ $\lambda \cdot \mathbf {x}$ $\lambda \mathbf {x}$

Az adott műveleteknek a következő axiómákat kell kielégíteniük – egy lineáris (vektor) tér axiómáit:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ bármelyre ( összeadás kommutativitása ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ bármelyre ( összeadás asszociativitása ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
van egy olyan elem , hogy bármely ( egy semleges elem létezése az összeadáshoz képest ), az úgynevezett nulla vektor , vagy egyszerűen nulla , tér ; $\mathbf {0} \in V$ $\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \in V$ $V$
bármelyikhez van olyan elem , amelyet a vektorral ellentétes vektornak nevezünk ; $\mathbf {x} \in V$ $-\mathbf {x} \in V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {x}$
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ ( skalárral való szorzás asszociativitása );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitárius: a mező semleges (szorzási) elemével való szorzás megőrzi a vektort $F$ ).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ ( egy vektor skalárral való szorzásának eloszlása a skalárok összeadásához képest );
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ ( egy vektor skalárral való szorzásának eloszlása a vektorok összeadásához képest ).

Így az összeadási művelet egy (additív) Abel-csoport szerkezetét határozza meg a halmazon . $V$

Az ugyanazon az elemkészleten, de különböző mezők felett meghatározott vektorterek különböző vektorterek lesznek (például a valós számpárok halmaza lehet kétdimenziós vektortér a valós számok mezője felett vagy egydimenziós vektortér a komplex számok mezője ). $\mathbb {R} ^{2}$

A legegyszerűbb tulajdonságok

A vektortér összeadás alapján Abel-csoport .
A semleges elem az egyetlen, amely a csoport tulajdonságaiból adódik. $\mathbf {0} \in V$
$0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0}$ bármely . $\mathbf {x} \in V$
Bármely ellentétes elem az egyetlen, amely a csoport tulajdonságaiból következik. $\mathbf {x} \in V$ $-\mathbf {x} \in V$
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ bármely . $\mathbf {x} \in V$
$(-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )$ bármely és . $\alpha \in F$ $\mathbf {x} \in V$
$\alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ bármely . $\alpha \in F$

Kapcsolódó definíciók és tulajdonságok

Altér

Algebrai definíció: A lineáris altér vagy a vektoraltér a lineáris tér nem üres részhalmaza úgy, hogy maga is lineáris tér az összeadás és a skalárral való szorzás műveleteiben meghatározottakhoz képest. Az összes alterek halmazát általában a következővel jelölik . Ahhoz, hogy egy részhalmaz altér legyen, szükséges és elegendő az $K$ $V$ $K$ $V$ $\mathrm {Lat} (V)$

bármely vektorhoz a vektor is hozzátartozott bármely vektorhoz ; $\mathbf {x} \in K$ $\alpha \mathbf {x}$ $K$ $\alpha \in F$
bármely vektor esetén a vektor is hozzátartozott . $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ $K$

Az utolsó két állítás egyenértékű a következőkkel:

bármely vektor esetén a vektor is bármelyikhez tartozott .

\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K

\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}

K

\alpha ,\beta \in F

Konkrétan egy csak egy nulla vektorból álló vektortér bármely tér altere; minden tér önmaga altere. Azokat az altereket, amelyek nem esnek egybe ezzel a kettővel, megfelelőnek vagy nem triviálisnak nevezzük .

Altér tulajdonságai

Az alterek bármely családjának metszéspontja ismét altér;
Az alterek összege olyan halmaz, amely az összes lehetséges elemösszeget tartalmazza : $\{K_{i}\mid i\in 1\ldots N\}$ $K_{i}$ $\sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\mid \mathbf {x} _{i}\in K_{i}\quad (i\in 1\ldots N)\}$ .
- Az alterek véges családjának összege ismét altér.

Lineáris kombinációk

A forma formális kifejezése

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}

együtthatós elemek lineáris kombinációjának nevezzük [3] . $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\in V$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F$

Valójában ez a definíció (és az alábbiakban megadottak) nem csak a vektorok kombinációira vonatkozik, hanem minden olyan objektum kombinációjára is, amelyek esetében ezeknek az összegeknek egyáltalán van értelme (például egy affin térben lévő pontok kombinációira ).

A lineáris kombináció neve:

nemtriviális , ha legalább az egyik együtthatója nem nulla.
baricentrikus , ha együtthatóinak összege 1 [4] ,
konvex , ha együtthatóinak összege 1, és minden együttható nem negatív,
kiegyensúlyozott , ha együtthatóinak összege 0.

Alap. Méret

A vektorokat [5] lineárisan függőnek nevezzük, ha van egy nem triviális lineáris kombinációjuk, amelynek értéke nullával egyenlő; vagyis $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _ {n}=\mathbf {0}

néhány nem nulla együttható esetén $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F.$

Egyébként ezeket a vektorokat lineárisan függetlennek nevezzük .

Ez a definíció lehetővé teszi a következő általánosítást: egy végtelen vektorhalmazt -ból lineárisan függőnek nevezünk , ha valamelyik véges részhalmaza lineárisan függő, és lineárisan függetlennek , ha bármelyik véges részhalmaza lineárisan független. $V$

Megmutatható [6] , hogy egy vektortér maximális lineárisan független elemhalmazának elemszáma ( teljesítmény ) nem függ e halmaz megválasztásától. Ezt a számot a tér rangjának vagy dimenziójának nevezzük , magát ezt a halmazt pedig bázisnak ( Hamel -bázis vagy lineáris bázis ). A bázis elemeit bázisvektoroknak nevezzük . A tér dimenzióját leggyakrabban a szimbólum jelöli . ${\rm {dim}}$

Így a vektortér dimenziója vagy nemnegatív egész szám (különösen nullával egyenlő, ha a tér csak egy nulla vektorból áll), vagy végtelen (pontosabban egy végtelen halmaz hatványa). Az első esetben a vektorteret véges -dimenziósnak , a másodikban - végtelen -dimenziósnak nevezzük (például a folytonos függvények tere végtelen dimenziós ). Hagyományosan a véges dimenziós vektorterek és leképezéseik tanulmányozása a lineáris algebrához , a végtelen dimenziós vektorterek tanulmányozása pedig a funkcionális analízishez tartozik . A második esetben lényeges szerepet játszik egy adott elem felbonthatóságának kérdése egy adott végtelen függvényrendszerben, vagyis a megfelelő végtelen összegek konvergenciája , amelyre egy végtelen dimenziós vektorteret együtt tekintünk. egy további struktúrával, amely lehetővé teszi a konvergencia meghatározását, például egy metrikával vagy topológiával .

Alaptulajdonságok:

A -dimenziós tér bármely lineárisan független eleme képezi ennek a térnek az alapját . $n$ $n$
Bármely vektor ábrázolható (egyedülállóan) alapelemek véges lineáris kombinációjaként: $\mathbf {x} \in V$

\mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf { x} _{n}

Lineáris shell

Egy lineáris tér részhalmazának lineáris fesztávja az összes olyan altér metszéspontja, amely tartalmazza a -t . ${\mathcal {V}}(X)$ $x$ $V$ $V$ $x$

A lineáris span egy altere . $V$

A lineáris terjedelmet az által generált altérnek is nevezik . Azt is mondják, hogy a lineáris fesztáv a halmaz által átívelt tér . $x$ ${\mathcal {V}}(X)$ $x$

A lineáris fesztáv az elemek különböző véges alrendszereinek összes lehetséges lineáris kombinációjából áll . Különösen, ha véges halmaz, akkor az elemek összes lineáris kombinációjából áll . Így a nullvektor mindig a lineáris tartományhoz tartozik. ${\mathcal {V}}(X)$ $x$ $x$ ${\mathcal {V}}(X)$ $x$

Ha egy lineárisan független halmaz, akkor bázis , és így meghatározza a dimenzióját. $x$ ${\mathcal {V}}(X)$

Izomorfizmus

Két lineáris teret és akkor nevezünk izomorfnak , ha a vektorok között egy -egy megfeleltetés állítható fel oly módon, hogy a következő feltételek teljesülnek: $V'(F)$ $V''(F)$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

ha a vektor megfelel a vektornak , és a vektor megfelel a vektornak , akkor a vektor megfelel a vektornak $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
ha a vektor megfelel a vektornak , és a mező eleme , akkor a vektor megfelel a [7] vektornak. $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Példák

Nulla tér, amelynek egyetlen eleme nulla.
A véges támaszú függvények tere egy hatványnak megfelelő dimenziójú vektorteret alkot . $X\-től F$ $x$
A valós számok mezője a racionális számok mezeje feletti kontinuum - dimenziós vektortérnek tekinthető .
Bármely mező önmaga feletti egydimenziós tér.
A mátrixok és tenzorok terei lineáris teret alkotnak.

További struktúrák

Lásd még

Jegyzetek

↑ Ne keverje össze a "skalárral való szorzás" és a " skalárszorzat " fogalmát .
↑ Iljin, Poznyak, 2010 , p. 45.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. nyolc.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 198.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 16.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. tizennégy.
↑ Shilov G. E. Bevezetés a lineáris terek elméletébe. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - p. 70

Irodalom

Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról. - 5. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 p. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról. 5. kiadás - M . : Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineáris algebra és geometria. 2. kiadás — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. 2. rész: Lineáris algebra. - 3. - M . : Nauka ., 2004. - 368 p. — (Egyetemi tankönyv).
Maltsev AI A lineáris algebra alapjai. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.

Postnikov M. M. Lineáris algebra (Geometriai előadások. II. félév). - 2. — M .: Nauka , 1986. — 400 p.
Streng G. Lineáris algebra és alkalmazásai. — M .: Mir , 1980. — 454 p.
Iljin V. A., Poznyak E. G. Lineáris algebra. 6. kiadás - M. : Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Halmos P. Véges dimenziós vektorterek. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 p.
Faddeev D. K. Előadások az algebráról. - 5. - Szentpétervár. : Lan , 2007. - 416 p.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - 1. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 p.
Schreier O., Shperner G. Bevezetés a lineáris algebrába geometriai prezentációban = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (németről fordítás). - M. - L .: ONTI , 1934. - 210 p.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb