Normált tér

A normált tér olyan vektortér, amelyen egy norma adott ; a funkcionális elemzés egyik fő vizsgálati tárgya .

Pontosabban, a normált tér egy vektortér párja a valós vagy komplex számok és leképezések mezője felett úgy, hogy a következő tulajdonságok érvényesek bármely és egy skalárra [1] : $(X,\|\cdot \|)$ $x$ $\|\cdot \|\colon X\to \mathbb {R}$ $x,y\X-ben$ $\lambda$

$\|x\|\geqslant 0,\;\|x\|=0\Jobbra x=0$ (pozitív határozottság)
$\|\lambda x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ ( homogenitás )
$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$ ( háromszög egyenlőtlenség )

A norma az euklideszi térben lévő vektor hosszának fogalmának természetes általánosítása , így a normált terek olyan vektorterek, amelyek képesek meghatározni egy vektor hosszát.

A félig normált tér egy pár , ahol egy vektortér és egy félnorma -ben . $\left(X,p\right)$ $x$ $p$ $x$

Metric

Normált térben egy függvény meghatároz (indukál) egy metrikát . Az így definiált metrika a metrika szokásos tulajdonságain kívül a következő tulajdonságokkal is rendelkezik: $d(x,y)=\|xy\|$

$d(x,y)=d(x+z,y+z)$ (eltolódás invariancia),
$d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |\cdot d(x,y)$ (pozitív egységesség).

Nem minden metrikus vektortérnek lehet normája.

Ha a teret az indukált metrika teszi teljessé , akkor a normált tér definíció szerint Banach-tér . Nem minden normált mező Banach, de minden normált mezőnek van egy befejezése Banachhoz. $x$

Topológiai szerkezet

Bármely félig normált vektortérhez meg lehet adni a távolságot két vektor között , és mint . Az ilyen módon meghatározott távolságú félig normált teret félig normált metrikus térnek nevezzük , amelyben olyan fogalmakat definiálhatunk, mint a kontinuitás és a konvergencia . Elvontabban, bármely félig normált vektortér topológiai vektortér, és így hordozza a félnorma által generált topológiai struktúrát. $\mathbf {u}$ $\mathbf{v}$ $\left\Vert {\mathbf {u}}-{\mathbf {v}}\right\Vert$

Különösen érdekesek a teljes normált terek, az úgynevezett Banach-terek . Minden normált vektorteret sűrű altérként találunk egy Banach-téren belül, és ezt a Banach-teret egyedileg határozza meg a tér, és ezt a tér befejezésének nevezzük . $V$ $V$ $V$

Egy véges dimenziós vektortérben minden norma topológiailag ekvivalens, mivel ugyanazt a topológiát generálják. És mivel bármely euklideszi tér teljes, arra a következtetésre juthatunk, hogy minden véges dimenziós vektortér Banach-tér. Egy normált vektortér akkor és csak akkor véges dimenziós, ha az egységgömb kompakt , ami akkor és csak akkor lehet, ha lokálisan kompakt . $V$ $B=\{x\colon \left\Vert x\right\Vert \leqslant 1\}$ $V$

A félig normált vektor topológiája számos érdekes tulajdonsággal rendelkezik. Egy szomszédsági rendszert körülvéve lehetséges az összes többi szomszédsági rendszer a következőképpen építeni: ${\mathcal {N}}\left(0\right)$ $0$

{\mathcal {N}}\left(x\right)=x+{\mathcal {N}}\left(0\right):=\left\{x+N\mid N\in {\mathcal {N} }\left(0\right)\right\}

használva

x+N:=\left\{x+n{\bar {n}}\in N\right\}

Ezenkívül van egy szomszédsági alapja a -nak , amely elnyelő és konvex halmazokból áll . Mivel ez a tulajdonság nagyon hasznos a funkcionális analízisben , az ezzel a tulajdonsággal rendelkező normált vektorterek általánosításait lokálisan konvex terekként vizsgáljuk . $0$

Lineáris leképezések és kettős szóközök

A két normált vektortér közötti legfontosabb leképezések a folytonos lineáris leképezések . Az ilyen leképezésekkel rendelkező normált vektorterek alkotják a kategóriát .

A norma egy folytonos függvény a vektorterében. A véges dimenziós vektorterek közötti összes lineáris leképezés is folytonos.

A két normált vektortér közötti izometria egy lineáris leképezés , amely megőrzi a normát (vagyis minden vektorra ). Az izometriák mindig folyamatosak és injektívek . A normált vektorterek közötti szürjektív izometriát izometrikus izomorfizmusnak nevezzük . Az izometrikusan izomorf normált vektorterek szinte bármilyen célból egyenlőnek tekinthetők. $f$ $\left\Vert f\left({\mathbf {v}}\right)\right\Vert =\left\Vert {\mathbf {v}}\right\Vert$ $\mathbf{v}$ $V$ $W$

Ha a normált vektorterekről beszélünk, meg kell említenünk a kettős tereket . A normált vektortér duális tere az összes folytonos lineáris leképezés tere a főmezőbe (komplex vagy valós számok mezőjébe), és az ilyen lineáris leképezéseket funkcionálisnak nevezzük . A funkcionális normát a következőképpen határozzák meg: $V'$ $V$ $V$ $\varphi$

\left\Vert \varphi \right\Vert =\sup \left\vert \varphi \left(\mathbf {v} \right)\right\vert \qquad \forall \mathbf {v} :\left\ Vert \mathbf {v} \right\Vert =1

Egy ilyen norma bevezetése normált vektortérré alakul. Egy fontos eredmény a folytonos lineáris függvényekre normált vektorterekben a Hahn–Banach-tétel . $V'$

Normált terek a félig normált terek terének hányadosaként

Számos normált tér definíciója (például a Banach-tér ) tartalmaz egy vektortéren definiált szeminormát, majd a normált teret hányadostérként határozza meg olyan elemek altere, amelyek szeminormája nulla. Például a szóközök $L_{p}$ esetében egy függvény, amely a következőképpen van definiálva:

\left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int \left\vert f\left(x\right)\right\vert ^{p}\;dx\right)^{ \frac {1}{p}}

szeminorma minden olyan függvény vektorterében, amelynek Lebesgue integrálja (jobb oldalon) definiált és véges.

A szeminorma azonban nulla minden olyan függvénynél, amelynek támogatása nulla Lebesgue-mértékkel rendelkezik . Ezek a függvények egy alteret alkotnak, amely "áthúzva" van, így egyenértékűek a nullfüggvénnyel.

A terek véges szorzata

Adott félnormás terek félnormával , a terek szorzatát így definiálhatjuk $n$ $X_{i}$ $p_{i}$

x{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}

a következőképpen definiált vektorösszeadással

\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right){\stackrel {{\mathrm {def}}}{ =}}\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right),

és a skaláris szorzást úgy definiáljuk

\alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right){\stackrel ({\mathrm {def))}{=}}\left(\alpha x_{1},\ldots ,\ alfa x_{n}\jobbra).

Definiáljunk egy új függvényt $p$

p:X\mapsto {\mathbb {R}}

hogyan

p:\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\to \sum _{{i=1}}^{{n}}p_{i}\left(x_{i}\ jobb),

ami szeminormának számít a . Egy függvény akkor és csak akkor lesz norma, ha mindegyik norma. $x$ $p$ $p_{i}$

Lásd még

A lokálisan konvex terek a félnormált vektorterek általánosításai
Szigorúan normatív tér
Egyenletesen konvex tér

Jegyzetek

↑ Kerin S. G. Funkcionális elemzés. - M .: Nauka , 1972.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb