Kettős tér

A duális tér (néha a duális tér ) a lineáris funkcionálisok tere egy adott vektortéren .

Definíció

A topológiai vektortéren definiált összes folytonos lineáris funkcionális halmaza is vektorteret képez. Ezt a teret dual to -nak nevezik , általában jelölik . Az összes lineáris függvény halmazát -on , nem feltétlenül folytonos -hoz algebrailag konjugáltnak nevezzük , általában [1] jelöli . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$ $E$ $E^{\#}$

Abban az esetben (általában lineáris algebrában), amikor a vektortér véges dimenziós, minden lineáris funkcionál automatikusan folytonos, és a duális tér egyszerűen az összes lineáris funkcionálból (függvényből) áll -on . Abban az esetben (általában a funkcionális elemzésben), amikor végtelen dimenziós, általában véve [1] . $E$ $E^{*}=E^{\#}$ $E$ $E$ $E^{*}\neq E^{\#}$

A tenzorszámításban a megjelölést az elemekre (felső vagy kontravariáns , index) és az elemekre (alsó vagy kovariáns , index) használják. $x^{k}$ $E$ $x_k$ $E^{*}$

Kettős leképezések

A kettős leképezés egy lineáris leképezés az adatokkal kettős vektorterek között, amelyet maguk a terek közötti leképezés indukál.

Legyen vektorterek és kettős vektorterek. Bármilyen lineáris leképezés esetén a kettős leképezés (fordított sorrendben) a következőképpen van meghatározva $V,W$ $V^{*},W^{*}$ $f:V\to W$ $f^{*}:W^{*}\V^{*}$

f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,

bármely . $\varphi \in W^{*}$

Tulajdonságok

Véges dimenziós terek [2]

A kettős tér mérete megegyezik a mező feletti térrel . Ezért a és terek izomorfak . $E^{*}$ $E$ $F$ $E$ $E^{*}$
Minden téralap társítható az úgynevezett duális (vagy reciprok ) térbázishoz , ahol a funkcionális egy vektorra vetítés : ${\displaystyle e^{1},\ldots ,e^{n))$ $E$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $E^{*}$ $e_{i}$ $e^{i}$ $e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i} ,\quad \forall x\in E.$
Ha a tér euklideszi , azaz a skaláris szorzat definiálva van rajta , akkor és között van egy ún. kanonikus izomorfizmus (vagyis olyan izomorfizmus, amely nem függ a választott bázisoktól), amelyet a reláció határoz meg. $E$ $E$ $E^{*}$ $v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.$
A második kettős tér izomorf -vel . Sőt, van egy kanonikus izomorfizmus és között (nem feltételezzük, hogy a tér euklideszi) között, amelyet a reláció határoz meg. $E^{{**}}$ $E$ $E$ $E^{{**}}$ $E$ $x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\ \forall f\in E^{*}.$
A fent definiált kanonikus izomorfizmus azt mutatja, hogy a és a terek szimmetrikus szerepet töltenek be: mindegyik kettős a másikkal. Ennek a szimmetriának a kiemelése érdekében a for -t gyakran pontszorzatként írják . $E\to E^{**}$ $E$ $E^{*}$ $x\in E,\ f\in E^{*}$ $f(x)=(x,f)$

Végtelen dimenziós terek

Ha a vektortér normált , akkor a duális térnek természetes normája van - ez a folytonos funkcionálisok operátornormája . A tér Banach [3] [1] . $E$ $E^{*}$ $E^{*}$

Ha a tér Hilbert , akkor a Riesz-tétel szerint és között izomorfizmus van , és a véges dimenziós esethez hasonlóan minden lineáris korlátos függvény egy belső szorzaton keresztül ábrázolható valamilyen térelem segítségével [4] . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$

A , , tér konjugáltja az a tér $L^{p}$ , ahol . Hasonlóképpen a , , konjugált p és q között ugyanaz . $1<p<\infty$ $L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $l^{p}$ $1<p<\infty$ ${\displaystyle l^{q))$

Változatok és általánosítások

A kettős tér kifejezésnek más jelentése lehet a komplex számok mezője feletti vektorterekre : olyan tér , amely egybeesik a valós vektortérrel, de a komplex számokkal való szorzás szerkezete eltérő: $\csupasz$ $E$ ${{\bar c}}{{\bar x}}=\overline {cx}$
Ha a térben van hermitikus metrika (például egy Hilbert-térben ), akkor a lineárisan konjugált és az összetett konjugált terek egybeesnek.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - Bármilyen kiadás.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - ch. III, 7. § - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 2. kiadás. Moszkva: Nauka, 1965, 147. o.
↑ Halmos P. Mértékelmélet. M.: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1953.