Lp (szóköz)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 18-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

$L^{p}$ (a jelölést is megtaláljuk ; "el-pe"-nek írják; továbbá - Lebesgue terek ) - ezek olyan mérhető függvények terei , amelyek foka integrálható , ahol . $L_{p}$ $p$ $p\geqslant 1$

$L^{p}$ a Banach terek legfontosabb osztálya . (ejtsd: „el-kettő”) a Hilbert-tér klasszikus példája . $L^{2}$

Épület

A szóközöket terek kialakítására használják . A tér mértéke és mértéke az ezen a téren meghatározott mérhető függvények halmaza úgy, hogy: $L^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$ $1\leqslant p<\infty$

\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty

Amint a Lebesgue-integrál elemi tulajdonságaiból és a Minkowski-egyenlőtlenségből következik, a tér lineáris . ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

Egy lineáris térben egy szeminormát vezetünk be : ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p }}

A nem-negativitás és a homogenitás közvetlenül a Lebesgue-integrál tulajdonságaiból következik, a Minkowski- egyenlőtlenség pedig ennek a szeminormának a háromszög-egyenlőtlensége [1]

Ezután bemutatjuk az ekvivalencia relációt : , ha szinte mindenhol . Ez a reláció a teret nem metsző ekvivalenciaosztályokra osztja, és egyazon osztály bármely két képviselőjének szeminormája egybeesik. A megszerkesztett hányadostéren (vagyis az ekvivalenciaosztályok családján) bevezethetünk egy normát , amely megegyezik az osztály bármely képviselőjének szeminormájával. Definíció szerint a szeminorma minden axiómája megmarad, ráadásul a fenti konstrukciónak köszönhetően a pozitív meghatározottság is fennáll. ${\mathcal {L}}^{p}$ $f\sim g$ $f(x)=g(x)$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$

Hányados tér , amelyre norma épül, és szóköznek vagy egyszerűen . $\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$ $L^{p}(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $L^{p}$

Leggyakrabban ezt a konstrukciót értik, de nem említik kifejezetten, és az elemek nem a függvények ekvivalencia osztályai, hanem maguk a függvények, „nulla mértékéig” definiálva. $L^{p}$

Amikor ne képezzenek normált teret, mivel a háromszög egyenlőtlenség nem áll fenn [2] , viszont metrikus tereket képeznek . Ezekben a terekben nincsenek nem triviális lineáris folytonos operátorok . $0<p<1$ $L^{p}$

Teljesség

A bekapcsolt norma a lineáris szerkezettel együtt létrehozza a metrikát: $L^{p}$

d(f,\;g)=\|fg\|_{p}

és ezért lehetséges a tereken konvergencia definiálása: egy függvénysorozatot függvényhez konvergálónak nevezünk, ha: $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $f\in L^{p}$

\|f_{n}-f\|_{p}\ 0-ra

at .

n\to\infty

Definíció szerint egy tér akkor teljes, ha bármely alapvető sorozat ugyanannak a térnek egy eleméhez konvergál. Így van egy Banach tér . $L^{p}$ $L^{p}$ $L^{p}$

Szóköz L²_

Ebben az esetben a normát a belső szorzat generálja . Így a „hossz” fogalmával együtt a „szög” fogalmának is van értelme itt, és ezért a kapcsolódó fogalmaknak, mint például az ortogonalitás , a vetület . $p=2$

A tér skalárszorzatát a következőképpen vezetjük be: $L^{2}$

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)

ha a figyelembe vett függvények komplex értékűek, vagy:

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)

ha valódiak. Akkor nyilván:

\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle ))

vagyis a normát a skalárszorzat generálja. Bármelyik teljességét tekintve ebből az következik, hogy Hilbert . $L^{p}$ $L^{2}$

Szóköz L ∞

A tér a mérhető függvények szinte mindenhol behatárolt teréből épül fel úgy, hogy egymás között azonosítanak olyan függvényeket, amelyek csak egy nulla mértékhalmazban különböznek egymástól, és definíció szerint: $L^{\infty }$ ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$

\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|

, ahol a függvény lényegi felső értéke.

\mathrm {ess} \sup

$L^{\infty }$ egy Banach tér .

A norma által generált mérőszámot egységesnek nevezzük . Az ilyen mérőszám által generált konvergenciát más néven: $\|\cdot \|_{\infty }$

f_{n}\to f

-ban , ha at .

L^{\infty }

\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\ to 0

n\to\infty

Tulajdonságok

A függvények konvergenciája szinte mindenhol nem jelent térbeli konvergenciát . Legyen for és for , . Aztán szinte mindenhol. De . A fordítottja szintén nem igaz. $L^{p}$ $f_{n}(x)=n^{1/p}$ $x\in(0,1/n]$ $f_{n}(x)=0$ $x\in(1/n,1]$ $f_{n}\in L^{p}$ $f_{n}\ 0-ra$ $\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$
Ha -ra , akkor létezik olyan részsorozat , amely szinte mindenhol. $\|f_{n}-f\|_{p}\ 0-ra$ $n\to\infty$ $f_{n_{k}}$ $f_{n_{k}}\to f$
$L^{p}$ a valós vonal függvényei sima függvényekkel közelíthetők. Legyen végtelenül sima függvények részhalmaza . Akkor mindenhol sűrű a . $L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L_{C^{\infty }}^{p}$ $L^{p}$
$L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ elválasztható a számára . $p<\infty$
Ha véges mérték, például , és valószínűsége , akkor . Konkrétan , azaz egy véges második momentumú valószínűségi változónak véges első momentuma van. $\mu$ $1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$ $L^{q}\alhalmaz L^{p}$ $L^{2}\alhalmaz L^{1}$

Kettős szóközök

A kettős térközökre (lineáris függvények terei on ) a következő tulajdonság érvényesül: ha , akkor izomorf a ( ), ahol . Bármely lineáris függvény alakja a következő: $\left(L^{p}\right)^{\csillag }$ $L^{p}$ $L^{p}$ $1<p<\infty$ $\left(L^{p}\right)^{\csillag }$ $L^{q}$ $\left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $L^{p}$

g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),

ahol . ${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$

Az egyenlet szimmetriája miatt maga a tér duális (az izomorfizmusig) -hoz , ezért: $1/p+1/q=1$ $L^{p}$ $L^{q}$

\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.

Ez az eredmény az esetre is érvényes , azaz . Azonban és különösen . $p=1$ $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$ $\left(L^{\infty }\right)^{\star }\not \cong L^{1}$ $\left(L^{1}\right)^{\star \star }\not \cong L^{1}$

Szóközök ℓ p

Legyen , ahol egy megszámlálható mérték -on , azaz . Ekkor ha , akkor a tér alak sorozatok családja , így: $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N}},\;m\jobb)$ $m$ $\mathbb {N}$ $m(\{n\})=1,\;\all n\in \mathbb {N}$ $p<\infty$ $\ell ^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\jobbra)$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty

Ennek megfelelően ezen a téren a normát az adja

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\jobb)^{\frac {1}{p }}

Az így kapott normált teret jelöli . $\ell ^{p}$

Ha , akkor a normával korlátos sorozatok terét tekintjük: $p=\infty$

\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|

Az így kapott teret nevezzük , ez egy példa egy nem elválasztható térre. $\ell ^{\infty }$

Az általános esethez hasonlóan a beállításával egy Hilbert-teret kapunk, amelynek normáját a skaláris szorzat generálja: $p=2$ $\ell ^{2}$

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n))}

ha a sorozatok komplex értékűek, és:

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n)),

ha valódiak.

A tér konjugált -hoz , ahol izomorf a , -vel . számára . Azonban . $\ell ^{p}$ $1<p<\infty$ $\ell ^{q}$ $1/p+1/q=1$ $p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }$ $\left(\ell ^{\infty }\right)^{\star }\not \cong \ell ^{1}$

Jegyzetek

↑ Az így bevezetett szeminorma nem norma , mert ha szinte mindenhol , akkor , ami ellentmond a norma követelményeinek. Ahhoz, hogy egy szeminormával rendelkező teret normával rendelkező térré alakítsunk át, csak nulla mértékhalmazon kell „azonosítani” az egymástól eltérő függvényeket . $f(x)=0$ $\|f\|_{p}=0$
↑ Pontosabban, az inverz háromszög egyenlőtlenség teljesül - ha : $0<p<1$ $\forall f,g\in L_{p}(\Omega )\colon \,\left(\int \limits _{\Omega }|f(x)+g(x)|^{p}dx\right) ^{\frac {1}{p}}\geqslant \left(\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}} +\left(\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p))$

Irodalom

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - szerk. negyedik, átdolgozott. - M .: Nauka , 1976 . — 544 p.
Trenogin V. A. Funkcionális elemzés. - M .: Nauka , 1980 . — 495 p.