Utóbbi

A matematikában a sorozat néhány objektum számozott halmaza, amelyek között megengedett az ismétlés, és az objektumok sorrendje számít. A számozás leggyakrabban természetes számokkal történik . Az általánosabb esetekért lásd: Változatok és általánosítások .

Ebben a cikkben a sorozatot végtelennek tételezzük fel; a véges sorozat eseteit külön adjuk meg.

Példák

Példák numerikus sorozatokra:

Egy véges sorozatra példa lehet egy utcán lévő házak sorozata.
Egy változóban lévő polinomot együtthatóinak véges sorozatának, vagy végtelennek tekinthetjük, feltételezve , hogy . ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n))$ $a_{i}=0$ $i>n$
A prímszámok sorozata az egyik legismertebb nem triviális végtelen számsorozat .
Minden valós szám hozzárendelhető a saját sorozatához, amelyet folytonos törtnek nevezünk - ráadásul racionális számoknál mindig véges, algebrai irracionális számoknál végtelen ( másodfokú irracionalitásoknál periodikus ) , transzcendentális számoknál pedig végtelen és nem periodikus, bár az egyes számok végtelen sokszor előfordulhatnak benne. Például egy szám folytatólagos törtrésze véges és egyenlő -val , a szám folyamatos törtrésze pedig már végtelen, nem periodikus, és így néz ki: . ${\frac {13}{9}}$ $[1;2,4]$ $\pi$ $[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\pont ]$
A geometriában gyakran tekintünk szabályos sokszögek sorozatára, amelyek alakja csak a csúcsok számától függ.
A sorozat akár halmazokból is állhat - például összeállíthat olyan sorozatot, amelyben a -edik pozíció tartalmazza az összes , egész együtthatós fokszámú polinom halmazát egy változóban. $n$ $n$

Számsorozat

Szigorú meghatározás

Adjunk meg valamilyen tetszőleges természetű elemkészletet. $x$

A természetes számok halmazának egy adott halmazba történő bármilyen leképezését sorozatnak [1] (a halmaz elemeinek ) nevezzük . $f\colon {\mathbb {N}}\ az X-re$ $\mathbb {N}$ $x$ $x$

Jelölés

Az űrlap sorozatai

x_{1},x_{2},x_{3},\dots

Szokásos tömören zárójelekkel írni:

(x_{n})

vagy .

(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}

Néha göndör fogszabályzót használnak:

\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }

A végsorozatok a következő formában írhatók fel:

(x_{n})_{{n=1}}^{N}

A szekvencia felírható így is

{\megjelenítési stílus (f(n))}

ha a függvényt korábban definiáltuk, vagy a jelölése helyettesíthető magával a függvénnyel. Például a szekvencia a következőképpen írható fel . $f$ ${\displaystyle f(n)=n^{3))$ $(n^{3})$

Kapcsolódó definíciók

A természetes szám képét , nevezetesen az elemet a sorozat -edik tagjának, a sorozat tagjának sorszámát pedig indexének nevezzük . $n$ $x_{n}=f(n)$ $n$ $n$ $x_{n}$
A halmaz részhalmazát , amelyet a sorozat elemei alkotnak, a sorozat hordozójának nevezzük : míg az index a természetes számok halmazán halad keresztül, addig a sorozat tagjait "ábrázoló" pont a sorozat hordozója mentén "mozog". hordozó. $f\left[{\mathbb {N}}\jobbra]$ $x$
Egy sorozat részsorozata olyan sorozat , amely attól függ , ahol a természetes számok növekvő sorozata. Az eredeti sorozatból egy részsorozatot kaphatunk, ha eltávolítunk belőle néhány tagot. $(x_{n})$ $k$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Jegyzetek

Bármilyen leképezés egy halmazból önmagára is sorozat. $\mathbb {N}$
Egy halmaz elemsorozata rendezett részhalmaznak tekinthető, amely izomorf a természetes számok halmazával . $x$ $x$

A numerikus sorozatok megadásának módjai

Analitikus , ahol a képlet az n-edik tag sorozatát határozza meg, például: $a_{n}={\frac {n}{n+1))$
Ismétlődő , Például Fibonacci számok , ahol a sorozat bármely tagja az előzőekkel van kifejezve: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1))$
verbális ; Például bármely végtelen tizedes törthez létrehozhat egy sorozatot a tizedes közelítéséből a hiány vagy a többlet tekintetében, felfelé vagy lefelé kerekítve a törtet minden iterációban.

A műveletek sorrendje

„Az algoritmus szigorú és logikus műveletsor egy probléma (matematikai, információs stb.) megoldására. [3] [4]

Szekvenciák a matematikában

A matematikában különféle típusú sorozatokat vesznek figyelembe:

numerikus sorozatok ;
metrikus tér elemeinek sorozatai ;
numerikus és nem numerikus jellegű idősorok ;
a funkcionális tér elemeinek sorozatai ;
vezérlőrendszerek és automaták állapotsorai .

Gyakorlatilag fontos feladatok a sorozatok tanulmányozása során:

Annak megállapítása, hogy az adott sorozat véges vagy végtelen. Például 2020-ra 51 Mersenne-prím ismert , de nem bizonyított, hogy nincs több ilyen szám.
Keressen mintákat a sorozat tagjai között.
Keressen egy analitikai képletet, amely jó közelítésként szolgálhat a sorozat -edik tagjához. Például a th prímszámra jó közelítést ad a képlet: (vannak pontosabbak is). $n$ $n$ $n\ln(n)$
Jövőbeli állapotok előrejelzése, elsősorban arra a kérdésre, hogy egy adott sorozat egy véges vagy végtelen határértékhez konvergál , numerikus vagy nem numerikus , a halmaz típusától függően $($ $X).$

Változatok és általánosítások

A sorozat tagjait nem kell természetes számokkal megszámozni – például a Fibonacci sorozatot ki lehet terjeszteni negatív egész számokra .
Vannak úgynevezett többdimenziós sorozatok is, amelyeket a derékszögű szorzat elemei számoznak meg . Ezek közé tartozik például a Thue-Morse sorozat többdimenziós kiterjesztése . Ezenkívül egy több változós polinom véges dimenziós sorozatnak tekinthető, ahol a pozíció a szorzat együtthatója . $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n))$ $n$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{ n}}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Sorozat // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4. - S. 506-507.
↑ Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika: Referenciaanyagok . - Moszkva: Oktatás, 1988. - 416 p. (Orosz)
↑ Magyarázó szótár / szerk. D. V. Dmitrijeva. - AST, Lingua, Astrel, 2003. - 1584 p. - ISBN 5-17-016483-1 , 5-271-05995-2.
↑ I. G. Szemakin, A. P. Sesztakov. az algoritmizálás és programozás alapjai . - Moszkva: "Akadémia" Kiadói Központ, 2016. - S. 10. - 303 p. — ISBN 978-5-4468-3155-5 . Archiválva : 2022. január 21. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Sorozat // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. A. P. Savin. - M . : Pedagógia , 1985. - S. 242 -245. — 352 p.

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor