Műveletek számsorokkal

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Műveletek számsorokkal – néhány (számtani vagy permutációs) manipuláció egy vagy több számsorral . Ezek a műveletek megőrizhetik vagy megtörhetik a konvergencia típusát.

Feltételes konvergencia megőrzése

A következő, numerikus sorozatokkal végzett műveleteket különböztetjük meg (értelmük van, vagyis csak akkor mentik el a sorozat összegét, ha az létezik):

Sorok lineáris kombinációja

Ha a sorozat és konvergál, akkor a sorozat (α, β állandók ) is konvergál, és $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k))$ $\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})=\alpha \sum _{k=1}^{\infty }a_{k }+\beta \sum _{k=1}^{\infty }b_{k))$

Egy sorozat tagjainak csoportosítása

A sorozat tagjait úgy csoportosítjuk, hogy a sorozat több (véges számú) tagját a sorrend megváltoztatása nélkül kombináljuk. Kapunk néhány új sorozatot . A zárójelek sorozatban történő nyitása azonban általában elfogadhatatlan: ha a zárójelek nyitása után konvergáló sorozatot kapunk, akkor lehetséges a zárójelek nyitása; ha minden zárójelben minden tag azonos előjelű, akkor a zárójelek kinyitása nem töri meg a konvergenciát és nem változtatja meg az összeg értékét. $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k))$

Egyéb

Sorozatszorzás

Legyen két sor és . ${\displaystyle (A)=\sum _{i\geqslant 1}a_{i))$ ${\displaystyle (B)=\sum _{j\geqslant 1}b_{j))$

Ezek szorzásához, mint a véges összegek esetében, az összes páros szorzatot ki kell venni és össze kell adni. Abszolút konvergencia hiányában azonban e számok összeadási sorrendje játszik jelentős szerepet, így a sorozatok szorzására több különböző szabály létezik, amelyek ebben a sorrendben, valamint a kifejezések bizonyos csoportosításában különböznek egymástól. Így például különböző szabályok szerint a teljesítmény (többteljesítményű) sorozatok, a Dirichlet -sorok , a Fourier-sorok és más típusú sorozatok szorzásra kerülnek. Az (A) és (B) sorozat szorzásának eredménye a (C) sorozat: , ahol valamely tagcsoport összege . ${\displaystyle a_{i}b_{j))$ ${\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}c_{n))$ $c_n$ ${\displaystyle a_{i}b_{j))$

A sorozatok szorzatainak alkalmazásához fontos betartani a kulcsszabályt (a sorozatösszeg multiplikativitásának elvét): A sorozatszorzat összegének egyenlőnek kell lennie a sorozattényezők összegének szorzatával .

Ez azonban nem mindig van így – a multiplicativitás csak bizonyos feltételek mellett megy végbe. Példák termékekre és feltételek a többszörösség elvének megvalósíthatóságához:

1. A sorozatok közvetlen szorzata a sorozatok szorzásának legegyszerűbb és legtermészetesebb (de nem általánosan elfogadott!) szabálya. Ebben az esetben

${\displaystyle c_{n}=\sum \limits _{\max\{i,j\}=n}a_{i}b_{j))$ - definíció szerint;
$c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}=(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})(b_{1}+b_{2} +\lpontok +b_{n})$ (a szorzatsor részösszege egyenlő a szorzósor megfelelő részösszegeinek szorzatával);
Multiplicativitás: - mindig, amint az (A) és (B) sorozatok konvergálnak (a (C) sorozat konvergenciáját ebben az esetben automatikusan megadjuk). ${\displaystyle \sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j))$

2. A sorozatok szorzásának Cauchy -féle szabálya (megfelel a hatványsorok szorzási szabályának, általános formájú sorozatokra is általánosan elfogadott):

${\displaystyle c_{n}=\sum \limits _{i+j=n}a_{i}b_{j))$ - definíció szerint;
Multiplicativitás: , az alábbi feltételek egyike mellett: ${\displaystyle \sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j))$
1. ha mindhárom sorozat (A), (B), (C) konvergál ( Abel -feltétel );
2. az (A) és (B) sorozat összefolyik, és az egyik abszolút ( Mertens -feltétel ).

3. Dirichlet - szabály – speciális típusú sorozatok szorzására szolgál ( Dirichlet sorozat )

${\displaystyle c_{n}=\sum \limits _{i\cdot j=n}a_{i}b_{j))$ - definíció szerint;
Multiplicativitás: , feltéve, hogy az (A) és (B) sorozat konvergál, és az egyik abszolút (Mertens-feltétel). ${\displaystyle \sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j))$

Példa , amikor az (A) és (B) sorozatok (nem abszolút módon) konvergálnak, és a szorzatuk a Cauchy-szabály szerint eltér: , at . $a_{n}=b_{n}=(-1)^{n}/{\sqrt {n))$ $n\geqslant 1$

Ekkor, ha , akkor , és a sorozat közös tagjának modulusa nem nullázódik. $i+j=n$ $|a_{i}b_{j}|\geqslant {\frac {2}{n))$ $|c_{n}|\geqslant (n-1)\cdot {\frac {2}{n))$

A sorozat tagjainak permutációja

Ha egy sorozat abszolút konvergál , akkor a tagok permutációjával kapott sorozat is abszolút konvergál, és összege megegyezik az eredeti sorozat összegével ( sorpermutációs tétel ).
Ha a sorozat feltételesen konvergál , akkor tetszőleges valós szám esetén (valamint , esetén is ) ennek a sorozatnak a tagjai átrendezhetők oly módon, hogy a transzformált sorozat ehhez a számhoz konvergál (eltér a , -hez ), vagy a szám határértékéhez. parciális összegek sorozata nem fog létezni ( Riemann tétele ). $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$

Lásd még

Integrációs módszerek

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor