Lineáris kombináció

A lineáris kombináció egy olyan kifejezés , amely elemek halmazára épül úgy, hogy az egyes elemeket együtthatókkal megszorozzuk, majd összeadjuk az eredményeket (például x és y lineáris kombinációja az ax + by formájú kifejezés lesz , ahol a és b együtthatók) [1] [2] [3] .

A lineáris kombináció fogalma a lineáris algebra és a matematika kapcsolódó területeinek egyik kulcsfogalma. A klasszikus esetben a lineáris kombinációt a vektorterek összefüggésében tekintjük , de vannak általánosítások tetszőleges modulokra gyűrűk és bimodulok felett

Definíció

Legyen K egy mező (például a valós számok mezője), V pedig egy K feletti vektortér ( V elemei vektorok , K elemei skalárok ). Ha vektorok és skalárok, akkor ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja skalárokkal, mint együtthatókkal: $\mathbb {R}$ $v_{1},\dots ,v_{n}$ $a_{1},\pontok ,a_{n}$

a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}

Van némi kétértelműség a "lineáris kombináció" kifejezés alkalmazásában, mivel egyaránt vonatkozhat magára a kifejezésre és annak eredményére. A legtöbb esetben a jelentésre utalunk, mivel az összes lineáris kombináció halmaza mindig alteret alkot. Azt is mondhatjuk azonban, hogy "két különböző lineáris kombináció ugyanazt az értéket adhatja", ebben az esetben a lineáris kombinációt kifejezésként kell érteni. Az e fogalmak közötti finom különbség a lineáris függés fogalmának lényege – egy F vektorcsalád pontosan akkor lineárisan független, ha az F -ből (mint értékből) származó vektorok bármely lineáris kombinációja egyedi (mint kifejezés). Mindenesetre, még ha a lineáris kombinációt kifejezésnek tekintjük is, mindez vonatkozik az egyes együtthatókra ; triviális változtatások (például elemek permutálása vagy nulla együtthatójú elemek hozzáadása) nem hoznak létre újabb lineáris kombinációt. $v_{1},\dots ,v_{n}$ $v_{i}$

A helyzettől függően K és V lehet kifejezetten megadva, vagy a szövegkörnyezetből nyilvánvalóak lehetnek. Ez utóbbi esetben gyakran beszélünk vektorok lineáris kombinációjáról tetszőleges együtthatókkal (kivéve, hogy K -hoz kell tartozniuk ). Vagy ha S V részhalmaza , akkor S - ből vektorok lineáris kombinációjáról beszélhetünk , ahol sem az együtthatók, sem a vektorok nincsenek megadva - kivéve azt a követelményt, hogy a vektoroknak az S halmazhoz kell tartozniuk , és az együtthatóknak kell a K mezőbe tartoznak ). Végül egyszerűen beszélhetünk lineáris kombinációról , ahol semmi sincs megadva (kivéve, hogy a vektoroknak a V halmazhoz, az együtthatóknak pedig a K mezőhöz kell tartozniuk ). Ebben az esetben nagy valószínűséggel kifejezésekről beszélünk, mivel a V -ben lévő bármely vektor határozottan valamilyen lineáris kombináció értéke. $v_{1},\dots ,v_{n}$

Definíció szerint egy lineáris kombináció csak véges számú vektort tartalmaz (kivéve a speciális általánosításokat ). Azonban az S halmaz , amelyből a vektorokat vettük, végtelen lehet. Minden egyes lineáris kombináció csak véges számú vektort tartalmaz ebből a halmazból. Annak sincs oka, hogy n ne lehet nulla: ebben az esetben a lineáris kombináció eredményét tekintjük a V - beli nulla vektornak .

Példák és ellenpéldák

Vektorok

Legyen a K mező a valós számok halmaza , a V vektorok tere pedig az euklideszi tér . Bármely vektor -ban egységvektorok lineáris kombinációja . Például egy vektort fel lehet írni: $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0),e_{3}=(0,0,1)$ $(a_{1},a_{2},a_{3})$

(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3 })

=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)

=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}.

Funkciók

Legyen K az összes komplex szám halmaza , V pedig az összes folytonos függvény halmaza a valós egyenestől a komplex síkig . A képletekkel definiált f és g vektorokat (függvényeket) figyelembe véve (itt e a természetes logaritmus alapja, i pedig az imaginárius egység ): $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

f(t)=e^{{it}}

. _

g(t)=e^{{-it}}

ezek közül többek között a következő lineáris kombinációkat kaphatjuk:

$\cos t={\begin{matrix}{\frac 12}\end{matrix}}e^{{it}}+{\begin{matrix}{\frac 12}\end{matrix}}e^{{ -azt}}$ ,
$2\sin t=(-i)e^{{it}}+(i)e^{{-it}}$ .

Másrészt a 3 konstans függvény nem f és g lineáris kombinációja [4] .

Polinomok

Legyen K , vagy tetszőleges mező, és V a K -ből származó együtthatókkal rendelkező polinomok P halmaza . Legyenek vektorok (polinomok) adottak . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $p_{1}=1,p_{2}=x+1,p_{3}=x^{2}+x+1$

Az x 2 − 1 polinom p 1 , p 2 és p 3 lineáris kombinációja ? Annak meghatározásához, hogy egy polinom lineáris kombináció -e, írhat egy kombinációt tetszőleges együtthatókkal , és egyenlővé teheti egy adott polinomtal: $x^{2}-1$ $p_{1},p_{2},p_{3}$ $a_{1},a_{2},a_{3}$

a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1

A zárójelek kinyitása:

(a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1

és homogén polinomokat hozunk:

a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1)

kiderül:

a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1

Ennek a lineáris egyenletrendszernek a megoldása az . Így az adott polinomot lineáris kombinációként írjuk fel : $a_{1}=-1,a_{2}=-1,a_{3}=1$ $p_{1},p_{2},p_{3}$

x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}

Egy másik példa , hogy nem ábrázolható lineáris kombinációval : $x^{3}-1$ $p_{1},p_{2},p_{3}$

0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})

=1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1),

Ha most egyenlővé tesszük az együtthatókat , ellentmondást kapunk . $x^{3}$ $0=1$

Lineáris shell

Legyen } vektorok valamelyik V vektortérben valamilyen K mező felett . Ezen vektorok összes lineáris kombinációjának halmazát S-ből származó vektorok lineáris spanjának (vagy egyszerűen spannak ) nevezzük . Megnevezések - vagy : $S=\{v_{1},\pontok ,v_{n}$ ${\mathrm {span}} (S)$ ${\mathrm {Sp}} (S)$

{\mathrm {Sp}}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{1 },\ldots ,a_{n}\subseteq K\}

Lineáris függetlenség

Egyes halmazok esetében a vektorok nem egyértelmű módon ábrázolhatók lineáris kombinációként: $v_{1},\dots ,v_{n}$

v=\sum a_{i}v_{i}=\sum b_{i}v_{i}

, hol .

(a_{i})\neq (b_{i})

Ha kivonjuk az egyenlőség harmadik tagját a másodikból, és jelöljük az együtthatókat , akkor egy nem triviális kombinációt kapunk, amely nulla vektort eredményez: $c_{i}=a_{i}-b_{i}$

0=\sum c_{i}v_{i}.

Ha ez lehetséges, a halmazt lineárisan függőnek mondjuk . Ellenkező esetben lineárisan független . Hasonlóképpen egy tetszőleges S vektorhalmaz függőségéről vagy függetlenségéről beszélünk. $v_{1},\dots ,v_{n}$

Ha S lineárisan független és S terjedelme egybeesik V -vel , akkor S - t V bázisnak mondjuk .

Affin, kúpos és konvex kombinációk

Ha a lineáris kombinációban használt együtthatókra bizonyos feltételeket szabunk, akkor megkapjuk a baricentrikus kombináció (vagy affin kombináció ), a kúpos kombináció és a konvex kombináció fogalmát, valamint az ilyen lineáris kombinációk halmazainak megfelelő fogalmait.

Kombinációs típus	Esélykorlátok	Állítsa be a nevet	térmodell
Lineáris kombináció	határok nélkül	vektor altér	${\mathbf {R}}^{n}$
baricentrikus kombináció	$\sum a_{i}=1$	Affin altér	Affin hipersík
Kúpos kombináció	$a_{i}\geq 0$	domború kúp	Quadrant / Oktáns
konvex kombináció	$a_{i}\geq 0$ és $\sum a_{i}=1$	domború halmaz	Simplex

Mivel itt korlátozások vannak a kombinációk típusára vonatkozóan, így az objektumok szélesebb osztályait kapjuk. Így az affin részhalmazok, a konvex kúpok és a konvex halmazok fogalmai a vektoraltér fogalmának általánosításaiként működnek : a vektoraltér egyszerre affin altér, konvex kúp és konvex halmaz, de a konvex halmaz nem feltétlenül vektor vagy affin altér vagy konvex kúp.

Ezek a fogalmak akkor merülnek fel, ha objektumok bizonyos lineáris kombinációit vesszük, de nem bármelyiket. Például a valószínűségi eloszlások zárva vannak a konvex kombinációk képzése során (és konvex halmazt alkotnak), de nem kúpos, baricentrikus vagy lineáris. A halmazok mértékei a kúpos kombinációk képzése alatt zártak, de nem baricentrikusak vagy lineárisak (ez utóbbi kombinációk határozzák meg a töltéseket ).

A lineáris és baricentrikus kombinációk bármely mezőre (vagy gyűrűre) definiálhatók, míg a kúpos és konvex kombinációk megkövetelik a „pozitív” fogalmát, így csak rendezett mezőn (vagy rendezett gyűrűn ) definiálhatók.

Ha csak a skalárral való szorzás megengedett, de az összeadás nem, akkor egy (nem feltétlenül konvex) kúpot kapunk . Gyakran csak pozitív skalárokkal való szorzásra korlátozódik.

Operad elmélet

Az operaelmélet általánosabb nyelvén a vektortereket tekinthetjük algebraként egy opera felett (végtelen közvetlen összeg , amelyben csak véges számú tag nem nulla), amely lineáris kombinációkat paraméterez . (Például egy vektor egy ilyen megközelítésben a lineáris kombinációjának felel meg .) Hasonlóképpen a baricentrikus, kúpos és konvex kombinációkat úgy tekinthetjük, mint amelyek megfelelnek az olyan részműveleteknek, amelyek tagjainak összege 1, amelyek tagjai nem negatívak, vagy mindkettő. ; ilyen kombinációk lennének végtelen affin hipersíkok , végtelen hiperoktánsok és végtelen egyszerűségek . $\mathbb{R} ^{\infty }$ $(2,3,-5,0,\pontok)$ $2v_{1}+3v_{2}-5v_{3}+0v_{4}+\cdots$

Ebből a szempontból a lineáris kombináció tekinthető a legáltalánosabb műveletnek egy vektortérben - ha egy vektortér egy lineáris kombináció operációja feletti algebra, ez pontosan azt jelenti, hogy a vektortérben minden lehetséges algebrai művelet lineáris kombinációk.

A skalárral való összeadás és szorzás alapvető műveletei az additív egyenlőség és az additív inverzió meglétével együtt nem kombinálhatók bonyolultabb módon, mint egy lineáris kombinációt alkotni. Ezek az alapműveletek a generátorkészlet minden lineáris kombináció operációjához.

Általánosítások

Ha V egy topológiai vektortér , akkor V topológiáját lényegileg használva lehetséges értelmet adni az adott tér elemeinek néhány végtelen lineáris kombinációjának. Például lehetne beszélni (a végtelenségig). Az ilyen végtelen lineáris kombinációknak nem mindig van értelme: általában csak a konvergáló kombinációknak lehet értelmet adni. A megengedhető lineáris kombinációk állományának növekedése a héj, a lineáris függetlenség és a bázis fogalmának megváltozásához vezethet. $a_{1}v+a_{2}v+a_{3}v+\pontok$

Ha K kommutatív gyűrű , és nem mező, akkor mindaz, amit fentebb a lineáris kombinációkról elmondtunk, változás nélkül általánosítható erre az esetre. Az egyetlen különbség az, hogy az ilyen tereket moduloknak (nem vektortereknek) nevezik, és nem minden vektorterekre érvényes eredmény marad érvényes a modulokra.

Ha K egy nem kommutatív gyűrű, akkor a K -ből származó együtthatós lineáris kombináció fogalma is bevezethető - egy sajátossággal: mivel a nem kommutatív gyűrű feletti modulok lehetnek bal és jobb oldaliak , így lineáris kombináció is lehet. bal és jobb.

Bonyolultabb az a helyzet, amikor V egy bimodul két gyűrűn és . Ebben az esetben a lineáris kombináció legáltalánosabb formája a következő: $K_{L}$ $K_{R}$

a_{1}v_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}b_{n}

hol tartoznak , tartoznak és tartoznak V . $a_{1},\pontok ,a_{n}$ $K_{L}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))$ $K_{R}$ $v_{1},\dots ,v_{n}$

Jegyzetek

↑ David C. Lay. . Lineáris algebra és alkalmazásai. 3. kiadás – Reading, Mass.: Addison–Wesley , 2006. – 576 p. - ISBN 0-321-28713-4 .
↑ Gilbert Strang. . Lineáris algebra és alkalmazásai. 4. kiadás - Belmont, Kalifornia: Brooks Cole , 2005. - viii + 487 p. - ISBN 0-03-010567-6 .
↑ Sheldon Axler. . Lineáris algebra jól megcsinálva. 2. kiadás - New York: Springer , 2002. - viii + 251 p. — ISBN 0-387-98258-2 .
↑ Tegyük fel, hogy a 3 felírható lineáris kombinációként és , azaz léteznie kell skalároknak és olyanoknak, hogy minden valós szám esetén . Az és behelyettesítésével és -t kapunk . Lásd még " Euler-azonosság (komplex elemzés) " $e^{{it}}$ $e^{{-it}}$ $a$ $b$ $ae^{{it}}+be^{{-it}}=3$ $t$ $t = 0$ $t=\pi$ $a+b=3$ $a+b=-3$

Linkek

Lineáris kombinációk és fesztáv: A vektorok lineáris kombinációinak és fesztávjának megértése , khanacademy.org.