Euler-azonosság (komplex elemzés)

Az Euler-azonosság a Euler - formula speciális esete , egy jól ismert azonosság , amely öt alapvető matematikai állandót köt össze : $x=\pi$

e^{i\pi }+1=0,

ahol

e

- az e szám vagy a természetes logaritmus alapja ,

én

a képzeletbeli egység ,

\pi

- pi , a kör kerületének és átmérőjének hosszának aránya ,

egy

— egység , semleges elem a szorzás műveletével ,

0

— nulla , semleges elem az összeadás műveletével .

Euler személyazonosságát Leonhard Euler svájci , német és orosz matematikusról nevezték el . Az identitást a matematikai szépség mintaképének tekintik , mivel a matematikában a legalapvetőbb számok közötti mély összefüggést mutatja.

Következtetés

Az Euler-azonosság az Euler - képlet speciális esete összetett elemzésből :

e^{ix}=\cos x+i\sin x

minden igazi . (Megjegyezzük, hogy a és trigonometrikus függvények argumentumai radiánban vannak megadva ). Különösen $x$ $\bűn$ $\kötözősaláta$

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .

És miből

\cos \pi =-1

és

\sin \pi =0,

kellene

e^{i\pi }=-1

ami megadja az azonosságot:

e^{i\pi }+1=0.

Általánosítások

Az Euler-azonosság egy általánosabb azonosság speciális esete is: az at fokú egységgyökök összege egyenlő : $n$ $n>1$ $0$

\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n))}=0.

Euler azonossága az az eset, amikor . $n=2$

A matematika egy másik területén a kvaterniók hatványozása segítségével kimutatható, hogy hasonló azonosság vonatkozik a kvaterniókra is. Legyenek { i , j , k } alapelemek; akkor

e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.

Általában, ha a valós a 1 , a 2 és a 3 úgy van megadva , hogy a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , akkor

e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.

Az oktonióknál a valós a n értékkel úgy, hogy a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 , és az oktonionok alapelemeivel { i 1 , i 2 , ..., i 7 },

e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\pontok +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.

Matematikai szépség

Euler-azonosság, amely három alapvető matematikai műveletet ( összeadás , szorzás és hatványozás ) és a matematika négy klasszikus területéhez tartozó öt alapvető matematikai állandót kombinál (a számok és az aritmetikához tartoznak , a képzeletbeli egység az algebrához , a szám a geometriához és a e szám - a matematikai elemzéshez [1] ), mély benyomást tett a tudományos világra, misztikusan a matematika egységének szimbólumaként értelmezték, és gyakran emlegetik a mély matematikai szépség példájaként . $0$ $egy$ $én$ $\pi$

Euler személyazonossága sok dicsérő kritikát váltott ki.

Carl Friedrich Gauss azt mondta, hogy ha ez a képlet nem nyilvánvaló egy diák számára, akkor soha nem lesz első osztályú matematikus [2] .
Benjamin Pierce , a Harvard Egyetem matematika, természetfilozófia és csillagászat professzora , miután egy előadáson bizonyította az Euler-azonosságot, azt mondta, hogy „ez valószínűleg igaz, de abszolút paradox; nem tudjuk megérteni, és nem tudjuk, mit jelent, de bebizonyítottuk, és ezért tudjuk, hogy igaznak kell lennie” [3] .
Richard Feynman fizikus (1977) Euler identitását „kincsünknek” és „a matematika legfigyelemreméltóbb képletének” nevezte [4] .
A Stanford Egyetem matematikaprofesszora, Keith Devlin„A legszebb egyenlet” (2002) című esszéjében ezt mondta: „Ahogy egy Shakespeare - szonett megragadja a szerelem lényegét, vagy egy festmény feltárja az emberi forma szépségét, sokkal mélyebben, mint a bőr, úgy Euler egyenlete a szerelem legmélyére hatol. létezés" [5] .
A New Hampshire-i Egyetem emeritus professzora , Paul Nahinaz Euler-képletről és annak Fourier-analízisben való alkalmazásáról szóló könyvében Euler identitását "kifinomult szépségként" írja le [5] .
A matematika népszerűsítője, Constance Read szerint ez az azonosság "a leghíresebb képlet az egész matematikában" [6] .

A The Mathematical Intelligencer által 1990-ben végzett olvasói közvélemény-kutatás Euler azonosságát "a matematika legszebb tételének" nevezte [7] . A PhysicsWorld fizikai folyóirat 2004-ben végzett másik olvasói közvélemény-kutatásában Euler személyét (a Maxwell-egyenletekkel együtt ) „a történelem legnagyobb egyenletének” nevezték [8] .

Tizenhat matematikus agyának vizsgálata kimutatta, hogy az "érzelmi agy" (különösen a mediális orbitofrontális kéreg , amely gyönyörű zenére, költészetre, festményekre stb. reagál) következetesebben aktiválódott az Euler-identitás esetében, mint bármely más képlethez viszonyítva [9] .

Történelem

Az Euler- képletet , amelyből Euler személyazonossága azonnal következik, először Roger Cotes ( Newton asszisztense ) angol matematikus"Logometria" ( lat. Logometria ) cikkében idézte, amely a Philosophical Transactions of the Royal Society 1714 -ben[ 10] . amikor Euler 7 éves volt), és 1722-ben újranyomták a "Mértékek harmóniája" ( lat . Harmonia mensurarum ) című könyvben [11] .

Euler egy 1740 -es cikkben és az "Introduction to the analysin of infinitezimals" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [12] című könyvében tette közzé Euler képletét a szokásos formájában .

Euler 1740-es és 1748-as irataiban azonban nem jelenik meg Euler identitása (jelenlegi klasszikus formájában), ahol lehetséges, hogy soha nem származtatta azt. Fennáll annak lehetősége, hogy Euler svájci honfitársán, Johann Bernoulli -n keresztül szerezhetett információkat Euler képletéről [13] .

Robin Wilson szerint[14] :

Láttuk, hogy ez [Euler kiléte] könnyen kikövetkeztethető Johann Bernoulli és Roger Kotes eredményeiből, de úgy tűnik, egyikük sem tette meg. Úgy tűnik, még Euler sem írta ezt kifejezetten – és természetesen egyik publikációjában sem jelenik meg –, bár kétségtelenül rájött, hogy ez közvetlenül az ő személyéből [jelen esetben Euler képletéből ] következik, e ix \u003d cos x + i sin x . Ráadásul úgy tűnik, nem tudni, ki volt az első, aki kifejezetten megfogalmazta az eredményt...

A kultúrában

Takashi Koizumi filmje " Professor's Favourite Equation " Euler identitásának szentelt .

Jegyzetek

↑ Danzig, Tóbiás. A számok a tudomány nyelve . - M . : Technosfera, 2008. - S. 111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
↑ Derbyshire, John . Egyszerű megszállottság. Bernhard Riemann és a matematika legnagyobb megoldatlan problémája. Astrel, 2010. 464 p. ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Kasner, E. és Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster , Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 .
↑ Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics (orosz nyelven) . - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
↑ 1 2 Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler mesés képlete: Sok matematikai betegséget gyógyít, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 .
↑ Reid, Constance (különböző kiadások), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
↑ Wells, David (1990), „Ezek a legszebbek?”, The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi: 10.1007/BF03024015
↑ Crease, Robert P. (2004. május 10.), "A valaha volt legnagyobb egyenletek", Physics World
↑ Zeki, S .; Romaya, JP ; Benincasa, DMT ; Atiyah, MF (2014), „A matematikai szépség megtapasztalása és idegi korrelációi”, Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150
↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : folyóirat. - 1714-1716. — Vol. 29 . — 32. o . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Archiválva az eredetiből 2017. július 6-án.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - 28. o. A Wayback Machine 2020. június 7-i archív példánya
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.
↑ Sandifer, C. Edward. Euler legnagyobb slágerei. - Mathematical Association of America, 2007. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Wilson, Robin. Euler úttörő egyenlete: A matematika legszebb tétele (angol) . – Oxford University Press, 2018.