Számtan

A hatványra emelés két inverz műveletének egyike a gyökér kinyerése , vagy olyan szám megtalálása, amely a megfelelő hatványra emelve ismert eredményt ad. Vagyis algebrailag szólva ez a gyökér keresése egy alak egyenletéhez . A második inverz művelet a logaritmus keresése (a forma egyenletének gyöke ). Az aritmetika általában csak a második fokú gyökér kiszámítását tartalmazza - a négyzetgyök .

A gyökér kiszámításának művelete, ha nem csak azokra a számokra hajtja végre, amelyeket a természetes számok hatványra emelésével kaphatunk, valamint más inverz műveletek is lehetővé teszik, hogy túllépjünk a természetes számok halmazán. Az ebből eredő számokat gyakran nem lehet véges racionális törtként ábrázolni, ezért irracionálisnak nevezzük. Az irracionális számok racionális számokhoz való hozzáadásával kapott számok halmazát valósnak vagy valósnak nevezték .

Már az ókori Görögországban is ismerték az összemérhetetlen szegmensek létezését , legalábbis egy olyan négyzet oldalai és átlója példáján, amelynek oldala egységnek tekinthető, és megpróbálták pontos számértékeket szerezni ezekhez, ami tükröződött Eukleidész " Elveiben " . A valós számok csak a 17-18. században váltak a kutatás tárgyává. A 19. század második felében Dedekind , Cantor és Weierstrass megfogalmazta saját konstruktív módszereit a valós szám meghatározására [26] .

A gyökér kinyerésének műveletére a következő szabály ismert [4] :

A számkészlet további bővítése annak volt köszönhető, hogy nem lehetett kivonni a negatív szám négyzetgyökét . Hasonló problémával szembesültek az ókorban a másodfokú egyenletek megoldása során, és az ilyen egyenleteket egyszerűen megoldhatatlannak tekintették. A 16. század első felében elkezdték az ilyen egyenletek megoldásait negatív számokból származó gyökekkel kifejezni, és "képzeletnek", "lehetetlennek", "képzetesnek" stb. nevezték el. [27]

Gyakorlati aritmetika

Az aritmetika gyakorlati oldala magában foglalja a pontos aritmetikai műveletek elvégzésére szolgáló módszereket, sémákat és algoritmusokat, beleértve a számológépek és egyéb eszközök használatát, valamint a közelítő számítások különféle módszereit, amelyek azért jelentek meg, mert bizonyos mérésekkel nem lehet pontos eredményt elérni. és lehetővé teszi annak meghatározását.sorrend, vagyis az első jelentős számjegyek [28] .

• A legegyszerűbb számláló eszközök

• római abakusz

• kínai suanpan

• Az inkák Yupana

• Orosz abakusz

Pontos módszerek

A 15. század óta különféle algoritmusokat javasoltak többértékű számok aritmetikai műveleteinek elvégzésére, amelyek a köztes számítások rögzítésének jellegében különböznek [1] . Az aritmetikai algoritmusok az aktuális helyzetszámrendszerre épülnek , amikor bármely pozitív valós szám egyedileg ábrázolható a formában

A számokkal végzett összes művelet tízig terjedő összeadási és szorzási táblázatokat és alapvető aritmetikai törvényeket használ. Illusztrációként a tudomány híres népszerűsítője, Klein a következő példát hozza fel:

amely eloszlási és kombinációs törvényeket használ [29] .

A gyors és pontos számítások szükségessége a legegyszerűbb számlálóeszközök létrehozásához vezetett: abacus , suanpan , yupans vagy account . A következő lépés Oughtred 1622- ben létrehozta a diaszabályt , amely lehetővé teszi a szorzást és az osztást [30] .

Számítógépes aritmetika

Knuth az aritmetikai műveleteket a „ számítógépek sokaságának ” tartotta [31] . Az első számítógépek , amelyek lehetővé tették négy aritmetikai művelet gépesítését, a 17. században készültek. Shikkard aritmetikai gépe , ahogy ő maga nevezte, 1623-ban épült. Az összeadás és kivonás műveleteket forgó hengerekkel végeztük, speciális hengerek voltak szorzásra és osztásra is. Ráadásul a gép több tucatnyit is szállíthatott. Pascal gépét ő fejlesztette ki 1642-ben, hogy segítse édesapját a pénzügyi számításokban. Ugyanolyan működési elve volt, mint a Shikkard gépnek. A gép fő része a tízes átviteli mechanizmus volt. Ugyanakkor az ilyen gépek kézműves gyártása továbbra is veszteséges maradt [32] . Az adagológép fejlesztésére tett kísérletek a 18. században is folytatódtak, de csak a 19. században terjedt el az adagológép alkalmazása [ 33 ] .

A 20. században az összeadó gépeket elektronikus számítógépek váltották fel. Olyan algoritmusokon alapulnak, amelyek a legkevesebb elemi műveletet használják az aritmetikai műveletek végrehajtására [1] . A számítógépes aritmetika lebegőpontos számokkal , törtekkel és nagyon nagy számokkal végzett műveletek végrehajtására szolgáló algoritmusokat tartalmaz [31] .

Méret

Az újraszámítás tárgyát képező tételek mellett vannak mérhető tételek is – elsősorban a hossz és a tömeg [34] .

Akárcsak a számolásnál, az embereknél az első hosszmértékek az ujjak voltak. Aztán elkezdték mérni a távolságot lépésben, dupla lépésben, mérföldben (ezer dupla lépésben), szakaszban . Ezen kívül könyök, tenyér, öl , hüvelyk értékkel mérték a hosszt . A különböző régiókban saját mérési rendszereket alakítottak ki, amelyek ritkán voltak a tízes többszörösei [35] . Az intézkedések sokfélesége különösen lehetővé tette a frakciók alkalmazásának mellőzését [36] [37] . A kereskedelmi aritmetika magában foglalta a nem decimális számrendszerben történő értékekkel (pénz-, mértékegységekkel és súlyokkal) való műveletek képességét [38] .

A 18. század végén a francia forradalmi kormány átmeneti, majd levéltári (1799. december 10-i törvénnyel) mérőszám alapján vette át  a metrikus mértékrendszert ( Franciaország végül 1840. január 1-jétől tért át erre). A mérővel együtt a kilogramm is meghatározásra került . A metrikus rendszer a decimális rendszeren alapul. Ez a körülmény tette lehetővé, hogy szinte az egész világon elterjedjen ( Nagy-Britannia és az USA kivételével ). A Párizsban található különleges Nemzetközi Súly- és Mértékiroda 1888-as rendeletével platina és irídium ötvözetéből nemzetközi mérőt és nemzetközi kilogrammot készítettek - a mértékek és súlyok szabványai szerint. Az idő és a szög mértéke mellett az összes többi mértékegység is a decimális rendszerhez kapcsolódik [39] .

Hozzávetőleges módszerek

Történelmileg a közelítő számítások egy egységnégyzet átlójának hosszának keresése során keletkeztek, de elterjedtek, amikor tizedes rendszerre váltottak és véges tizedes törteket használtak az irracionális számok és a végtelen periodikus törttel kifejezett számok helyett [40] .

Az értékelési számításokhoz mindenekelőtt a monotonitás törvényeit használjuk. Például a termék sorrendjének meghatározásához használhatja a következő becslést: [29] .

Számelmélet

A számelmélet vagy magasabb aritmetika az egész számok tudománya, amely a számok oszthatóságával kapcsolatos aritmetikai problémákból ered [41] . Az elemi számelmélet olyan problémákkal foglalkozik, amelyeket elemi módszerekkel, általában imaginárius számok használata nélkül oldanak meg. Tartalmazza az oszthatóság elméletét, az összehasonlítások elméletét, a határozatlan egyenleteket , a tagokra való felosztást , a racionális számok közelítését, a tört folytatását [42] . Az aritmetika alaptétele  - egy szám egyedi módon történő prímtényezőkre való felosztásáról - szintén az elemi számelmélet része [43] .

Az ókori görögök az egész számok külön alosztályait azonosították , mint például a prím, összetett, négyzet , tökéletes számok . Képleteket vezettek le a Pitagorasz-hármasok, a legnagyobb közös osztó meghatározására , és a prímszámok végtelenségét mutatták. Diophantus elvégezte az egész számokkal kapcsolatos problémák rendszerezését. Diophantus munkáit a 17. században Fermat , a 18. században Euler folytatta . Fermat egyenletek egész számokban történő megoldásával foglalkozott, és bizonyítás nélkül fogalmazta meg Fermat kis és nagy tételeit . Euler, folytatva Fermat kutatását, bebizonyított egy kis tételt és Fermat nagy tételének egy speciális esetét. Elsőként alkalmazta a matematikai elemzést a számelméleti problémák megoldására, és megalkotta az analitikus számelméletet. Euler definiálta a generáló függvényeket , amelyek alapján a cirkuláris módszer és a trigonometrikus összegek módszere [41] épült fel .

Jelenleg az elemi és az analitikus számelmélet mellett léteznek olyan szakaszok, mint az additív , algebrai , valószínűségi , metrikus számelmélet [41] .

Elméleti aritmetika

A modern matematikában az elmélet felépítése alapvető tulajdonságok vagy axiómák megválasztása , amelyekből az elmélet vagy tételek összes rendelkezését le kell vezetni az általánosan elfogadott logikával [44] . Az aritmetika elméleti felépítése algebrai fogalmakkal működik. Az aritmetika alapvető definícióinak kiemelésének bonyolultsága a kezdeti pozíciók egyszerűségével függ össze. Peano , tartva a hamis asszociatív sorozatoktól a szavak használatakor, kizárólag a szimbólumok nyelvén végzett bizonyítást, csak az általa elfogadott előzetes rendelkezésekre támaszkodva. Cantor és Dedekind a számokat halmazokkal és absztrakt relációkkal kapcsolta össze [20] . A halmazelmélet az aritmetikai műveleteket olyan speciális relációknak tekinti az elemek hármasai között, amelyekben az egyik elemet két másikkal határozzuk meg, vagy algebrai műveleteknek [45] . A halmazelméletről szólva Klein megjegyezte, hogy ezzel a megközelítéssel az elmélet fejlődése "absztrakttá és nehezen hozzáférhetővé" válik [20] .

Természetes számok

1810-ben Bolzano cseh matematikus meghatározta az összeadás műveletét természetes számokra. Tőle függetlenül hasonló meghatározást adott Grassmann német matematikus 1861-ben és Hankel 1869-ben [46] . Az Elementary Mathematics Encyclopedia a következő definíciót kínálja a természetes számok összeadására [47] :

A természetes számok összeadása mindig megvalósítható és egyértelmű [47] .

A szorzást az összeadáshoz hasonlóan Bolzano, Grassmann és Hankel egymástól függetlenül határozta meg [46] . Az "Elementary Mathematics Encyclopedia" a természetes számok szorzásának következő definícióját kínálja [48] :

A természetes számok szorzása mindig megvalósítható és egyedi [48] .

1891-ben Peano axiómákat vezetett be a természetes számokra (más források 1889-et is említenek) [11] [46] . Azóta az axiómák nagyon keveset változtak.

Egész számok

Az Elementary Mathematics Encyclopedia a következő definíciót kínálja a természetes számok kivonására [50] :

A természetes számok kivonása csak akkor lehetséges, ha , ha létezik a különbség, akkor az egyedi [50] . A természetes számoknak az összeadás és kivonás tulajdonságai miatti kiterjesztése az egész számok fogalmához vezet [51] .

A gyűrű létezik és egyedi az izomorfizmusig , és minden eleme egyenlő a természetes számok különbségével. Gyűrű készítésekor természetes számpárokból álló halmazt használunk, amelynek alakja . Párok esetében az ekvivalencia , az összeadás és a szorzás meghatározása a következő [52] :

• akkor és csak akkor egyenértékű
• 
• 

Racionális számok

Az "Elementary Mathematics Encyclopedia" a természetes számok osztásának következő definícióját kínálja [50] :

A természetes számok felosztása csak akkor lehetséges, ha ( többszörös ), ha létezik a hányados, akkor az egyedi [50] . Az egész számok kiterjesztése a szorzás és osztás fogalmain keresztül a racionális számok meghatározásához vezet [51] . Wolf még 1710-ben megfogalmazta azt a követelményt, hogy az egész számokkal végzett aritmetikai műveletek már ismert törvényei nem alkalmazhatók közvetlenül a törtekre, és indokolni kell őket. Magát az igazolást csak a 19. században dolgozták ki a formális törvények állandóságának elve alapján [53] .

A mező létezik és egyedi az izomorfizmusig, és minden eleme egyenlő egész számok hányadosával. Ami az egész számokat illeti, a racionális számok mezőjének megalkotásakor egy párhalmazt használunk , de most már egész számokat, míg . Párok esetében az ekvivalencia, az összeadás és a szorzás meghatározása a következő [25] :

• akkor és csak akkor egyenértékű
• 
• 

Valós számok

A 19. század második felében a valós számok három különböző elméleti konstrukcióját vezették be . A legnépszerűbb a Dedekind konstrukció . Kantor a határok elméletét használta felépítésében [54] .

A mező létezik és egyedi az izomorfizmusig , és minden eleme egyenlő a racionális számok sorozatának határával [55] .

Komplex számok

A mező algebrailag zárt . A komplex számok mezőjének összeállításakor rendezett párok halmazát használjuk . Párok esetében az ekvivalencia, az összeadás és a szorzás meghatározása a következő:

• akkor és csak akkor egyenértékű , ha és ,
• 
• 

Formális aritmetika

A logikai-matematikai konstrukciót formális aritmetikának nevezzük [57] . A logikára való átállás a Hilbert -iskola megközelítéséhez kapcsolódik , amely a számok helyett az absztrakciókat vette figyelembe, és feltételezte, hogy az alapvető számtani törvények igazak rájuk [20] . Az aritmetika igazolására az axiomatika több változatát javasolták. Az összeadást és szorzást egyaránt meghatározó Peano axiómarendszer mellett létezik a Presburger axiómarendszer , amely csak az összeadást határozza meg, valamint az összeadást, szorzást és hatványozást meghatározó axiómák. Gyakran a műveletek minden tulajdonsága axiómaként szerepel [58] [59] . Mindezek az axiomatikus elméletek egész számok halmazán alapulnak, és nem tartalmazzák a halmazelmélet paradoxonjait . Más kutatási megközelítések az aritmetikát a halmazelmélet vagy a matematikai logika axiómáiból vezetik le [44] . A kutatás kényelme érdekében az axiómákat a matematikai logika speciális formális nyelvén írjuk [57] . Tartalmaz , numerikus változókat, szimbólumokat ( ) és logikai konnektívumokat ( ), a posztulátumok számítási predikátumok posztulátumai [2] . Az indukció axiómája az axiómák végtelen halmaza, amely nem helyettesíthető semmilyen véges halmazzal [57] .

Ideális esetben az axióma alapkészletének három tulajdonsággal kell rendelkeznie [11] :

• következetesség  - az axiómák nem ütközhetnek egymással;
• függetlenség  - az axiómák között ne legyen felesleges, logikusan levezethető más axiómákból;
• teljesség  - az axiómák halmazának elegendőnek kell lennie ahhoz, hogy bármely helyesen megfogalmazott tétel igazolható vagy cáfolható legyen.

A természetes számok aritmetikája nagy jelentőséggel bír a matematikai elméletek alátámasztása szempontjából: konzisztenciájából következik a valós számok aritmetikájának konzisztenciája, ami viszont a modellek módszerével lehetővé teszi az euklideszi geometria és Lobacsevszkij konzisztenciájának kimutatását. s geometriája [11] [44] . A Peano-rendszerben és a kapcsolódó axiomatikus rendszerekben az aritmetika következetességének bizonyítására Hilbert a XX. század elején sikertelenül törekedett. A Gödel-féle befejezetlenségi tétel 1930-as felfedezése után világossá vált, hogy ez ilyen egyszerű rendszerekben nem lehetséges. A konzisztencia bizonyítását 1936-ban Gentzen végezte el a transzfinit indukció egy variációjával [57] .

A függetlenség vizsgálatához minden axiómát felváltva az ellenkezőjére cserélünk, majd felállítunk egy modellt, ahol a kapott axiómahalmaz teljesül. Ha a lecserélt axióma függő, azaz logikusan következik más axiómákból, akkor az ellenkezővel való helyettesítése nyilvánvalóan inkonzisztens axiómarendszerhez vezet, és a modell felépítése lehetetlen. Így ha a modell megépíthető, akkor a megfelelő axióma független [60] . Ily módon bebizonyosodott, hogy az összes Peano-axióma független egymástól [61] .

A Peano-féle axiómákra épülő formális aritmetika segítségével matematikai elemző eszközök nélkül bizonyítható számelméleti tételek, valamint rekurzív függvények és tulajdonságaik írhatók [2] . Egyenértékű a Zermelo-Fraenkel axiomatikus halmazelmélettel a végtelen axiómája nélkül . Ugyanakkor Godel 1929-ben bebizonyított teljességi tétele kimutatta, hogy Peano axiomatikája hiányos, vagyis vannak olyan aritmetikai tételek, amelyeket nem lehet sem bizonyítani, sem megcáfolni. Míg az aritmetika teljes a forma képleteivel kapcsolatban , vannak alaktételek , amelyek igaz állítást fejeznek ki, de nem vezethetők le [57] . Konkrét példákat is lehetett találni a tételekre: a Goodstein -tételre , a Paris–Harrington-tételre és másokra.

Történelmi vázlat

Ókori matematikai szövegek és számrendszerek

Az egyiptomi matematikai szövegek kiemelt figyelmet fordítottak a számításokra és az ebből adódó nehézségekre, amelyektől nagymértékben függtek a feladatmegoldási módszerek. Az ókori Egyiptom matematikai papiruszait oktatási céllal állították össze [62] , megoldási feladatokat, segédtáblázatokat és szabályokat tartalmaztak egész számokkal és törtekkel végzett műveletekhez , vannak számtani és geometriai progressziók , valamint egyenletek [11] . Az egyiptomiak a decimális számrendszert használták [63] . Az egyiptomiak ismerték az olyan számtani műveleteket, mint az összeadás, a duplázás és a törtek összeadása. Bármilyen egész számmal való szorzást és maradék nélküli osztást a duplázási művelet többszöri ismétlésével hajtottak végre, ami nehézkes számításokhoz vezetett a sorozat egyes tagjaival [15] . Egyiptomban csak aliquot frakciókat vagy egy egység törtrészeit ( ) használták, és az összes többi frakciót az alikvotok összegére bontották [64] . Amikor egy négyzet területét , egy kocka térfogatát határozták meg , vagy egy négyzet oldalát a terület alapján találták meg, az egyiptomiak hatványra emeléssel és gyökér kivonásával szembesültek, bár ezeknek a műveleteknek még nem volt neve. [15] .

A babiloni ékírásos matematikai szövegek a sumérokra jellemző hathatós számrendszert [65] használták , és olyan oktatási segédanyagok voltak, amelyek szorzótáblákat tartalmaztak a -tól -ig számokhoz , valamint reciproktáblázatokat , természetes számok négyzet- és kockatáblázatát, számítási táblázatokat. százalékok , törtek bázissal [11] [63] . Az aritmetikai feladatok megoldása során a babilóniaiak az arányokra és a progressziókra támaszkodtak. Ismerték a számtani sorozat tagjainak összegének képletét, a geometriai haladás összegzésének szabályait, és százalékos feladatokat oldottak meg [66] . Babilonban sok Pythagorean hármast ismertek , a kereséshez valószínűleg egy ismeretlen általános technikát használtak. Általánosságban elmondható, hogy egy egyenlet egész és racionális megoldásának problémája a számelmélethez tartozik [67] . A geometriai problémák miatt szükség volt a négyzetgyökök közelítő kivonására , amelyet a szabály és az iteratív módszerek segítségével hajtottak végre az eredmény további közelítése érdekében [com. 1] .

A legrégebbi görög matematikai szövegek a Kr. e. 14-7. századból származnak. e. [69] Kezdetben a görögök az attikai számozást használták , amelyet végül egy kompakt betű vagy jón [70] váltott fel . Az ókori görög aritmetika fejlődése a pitagorasz iskolához tartozik . A pitagoreusok eleinte azt hitték, hogy bármely két szakasz aránya kifejezhető egész számok arányával, vagyis a geometria a racionális számok aritmetikája. Csak pozitív egész számokat vettek figyelembe, és egy számot egyesek halmazaként határoztak meg. A számok tulajdonságait tanulmányozva párosra és páratlanra (a kettővel oszthatóság jeleként), prímre és összetettre osztották, és Pitagorasz hármasainak végtelen halmazát találták [71] . Kr.e. 399-ben. e. megjelent az oszthatóság általános elmélete, amely nyilvánvalóan Theaetetushoz , Szókratész tanítványához tartozik . Euklidész a VII. könyvet és a IX. „ Kezdetek ” című könyv egy részét neki ajánlotta. Az elmélet a két szám legnagyobb közös osztójának megtalálására szolgáló Euklidész algoritmuson alapul . Az algoritmus következménye, hogy tetszőleges szám prímtényezőkre bontható, valamint az ilyen dekompozíció egyedisége [72] .

Ugyanakkor a püthagoreusok birtokában van az egységnégyzet átlója és oldala összemérhetetlenségének bizonyítéka. Ez a felfedezés azt jelentette, hogy az egész számok arányai nem elegendőek bármely szegmens arányának kifejezésére, és ezen az alapon lehetetlen metrikus geometriát felépíteni [73] . Az irracionalitás első tana Theaitetusé. Euklidész algoritmusa lehetővé teszi, hogy meghatározzuk egy racionális szám nem teljes részleges kiterjesztését egy folytonos törtté. Ugyanakkor az ókori Görögországban nem merült fel a folytonos tört fogalma [72] . A III. században Diophantus elkezdte az algebra építését nem geometria, hanem aritmetika alapján. Diophantus a numerikus tartományt a negatív számokra is kiterjesztette [74] .

A római számozási rendszer nem volt megfelelően adaptálva a számításokhoz. A római számok megelőzték az ábécé megjelenését, és nem a betűiből származnak. Úgy tartják, hogy kezdetben a től- ig számokat a megfelelő számú függőleges vonal jelezte, és az áthúzásuk a tízszeres számot jelentette (innen a szám ). Ennek megfelelően a szám megszerzéséhez a botot kétszer áthúzták. Ezt követően a rendszer egyszerűsödött [75] . Jelenleg főleg sorszámok jelölésére használják.

A 14. századig a kínai matematika a számlálótáblán való megoldáshoz szükséges számítási algoritmusok összessége volt [76] . A számlálótáblán végrehajtott összeadás és kivonás aritmetikai műveletei nem igényeltek további táblákat, a szorzáshoz viszont volt egy -tól -ig táblázat . A szorzás és osztás műveleteit a legmagasabb számjegyektől kezdve végeztük, míg a közbenső eredményeket eltávolították a tábláról, ami lehetetlenné tette az ellenőrzést. Eleinte a szorzás és az osztás egymástól független műveletek voltak, de aztán Sun Tzu feljegyezte ezek kölcsönös inverzét [77] . Kínában tudták, hogyan kell problémákat megoldani a két hamis pozíció szabálya [78] segítségével, és negatív számokat vezettek be a lineáris egyenletrendszerek megoldására . Eleinte csak a számolás során használták őket, és a számítások végére eltávolították a tábláról, majd a kínai tudósok adósságként vagy hiányként kezdték értelmezni őket [79] .

Aritmetika a középkorban

Indiában vezették be a helyzetszámrendszert (tíz számjegy , beleértve a nullát is) . Lehetővé tette viszonylag egyszerű szabályok kidolgozását az aritmetikai műveletek végrehajtására [11] . Indiában a fő aritmetikai műveletek az összeadást, kivonást, szorzást, osztást, négyzetesítést és kockát, a négyzet- és kockagyökök kinyerését tekintették, amelyekre szabályokat dolgoztak ki. A számításokat homokkal vagy porral teli számlálótáblán, vagy egyszerűen a földön végezték, és bottal rögzítették [80] . Az indiánok ismerték a törteket és tudták, hogyan kell velük műveleteket végrehajtani, arányokat, progressziókat [81] . Már a Kr.u. 7. századtól. e. negatív számokat használtak, adósságként értelmezve, valamint irracionális számokat [82] .

A 9. század elején Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi megírta az „Indiai számláról” című könyvet. A tankönyv „különböző típusú és fajta” gyakorlati problémák megoldásait tartalmazta, és ez volt az első helyszámrendszerrel írt könyv, ezt megelőzően a számokat csak a számlálótáblán történő számításokhoz használták [83] [84] . A 12. században Adelard és Sewel János [85] készítette a könyv két latin fordítását . Eredetét nem őrizték meg, de 1857-ben megjelent egy talált latin fordítás "Alkhoresmi on the Indian Number" címmel [83] . Az értekezés leírja az olyan aritmetikai műveletek végrehajtását, mint az összeadás, kivonás, kettőzés, szorzás, bifurkáció, osztás és a négyzetgyök felvétele indiai számok segítségével a számlálótáblán [86] . A törtek szorzását, akárcsak az osztást, arányok használatával vettük figyelembe: a -val való szorzás egyenértékű volt annak megállapításával, hogy . Ez az elmélet volt az arab aritmetika alapja. Létezett azonban egy másik törtszámítás is, amely bármely törtet aliquot törtek összegeként reprezentál [87] . A problémák megoldására az arabok a hármas szabályt használták , amely Indiából származott, és számos más technikával együtt leírták Al-Biruni „Az indiai rasikok könyvében”, a két hamis álláspont uralmát, amely Kínából származott és elméletileg kapott. indoklás a "Könyv a kettős hamis álláspont szabályáról" Bushes ibn Lukka [88] .

A 10. században Spanyolországon és Szicílián keresztül kezdtek kiépülni a tudományos kapcsolatok Európa és az arab világ között. Ekkor járt Katalóniában a tudós szerzetes, Herbert, aki később II. Szilveszter pápa lett . Nevéhez fűződik olyan írások, mint a Számosztás könyve és Az Abakuszra számolás szabályai. Mindkét könyvben a számokat szavakkal vagy római számokkal írják [89] . Herbert „abacistának” nevezte az abakuszkalkulátorokat. A 12-13. században jelentek meg Európában az aritmetikai könyvek latin fordításai. A könyvekben bemutatott decimális pozíciószámozás híveit al-Khwarizmi arab matematikus latin nevéről kezdték "algoristának" nevezni [90] . A 13. század elején Nyugat-Európában két számrendszer létezett: a régi, az abakuszra épülő és Herbert által támogatott, valamint az új, pozicionális indiai rendszer, amelyet Leonardo Fibonacci támogat. Fokozatosan az új rendszer vette át az uralmat [85] [91] . Fő előnye az aritmetikai műveletek egyszerűsítése. Németországban, Franciaországban és Angliában azonban csak a 15. század végén kezdtek új számokat használni. A régi számozás teljesebb kiszorítása csak a 16-17. században következett be [91] .

1427-ben al-Kashi leírta a tizedestörtek rendszerét, amely Stevin 1585 -ös írása után terjedt el [11] . Stevin a tizedes rendszert a lehető legszélesebb körben el akarta terjeszteni. Ezért írta kompozícióit franciául és flamandul , nem latinul. Emellett energikus bajnoka lett a tizedes mértékrendszer bevezetésének [37] .

Modern aritmetika

A 17. században a tengerészeti csillagászat , a mechanika és a bonyolultabb kereskedelmi számítások új követelményeket támasztottak a számítástechnika aritmetikájával szemben, és lendületet adtak a további fejlődésnek. A szám fogalma jelentős változáson ment keresztül. Ha korábban jórészt csak pozitív racionális számokat tulajdonítottak a számok mezőjének, akkor a 16. századtól egyre inkább felismerték az irracionális és negatív számokat. Newton előadásaiban a számokat három típusra osztja: egész számokra (egységgel mérve), törtre (egy egység többszörös törtrésze) és irracionális (egységgel össze nem mérhető). 1710 óta a számnak ez a definíciója szilárdan szerepel minden tankönyvben [92] .

A 17. század elején Napier feltalálta a logaritmusokat . A logaritmusok és tizedes törtek használata, az irracionális szám fogalmának a racionális közelítések sorozataként való beemelése az aritmetikába a 17. század végére kiterjesztette az aritmetika hatókörét, és meghatározta a tudomány alapvető jelentőségét a folytonos mennyiségek vizsgálatában. [11] .

A matematika alapjainak kritikai felülvizsgálatának folyamata, amely a 19. században történt, Lobacsevszkij geometriai munkájához kapcsolódik . Már a 18. században megindultak a kísérletek a számmal kapcsolatos elképzelések elméleti igazolására. Leibniz volt az első, aki feladatul tűzte ki az aritmetika deduktív felépítését, és különösen megmutatta a „kettő plusz kettő egyenlő négy” egyenlőség bizonyításának szükségességét 1705-ös Új kísérletek az emberi elmével című művében. Wolf 1770-ben, Schultz  1790-ben, Ohm  1822-ben, Grassmann  1861-ben, végül Peano  1889-ben [93] mutatta be axiómáit a probléma megoldására .

Kestner 1758-ban Az aritmetika, a geometria, a sík- és gömbtrigonometria és a perspektíva első alapjai című művében minden aritmetikai fogalom egész számmal való igazolása mellett érvelt. Így definiálta sorrendben a könyvben a természetes számokat, a törteket, a negatív számokat, a tizedesjegyeket, az irracionális számokat, és csak ezután az összefüggéselméletet [94] . A negatív számok elméletének kialakításában a fő probléma az volt, hogy a negatív szám kisebb, mint nulla, azaz kisebb, mint a semmi [95] .

A komplex számok teljes geometriai értelmezését Caspar Wessel javasolta 1799-ben "An Essay on the Analytic Represent of Direction and its Applications, Főleg a sík- és gömbsokszögek megoldására" című művében. Wessel megpróbálta általánosítani az elméletet a háromdimenziós térre, de nem járt sikerrel. A kérdés mindaddig nyitott maradt, amíg Hamilton meg nem konstruálta a kvaterniók elméletét , amelynek szorzása nem tartja fenn a kommutatív törvényt. Ugyanakkor Weierstrass, Frobenius és Pierce tanulmányai kimutatták, hogy bármelyik aritmetikai törvényt el kell hagyni a számfogalom bármilyen kiterjesztéséhez a komplex számok határain túlra [96] .

Számtan az oktatásban

Az aritmetikai fogalmak kialakulása szorosan összefügg a számolás folyamatával. A mentális tevékenység olyan elemeire épül, mint a tárgy felismerésének képessége; tárgyak megkülönböztetése; osszuk fel az objektumok halmazát olyan elemekre, amelyek számolása egyenlő (más szóval használjon számláló egységet); az elemek szekvenciális elrendezésének, elrendezésének képessége , ami a különböző minőségű tárgyak megszámlálásához és a számfogalom kialakulásához vezet. Hasonló folyamatok figyelhetők meg a fogalmak gyermekek általi asszimilációjában [11] .

Tehát melyik tudományágat érdemes először tanulmányozni, ha nem azt, amelyik a kezdet, és anyaként hat más [tudományágakhoz] képest? Ez csak aritmetika. Minden mást megelőz, nem csak azért, mert maga Isten, ennek a világegyetemnek a teremtője, először őt vette mintaképül gondolataiban, és [elve] szerint mindent elrendezett, ami a számokon keresztül, a teremtő elme erejével, harmóniát talált a kialakult sorrendben, hanem azért is, mert az aritmetika az előzőnek van deklarálva, hogy ha a természetüknél fogva megelőző entitásokat kiiktatjuk, akkor a következő entitásokat azonnal kiküszöböljük. Ha a későbbiek elpusztulnak, akkor az előző anyag állapotában semmi sem változik.

Az alapfokú oktatási normák magukban foglalják a számok számlálását és összehasonlítását millióig, az alapvető mértékegységekkel és a köztük lévő összefüggésekkel való munkát, négy számtani alapművelet elvégzését (szóban 100-ig, írásban 10 000-ig), valamint a maradékkal való osztást, több aritmetikai műveletből álló numerikus kifejezés értékének keresése [98] [99] . Az iskolai tananyag bemutatása vizuális ábrázolások segítségével történik. Az első osztályban a gyerekek számszerű képekkel, tárgymennyiségekkel foglalkoznak, a számolás 20-ig megy. Második osztályban bemutatják a tizedes rendszert, helyzetrendszert, szorzótáblát, a számolás 100-ig megy. A harmadik osztályban többértékű számokkal végzett aritmetikai műveletek tanulmányozása. A következő lépés az áttérés a betűjelölésekre, vagyis a konkrétról az absztraktra. Klein szerint ezzel kezdődik a matematika [100] . Az általános iskolai aritmetika tanulásának nehézsége abban rejlik, hogy a számítást az objektumok természetétől elvont módon kell elvégezni [101] .

A középiskolai oktatás a számfogalom kiterjesztéséhez kapcsolódik, vezessen be törteket és a rájuk vonatkozó műveleteket, negatív számokat, irracionális számokat [102] . A valós és komplex számok, valamint az Euklidész-algoritmus és az aritmetika alaptétele a teljes középfokú oktatásnak minősül. Az Orosz Szövetségi Állami Oktatási Szabvány szerint „Az aritmetika rész tartalma alapul szolgál a diákok további matematikai tanulmányozásához, hozzájárul logikus gondolkodásuk fejlesztéséhez, az algoritmusok használatának képességének kialakításához, valamint a matematika elsajátításához. a mindennapi életben szükséges gyakorlati készségek” [103] .

A modern világban a matematikai műveltség az oktatás egyik fő célja. Ez magában foglalja különösen az aritmetikai műveletek végrehajtásának, a számítások és mérések elvégzésének képességét [104] . Az olyan szervezetek, mint az UNICEF és az UNESCO [105] [106] foglalkoznak a gyermekek és felnőttek matematikai műveltségének kérdéseivel .

Ugyanakkor az aritmetikai műveletek tanítása sokáig a minták mechanikus végrehajtására korlátozódott. Az ókori Kínában nagy figyelmet fordítottak a matematika tanítására, beleértve a vizsgák letételét is. A matematikát hét évig tanulták a Birodalmi Akadémián. A klasszikus matematikai értekezéseket azonban dogmaként kezelték, és változtatás nélkül újranyomták [107] .

Európában az összeadás, kivonás, szorzás és osztás szisztematikus gyakorlatait Tartaglia javasolta a 16. században, de ezek sokáig nem kerültek használatba [108] . Ezenkívül a középkorban számos magánszámítási feladat megoldására voltak szabályok. Egyes tankönyvekben legfeljebb 26 ilyen szabály található, és ezek nem feltétlenül esnek egybe tankönyvről tankönyvre [109] . Néhány szabály a mai napig nem veszítette el jelentőségét. Ide tartoznak az arányok (a törteket két szám arányának tekintettük, ami az arányok figyelembevételéhez vezetett a műveletek elvégzéséhez), százalékok [110] .

Az aritmetika a hét szabad művészet közül a negyedik a tanulás szempontjából. Ezt a nyelvtanból , retorikából és dialektikából álló trivium előzi meg , és maga a quadrivium vezető tudománya , amely magában foglalja a geometriát , a zenét és a csillagászatot is . Az első európai egyetemek megjelenésével a matematikát a művészeti karokon quadriviumként oktatták, és segédtudomány volt. Az első aritmetikai előadásokat a bécsi egyetem mestere, Johann of Gmunden tartotta 1412-ben [112] .

Aritmetika a filozófiában és a művészetben

Miután a püthagoreusok az egész számok összefüggéseit használták a szegmensek geometriai kapcsolatainak, valamint a harmónia és a zene hasonló összefüggéseinek kifejezésére, arra a következtetésre jutottak, hogy a világ összes törvénye leírható számokkal, és számtani kell ahhoz. kapcsolatok kifejezésére és mintabéke kialakítására [113] . Ugyanakkor a pitagoreusok egyik felfedezése, hogy az egész számok arányai nem elegendőek bármely szakasz arányának kifejezésére (a négyzet átlója és oldala összemérhetetlen), és ez alapján nem lehet építeni metrikus geometria [73] . A véges mérték megalkotásának és a valós szám meghatározásának problémái tudományos válságot tártak fel a Kr.e. V. században. e., amelyből az ókori Görögország összes filozófiai iskolája részt vett. Eleai Zénó paradoxonaiban vagy apóriáiban [114] sikerült megmutatnia mindazokat a nehézségeket, amelyek e problémák megoldása során felmerülnek .

Marcianus Capella "A filozófia és a Merkúr házassága" című értekezésében vizuális képeket alkotott mind a hét művészetről, beleértve az aritmetikát is. A művészeteket megfelelő attribútumokkal rendelkező nők személyesítették meg, akiket a szféra ismert képviselői kísértek. Az aritmetikus számokkal felírt táblát vagy abakuszt tart a kezében. Pythagoras [115] elkíséri .

A számolás Buddha egyik próbája volt . Az íjászat , a futás és az úszás versenyei után Arjuna matematikus megparancsolta neki, hogy minden számbeli fokozatot magasabbra nevezzen . Buddha huszonkét fokot nevezett el (csak a páratlan fokozatoknak volt neve), és ez csak az első számolás volt, a második számolásnál Buddha folytatta . Buddha következő feladata az volt, hogy megszámolja az atomok számát egy mérföldön, majd az univerzumban [116] . Hasonló "számlétrák" ismétlődően megtalálhatók az indiai vallásos költészetben, míg a számok szavai eltérőek lehetnek. Az ilyen létrák célja, hogy a halandó világ fölé emelkedjenek. A "Lilavatistara" indiai könyv a föld hölgye, a gyönyörű Gopa kérői közötti versengést írja le írásban , számtanban, birkózásban és a nyíldobás művészetében. A munka [117] jelentős részét az aritmetikai teszteknek szentelték .

Akárcsak Indiában, a maja papok által mesterségesen megszerkesztett igen nagy számok arról a vágyról beszélnek, hogy feljebb kapaszkodjanak a "számos ranglétrán", közelebb az istenekhez [118] .

Jegyzetek

1. ↑ Meg kell találni a gyökét , - az első közelítést hátrányos, - a közelítést a többlettel. A második közelítést a számtani középképlet alkotja , és ennek felel meg és így tovább) [68] .

1. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vinogradov I. M. Aritmetika // Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977. - T. 1.
2. ↑ 1 2 3 4 Vinogradov I. M. Formális aritmetika // Mathematical Encyclopedia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977. - T. 1.
3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Számtan, tudomány // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára  : 86 kötetben (82 kötet és 4 további). - Szentpétervár. , 1890-1907.
4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MacDuffee CC Aritmetika . Encyclopædia Britannica. Letöltve: 2012. március 20. Az eredetiből archiválva : 2012. május 27..  (határozatlan)  (Angol)
5. ↑ SZÁMÍTÁS . Nagy Orosz Enciklopédia . Letöltve: 2017. június 15. Az eredetiből archiválva : 2017. június 27. (Orosz)
6. ↑ Arnold, 1938 , p. 3-5.
7. ↑ Pontryagin, 1986 , p. 4-6.
8. ↑ Beljusztin V. 12. fejezet A cselekvések, jelek és definíciók száma és sorrendje // Hogyan jutottak el az emberek fokozatosan a valódi aritmetikához ? - M . : K. L. Menshov nyomdája, 1909.
9. ↑ Depman, 1965 , p. 195-199.
10. ↑ Arnold, 1938 , p. 151-156.
11. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Aritmetika // Nagy Szovjet Enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
12. ↑ Algebra // Nagy Szovjet Enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
13. ↑ Depman, 1965 , p. 21-25.
14. ↑ Depman, 1965 , p. 129-130.
15. ↑ 1 2 3 A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 23-24.
16. ↑ 1 2 3 4 Depman, 1965 , p. 212-232.
17. ↑ 1 2 3 Depman, 1965 , p. 204.
18. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 142.
19. ↑ Klein, 1987 , p. 23-26.
20. ↑ 1 2 3 4 Klein, 1987 , p. 26-35.
21. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 77-79.
22. ↑ Klein, 1987 , p. 37-44.
23. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 157.
24. ↑ Klein, 1987 .
25. ↑ 1 2 3 Aritmetika, 1951 , p. 172-178.
26. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 188-201.
27. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 227.
28. ↑ Klein, 1987 , p. 35-36.
29. ↑ 1 2 Klein, 1987 , p. 23-25.
30. ↑ ARITHMETIKA // Collier's Encyclopedia. — Nyitott társadalom. – 2000.
31. ↑ 1 2 Knuth , p. 216.
32. ↑ A matematika története, II. kötet, 1970 , p. 66-67.
33. ↑ A matematika története, III. kötet, 1972 , p. 42-45.
34. ↑ Klein, 1987 , p. 45-49.
35. ↑ Depman, 1965 , p. 263-267.
36. ↑ Boyer & Merzbach, 2010 , Aritmetika és logisztika.
37. ↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , p. 57-71.
38. ↑ Knuth , p. 216, 221.
39. ↑ Depman, 1965 , p. 275-285.
40. ↑ Klein, 1987 , p. 49-57.
41. ↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Számelmélet // Mathematical Encyclopedia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977. - T. 5.
42. ↑ Vinogradov I. M. Elemi számelmélet // Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977. - T. 5.
43. ↑ Arnold, 1938 , p. 413-415.
44. ↑ 1 2 3 Axiomatikus módszer // Nagy Szovjet Enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
45. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 100-107.
46. ↑ 1 2 3 Depman, 1965 , p. 117-126.
47. ↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , p. 135-138.
48. ↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , p. 139-142.
49. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 133.
50. ↑ 1 2 3 4 Aritmetika, 1951 , p. 150-151.
51. ↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , p. 172-179.
52. ↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , p. 160-167.
53. ↑ Depman, 1965 , p. 258-262.
54. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 188.
55. ↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , p. 202.
56. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 228.
57. ↑ 1 2 3 4 5 Formális aritmetika // Nagy Szovjet Enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
58. ↑ Avigad, 2003 , p. 260.
59. ↑ Nechaev, 1975 , p. 52-53.
60. ↑ Nechaev, 1975 , p. 48.
61. ↑ Nechaev, 1975 , p. 68-72.
62. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 19-20.
63. ↑ 1 2 Depman, 1965 , p. 49-52.
64. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 25.
65. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 34.
66. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 40.
67. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. ötven.
68. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 46-47.
69. ↑ Depman, 1965 , p. 53-54.
70. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 62.
71. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 68-69.
72. ↑ 1 2 A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 74-76.
73. ↑ 1 2 A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 73.
74. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 144-146.
75. ↑ Depman, 1965 , p. 57-58.
76. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 178.
77. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 160-161.
78. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 163-164.
79. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 167-169.
80. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 183-185.
81. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 185.
82. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 190-191.
83. ↑ 1 2 Depman, 1965 , p. 72-78.
84. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 209-210.
85. ↑ 1 2 Depman, 1965 , p. 90-94.
86. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 211-212.
87. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 212-214.
88. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 218-219.
89. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 254-256.
90. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 256-257.
91. ↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , p. 50-57.
92. ↑ A matematika története, II. kötet, 1970 , p. 34-36.
93. ↑ A matematika története, III. kötet, 1972 , p. 47-49.
94. ↑ A matematika története, III. kötet, 1972 , p. 49-52.
95. ↑ A matematika története, III. kötet, 1972 , p. 52-56.
96. ↑ A matematika története, III. kötet, 1972 , p. 61-66.
97. ↑ Boethius. I, 1 // A számtan alapjai .
98. ↑ Egy oktatási intézmény hozzávetőleges alapképzési programja. Általános iskola (elérhetetlen link) . Szövetségi állami oktatási szabvány. Letöltve: 2012. december 5. Az eredetiből archiválva : 2012. december 7.. (határozatlan) 
99. ↑ Egy oktatási intézmény hozzávetőleges alapképzési programja. Általános iskola / ösz. E. S. Savinov. - 4. - M . : Oktatás, 2013. - S. 32-35. — 223 p. — ISBN 9785090264167 . Archivált másolat (nem elérhető link) . Hozzáférés dátuma: 2012. december 6. Az eredetiből archiválva : 2013. augusztus 24. (határozatlan) 
100. ↑ Klein, 1987 , p. 20-23.
101. ↑ Depman, 1965 , p. 1-3, 103-109.
102. ↑ Klein, 1987 , p. 37.
103. ↑ Hozzávetőleges programok a tudományos tárgyakhoz. Matematika (elérhetetlen link) . Szövetségi állami oktatási szabvány. Letöltve: 2012. december 5. Az eredetiből archiválva : 2012. december 7.. (határozatlan) 
104. ↑ Műveltség, matematikai képességek és problémamegoldó készségek egy technológiailag fejlett társadalomban (elérhetetlen link) . Nemzeti Kutatóegyetem Közgazdaságtudományi Főiskola. Letöltve: 2012. december 5. Az eredetiből archiválva : 2012. december 7.. (határozatlan) 
105. ↑ Minőség meghatározása az oktatásban  (angol)  (elérhetetlen link) . UNICEF . Letöltve: 2012. december 5. Az eredetiből archiválva : 2012. október 15..
106. ↑ Oktatás minden  cél érdekében . UNESCO . Letöltve: 2012. december 5. Az eredetiből archiválva : 2012. december 7..
107. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 157.
108. ↑ Depman, 1965 , p. 199-203.
109. ↑ Depman, 1965 , p. 305.
110. ↑ Depman, 1965 , p. 306.
111. ↑ Szabadművészet . Encyclopædia Britannica. Letöltve: 2012. március 20. Az eredetiből archiválva : 2012. május 27..  (határozatlan)  (Angol)
112. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 259-260.
113. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 67.
114. ↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 88-89.
115. ↑ Seven Liberal Arts (elérhetetlen link) . Szimbolárium. Letöltve: 2012. március 20. Az eredetiből archiválva : 2012. május 27.. (határozatlan) 
116. ↑ Menninger, 2011 , p. 176-179.
117. ↑ Aritmetika, 1951 , p. 49.
118. ↑ Menninger, 2011 , p. 82.

Irodalom

• Arnold IV Elméleti aritmetika. - M . : Állami oktatási és pedagógiai kiadó, 1938. - 481 p.
• Depman I. Ya. Az aritmetika története . - M . : Nevelés, 1965. - 400 p.
• Klein F. Az elemi matematika magasabb nézőpontból. - M . : Nauka, 1987. -  T. I: Számtan. Algebra. Elemzés.  — 432 p.
• Knut D. E. Aritmetika // A programozás művészete. - M.  - T. II. — 830 p.
• Menninger K. A számok története. Számok, szimbólumok, szavak. - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - 543 p. — ISBN 9785952449787 .
• Nechaev V. I. Numerikus rendszerek. - M . : Nevelés, 1975. - 199 p.
• Pontryagin L. S. A számok általánosításai . — M .: Nauka, 1986. — 120 p. - ( "Kvantum" könyvtár ).
• Serre J.-P. Számtantárgy / per. franciából A. I. Skopin, szerk. A. V. Malysheva. - M . : Mir, 1972. - 184 p.
• Matematika története: 3 kötetben / szerkesztette : A. P. Juskevics . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Az ókortól az újkor kezdetéig.
• Matematika története: 3 kötetben / szerkesztette A. P. Juskevics. - M . : Nauka, 1970. - T. II: A 17. század matematikája.
• Matematika története: 3 kötetben / szerkesztette A. P. Juskevics. - M . : Nauka, 1972. - T. III: A XVIII. századi matematika.
• Az elemi matematika enciklopédiája. Foglaljon egyet. Aritmetika / szerkesztette: P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich és A. Ya. Khinchin. - M. - L .: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1951. - 448 p.
• Avigad, Jeremy. Számelmélet és elemi aritmetika  // Philosophia Mathematica. - 2003. - 20. évf. 11, 3. sz . - P. 257-284.  (Angol)
• Boyer CB, Merzbach UC A matematika története . – John Wiley & Sons, 2010. – 640 p.  (Angol)

Linkek

• Aritmetika a mathworld.wolfram.com oldalon  _

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Nagy ukrán Brockhaus és Efron a világ körül Kis Brockhaus és Efron Britannica (online) Treccani Modern Ukrajna
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4002919-0 J9U : 987007294694905171 LCCN : sh85007163 NDL : 00570203 NKC : ph118605