Tökéletes szám

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A tökéletes szám ( más görög ἀριθμὸς τέλειος ) egy természetes szám , amely megegyezik saját osztóinak összegével (vagyis magán a számon kívül minden pozitív osztóval). Például a 6-os szám megegyezik saját osztóinak 1 + 2 + 3 összegével . Ezt a fogalmat a pitagoreusok vezették be az ie 6. században. e.; numerológiai miszticizmusuk szerint egy szám egybeesése osztói összegével egy ilyen szám különleges tökéletességéről tanúskodott [1] .

Ha egy szám összes osztóját összeadjuk (azaz összeadjuk magát a számot), vagy egy másik ekvivalens definíciót kapunk: A tökéletes számok olyan számok, amelyekben az osztók összege 2-szer nagyobb, mint maga a szám. $\sigma (N)-N=N$ $\sigma (N)=2N,$

A természetes számok növekedésével a tökéletes számok ritkulnak. Nem ismert, hogy a tökéletes számok halmaza végtelen-e. Azt sem tudni, hogy valamelyikük furcsa-e.

Tökéletes számok alkotják az A000396 sorozatot az OEIS -ben :

6 ,
28 ,
496 _
8128 ,
33 550 336
8 589 869 056 ,
137 438 691 328 ,
2 305 843 008 139 952 128 ,
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 ,
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 ,

…

Példák

Az 1. tökéletes számnak - 6-nak a következő megfelelő osztói vannak: 1, 2, 3; az összegük 6.
A 2. tökéletes számnak - 28 - a következő megfelelő osztói vannak: 1, 2, 4, 7, 14; az összegük 28.
A 3. tökéletes számnak - 496 - a következő megfelelő osztói vannak: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; az összegük 496.
A 4. tökéletes számnak - 8128 - a következő megfelelő osztói vannak: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; összegük 8128.

Tanulmánytörténet

Még tökéletes számok

A páros tökéletes számok megalkotásának algoritmusát Euklidész kezdeteinek IX. könyve írja le , ahol bebizonyosodott, hogy egy szám akkor tökéletes, ha a szám prím ( az úgynevezett Mersenne-prímszámok ) [2] . Ezt követően Leonhard Euler bebizonyította, hogy minden páros tökéletes számnak az Euklidész által jelzett alakja van. $\ 2^{{p-1}}(2^{p}-1)$ $\ 2^{p}-1$

Az ókorban csak az első négy tökéletes számot (amelyek p = 2, 3, 5 és 7-nek felelnek meg) ismerték, ezeket Gerázi Nikomakhosz aritmetikája tartalmazza .

Az ötödik tökéletes számot , a 33 550 336 -ot, amely p = 13-nak felel meg, 1536 -ban Hudalrich Perius ( lat. Hudalrichus Regius ) holland matematikus találta meg az " Utriusque Arithmetices " (1536) című értekezésében [3] . Később ezt a számot a Regiomontanus 1461 -es kiadatlan kéziratában is felfedezték a történészek [4] .

1603-ban Cataldi olasz matematikus felfedezte és publikálta a hatodik és hetedik tökéletes számot: 8589869056 és 137438691328 . Ezek p = 17 és p = 19 értéknek felelnek meg .

A 20. század elején három tökéletesebb számot találtak ( p = 89, 107 és 127 esetén). Ezt követően a keresés lelassult egészen a 20. század közepéig, amikor is a számítógépek megjelenésével az emberi képességeket meghaladó számítások is lehetővé váltak.

2019-re 51 tökéletes szám ismert, amelyek Mersenne -prímekből származnak , amelyeket a GIMPS elosztott számítási projekt keres .

Páratlan tökéletes számok

Páratlan tökéletes számokat még nem fedeztek fel, de azt sem bizonyították, hogy nem léteznek. Az sem ismert, hogy a páratlan tökéletes számok halmaza véges-e, ha léteznek.

Bebizonyosodott, hogy egy páratlan tökéletes szám, ha létezik, nagyobb 10 1500 -nál ; míg egy ilyen szám prímosztóinak száma a multiplicitást is figyelembe véve nem kevesebb, mint 101 [5] . Az OddPerfect.org elosztott számítástechnikai projekt a páratlan tökéletes számok keresésével foglalkozik .

Tulajdonságok

Minden páros tökéletes szám (a 6 kivételével) egymást követő páratlan természetes számok kockáinak összege

1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots +(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)

Minden páros tökéletes szám háromszög és egyben hatszögletű szám , vagyis úgy ábrázolható, mint valamely természetes szám esetében . $n({2n-1})$ $n$
Egy tökéletes szám osztóinak összes reciprojának összege (beleértve magát a számot is) 2. Ez egyenes következménye a definíciónak, és annak a ténynek, hogy az osztók összege magával a számmal osztva megadja a szám reciprokainak összegét. osztók.
Minden tökéletes szám ércszám .
A 6 és 496 kivételével minden páros tökéletes szám 16, 28, 36, 56 vagy 76 decimális jelöléssel végződik.
A bináris jelölésben minden páros tökéletes szám először egyeseket , majd nullákat tartalmaz (az általános ábrázolásuk következménye). $p$ $p-1$
Ha összeadja egy páros tökéletes szám összes számjegyét (a 6 kivételével), majd összeadja a kapott szám összes számjegyét, és ismételje meg addig, amíg egy egyjegyű számot nem kap [6] , akkor ez a szám egyenlő lesz 1-gyel (2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 \u003d 19, 1 + 9 \u003d 10 ...) Egyenértékű megfogalmazás: a 6-tól eltérő páros tökéletes szám 9-cel való osztásának maradéka 1.

A vallásban

A 6-os és 28-as számok különleges ("tökéletes") természetét felismerték az Ábrahám-vallásokban gyökerező kultúrákban , akik azt állítják, hogy Isten 6 nap alatt teremtette a világot, és akik észrevették, hogy a Hold körülbelül 28 nap alatt kerüli meg a Földet . .

James A. Eshelman The Hebrew Hierarchical Names of Briah [7] című művében azt írja, hogy a gematria szerint :

Ugyanilyen fontos a 496-os számmal kifejezett gondolat. Ez a 31-es szám "teozófiai kiterjesztése" (vagyis az összes 1-től 31-ig terjedő egész szám összege). Többek között ez a Malchut (királyság) szó összege. Így a Királyság, Isten elsődleges gondolatának teljes megnyilvánulása, a gematria-ban a 31-es szám természetes kiegészítéseként vagy megnyilvánulásaként jelenik meg, amely a 78-as név száma.

" Leviathan " (szó szerint "vonagló") - a sötétség négy hercegének egyike, kígyó formájában megtestesülve. Ezért a Leviatán megtartása azt jelenti, hogy irányítjuk Nefesh Sephirah Yesodhoz kapcsolódó energiáit . Másodszor, a „görbülő kígyó” jelentheti a „tekervényes kígyót”, azaz a Kundalini -t is . Harmadszor, a „Leviatán” szó gematriája 496, valamint a „Malchut” (Királyság) szó; Az az elképzelés, hogy Yesod arkangyal visszafogja Malchut természetét, gazdag elgondolkodtatót ad. Negyedszer, a 496-os szám 1-től 31-ig tartó számok összege, vagyis az "El" név teljes kiterjesztése vagy megnyilvánulása, a három legmagasabb szefirot Briahban (beleértve a Kether szefirát is , akinek angyala ) az Yehoel).

Az Isten városában Szent Ágoston ezt írta :

A 6-os szám önmagában tökéletes, és nem azért, mert az Úr mindent 6 nap alatt teremtett; ellenkezőleg, Isten mindent 6 nap alatt teremtett, mert ez a szám tökéletes. És akkor is tökéletes maradna, ha 6 nap alatt nem lenne alkotás.

Változatok és általánosítások

Az ókori matematikusok a természetes számok három típusát különböztették meg saját osztóik összegétől függően :

redundáns számok , amelyeknél a saját osztóik összege nagyobb, mint maga a szám;
elégtelen számok , amelyeknél a saját osztóik összege kisebb, mint maga a szám;
tökéletes számok, amelyeknél a saját osztóik összege egyenlő magával a számmal.

A modern kutatások kimutatták, hogy az alulszámok a leggyakoribbak, körülbelül 75%. A többletszám valamivel kevesebb, mint 25%. A tökéletes számok aránya az 1-től az intervallumban növekedéssel nullára hajlik [9] . $N$ $N$

Azt a természetes számot, amelynek minden osztójának összege magának a számnak a többszöröse, multiperfektnek [10] nevezzük .

Lásd még

baráti számok
Mágikus számok (fizika)
nyitott matematikai feladatok
féltökéletes számok
Kissé redundáns számok (kvázi tökéletes számok)
Kissé elégtelen számok
Szuper tökéletes számok

Jegyzetek

↑ Uspensky, V. A. Előszó a matematikához [cikkgyűjtemény]. - Szentpétervár. : Amphora Kereskedelmi és Kiadó LLC, 2015. - P. 87. - 474 p. — (Népszerű tudomány, 12. sz.). - ISBN 978-5-367-03606-0 .
↑ A tökéletes számok tökéletes szépsége és tökéletes haszontalansága . Letöltve: 2010. április 19. Az eredetiből archiválva : 2010. október 31.. (határozatlan)
↑ Popov, I. N. Tökéletes és barátságos számok: Tanulmányi útmutató . - Arhangelszk: Pomor állam. egyetemi. M. V. Lomonoszov, 2005. - 153 p. - ISBN 5-88086-514-2 . Archiválva 2021. november 25-én a Wayback Machine -nél
↑ 12 Tökéletes számok . Letöltve: 2021. szeptember 21. Az eredetiből archiválva : 2021. október 5.. (határozatlan)
↑ Ochem, Pascal; Rao, Michail. A páratlan tökéletes számok nagyobbak, mint 10 1500 // Számítási matematika : folyóirat. - 2012. - Kt. 81 , sz. 279 . - P. 1869-1877 . — ISSN 0025-5718 . - doi : 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . Archiválva az eredetiből 2016. január 15-én.
↑ Lásd: Számmisztika#Számok számjegyekre redukálása
↑ Számok . Letöltve: 2011. szeptember 10. Az eredetiből archiválva : 2015. április 16.. (határozatlan)
↑ Simon Singh . Fermat utolsó tétele. Val vel. 9 (nem elérhető link) .
↑ Stewart, Ian . Stewart professzor hihetetlen számai = Stewart professzor hihetetlen számai. - M . : Alpina non-fiction, 2016. - S. 103-104. — 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ A Tökéletes számok szorzása oldal . Letöltve: 2022. február 10. Az eredetiből archiválva : 2020. február 19. (határozatlan)

Linkek

Depman I. Tökéletes számok // Kvant . - 1991. - 5. sz . - S. 13-17 .
Jevgenyij Epifanov. Tökéletes számok . Elemek. (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 7683309-4