Baráti számok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

A baráti számok két különböző természetes számok , amelyeknél az első szám összes saját osztójának összege megegyezik a második számmal, és fordítva, a második szám összes helyes osztójának összege egyenlő az első számmal. Vagyis egy természetes számpárt barátságosnak nevezünk, ha: $M, N$

m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{k}=N,

n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{l}=M,

hol vannak a szám osztói, ott vannak a szám osztói . ${\displaystyle m_{1},m_{2},...m_{k))$ $M$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},...n_{l))$ $N$

A számelmélet szempontjából ezek a párok nem nagy jelentőséggel bírnak , de érdekes elemei a szórakoztató matematikának .

Néha a tökéletes számokat a baráti számok speciális esetének tekintik : minden tökéletes szám barátságos önmagához.

Ha az összes osztót figyelembe vesszük, a következőt kapjuk: vagy a baráti számok egy másik, ezzel egyenértékű definícióját. Két számot baráti párnak nevezünk, ha az osztóik összege megegyezik, ami egyenlő e számok összegével. $\sigma (M)-M=N$ $\sigma (M)=M+N=\sigma (N)$

Hasonlóképpen, három szám baráti hármast alkot, ha az összes osztó összege megegyezik, ami egyenlő e számok összegével. . $\sigma (M)=\sigma (N)=\sigma (K)=M+N+K$

Történelem

A baráti számokat Pythagoras követői fedezték fel ; azonban csak egy baráti számpárt sikerült találniuk - 220 és 284.

A 220 osztóinak listája: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 és 110 - ezek összege 284.
A 284 osztóinak listája: 1, 2, 4, 71 és 142 - és az összeg 220.

850 körül Thabit ibn Qurra arab csillagász és matematikus egy képletet javasolt néhány baráti számpár megtalálására. Képlete lehetővé tette két új baráti számpár megtalálását:

17296 és 18416 ;
9 363 584 és 9 437 056 .

A 18. században Euler elegendő kritériumot talált a baráti számpárok megalkotására, és már 90 pár szerepelt a listáján. Igaz, ez a kritérium nem vonatkozik minden párra: például Euler nem vette észre a párost (1184, 1210) - már a 19. században felfedezték. A 20. században a számítógépek segítettek több tízmillió pár megtalálásában. De még mindig nincs hatékony általános módszer az összes ilyen pár megtalálására.

Első párok

A baráti számpárok az A063990 sorozatot alkotják az OEIS -ben , a baráti párjukban kisebb számokat pedig az A002025 sorozatban gyűjtjük össze , a nagyobbakat pedig az A002046 . Az egyes párok számainak összege az A180164 sorozatot alkotja . Figyelemre méltó, hogy minden ilyen összeg, a páros, legfeljebb (összeg és ) tagok oszthatók -vel . A -vel nem osztható összegek az A291550 -ben vannak . $1362660800=2^{6}\cdot 5^{2}\cdot 31\cdot 83\cdot 331$ $666030256$ $696630544$ $9$ $9$

220 és 284 ( Püthagorasz , Kr.e. 500 körül)
1184 és 1210 (Paganini, 1866 )
2620 és 2924 ( Euler , 1747 )
5020 és 5564 ( Euler , 1747 )
6232 és 6368 ( Euler , 1750 )
10 744 és 10 856 ( Euler 1747 )
12 285 és 14 595 (Barna, 1939 )
17296 és 18416 ( Ibn al-Banna , 1300 körül ; Farisi , 1300 körül ; Ferma , 1636 )
63 020 és 76 084 ( Euler , 1747 )
66928 és 66992 ( Euler 1750 )
67 095 és 71 145 ( Euler , 1747 )
69 615 és 87 633 ( Euler , 1747 )
79 750 és 88 730 (Rolf, 1964 )
100 485 és 124 155
122 265 és 139 815
122 368 és 123 152
141 664 és 153 176
142 310 és 168 730
171 856 és 176 336
176 272 és 180 848
185 368 és 203 432
196 724 és 202 444
280 540 és 365 084
308 620 és 389 924
319 550 és 430 402
356 408 és 399 592
437 456 és 455 344
469 028 és 486 178
503 056 és 514 736
522 405 és 525 915
600 392 és 669 688
609 928 és 686 072
624 184 és 691 256
635 624 és 712 216
643 336 és 652 664
667 964 és 783 556
726 104 és 796 696
802 725 és 863 835
879 712 és 901 424
898 216 és 980 984
947 835 és 1 125 765
998 104 és 1 043 096
stb.

Építési módok

Thabit ibn Qurra képlete

Ha egy természetes szám esetében mindhárom szám: $n>1$

p=3\szer 2^{{n-1}}-1

q=3\szer 2^{n}-1

r=9\szer 2^{{2n-1}}-1

prímszámok , akkor a számok és alkotnak egy baráti számpárt. $2^{n}pq$ $2^{n}r$

Ez a képlet rendre megadja a (220, 284), ( 17296 , 18416 ) és ( 9363584 , 9437056 ) párokat, de nincs más baráti számpár, amely ebből a képletből származhatna . $n=2,\;4,\;7$ $n<20~000,$

Euler-képlet

Euler kiterjesztette a Thabit ibn Qurra képletét. Ha mindhárom szám természetes: $n>m$

p=(2^{nm}+1)\times 2^{m}-1

q=(2^{nm}+1)\times 2^{n}-1

r=(2^{nm}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1

prímszámok , akkor a számok és alkotnak egy baráti számpárt. A Thabit ibn Qurra képletét az Euler-képletből kapjuk helyettesítéssel . Az Euler-képlet mindössze 2 párral bővült a baráti számok listáján: $2^{n}pq$ $2^{n}r$ $m=n-1$ ${\megjelenítési stílus (m,n)=(1,8),(29,40).}$

Walter Bohr módszere

Ha az és alakú és számok baráti számpárjai prímszámúak és nem oszthatók -vel , akkor minden természetes számra , amelyre a szám és a szám is prím, a és a számok barátiak. $A=au$ $B=as$ $s$ $p=u+s+1$ $a$ $p$ $n$ $q_{1}=(u+1)p^{{n+1}}-1$ $q_{2}=(u+1)(s+1)p^{n}-1$ $B_{1}=Ap^{n}q_{1}$ $B_{2}=ap^{n}q_{2}$

Nyitott kérdések

Nem tudni, hogy a baráti számpárok száma véges vagy végtelen. 2016 áprilisáig több mint 1 000 000 000 pár baráti szám ismert [1] . Mindegyik azonos paritású számokból áll.

Nem ismert, hogy létezik-e páros-páratlan baráti számpár.

Azt sem tudni, hogy léteznek-e koprím -barát számok, de ha létezik ilyen baráti számpár, akkor a szorzatuk nagyobb kell legyen, mint 10 67 .

Érdekes tények

Az 1184-es és 1210-es baráti számpárt 1866-ban fedezte fel egy olasz iskolás – Niccolo Paganini – a híres virtuóz és zeneszerző teljes névadója . Érdekes, hogy ezt a párost más nagy matematikusok nem fedezték fel.

Először az ismert , n számjegyű baráti számok száma túlnyomórészt növekszik, és n = 111 -nél éri el a maximumot ( 19 790 790 pár 111 tizedesjegyű baráti szám ismert), de aztán túlnyomórészt csökken, és n = 917 -nél nullát ér el (nincs ismert 917 jegyű baráti számpárok). számok). Itt egy pár számjegyeinek száma a pár kisebb számjegyeinek száma.

A BOINC projekt

2017. január 30-án elindult egy elosztott számítástechnikai projekt a BOINC platformon - Amicable Numbers [2] . A barátságos számok keresése a processzoron és a videokártyán végzett számítások segítségével történik .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Sergei Chernykh Amicable Pairs lista archiválva : 2017. augusztus 16. a Wayback Machine -nél
↑ Nyilvános bemutató 2017. január 30

Linkek

M. García, JM Pedersen, HJJ és Riele. Barátságos párok, felmérés (neopr.) // MAS-R0307 jelentés. - 2003. Archiválva : 2006. november 29. Archiválva : 2006. november 29. a Wayback Machine -nél
Weisstein, Eric W. Amicable Pair (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Euler's Rule (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Az Amicable Numbers egy BOINC projekt, amellyel barátságos számokat találhat.

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám