Normál szám

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A reguláris számok olyan számok, amelyek egyenlően osztják a 60 hatványait (vagy ennek megfelelően a 30 hatványait ). Például 60 2 = 3600 = 48 × 75, tehát a 48 és a 75 is osztói a 60 hatványának. Így ezek közönséges számok . Ezzel egyenértékűen olyan számokról van szó, amelyeknek egyetlen prímosztója a 2, 3 és 5.

A 60-as hatványra egyenletesen osztódó számok a matematika és alkalmazásai számos területén előfordulnak, és ezekről a különböző tudományterületekről eltérő elnevezéseket kapnak.

• A számelméletben ezeket a számokat 5-sima számoknak nevezik , mert úgy jellemezhetők, hogy csak 2, 3 vagy 5 van prímtényezőként . Ez egy speciális esete az általánosabb k - a sima számnak , azaz olyan számok halmazának, amelyeknek nincs k -nál nagyobb prímtényezője .
• A babiloni matematika tanulmányozásában a 60 hatványainak osztóit közönséges számoknak vagy közönséges hathatós számoknak nevezik , és nagy jelentőséggel bírnak a babilóniaiak által használt hathatós számrendszer miatt.
• A zeneelméletben a szabályos számok hangmagasság-arányban fordulnak elő az ötlépéses természetes hangolás során .
• Az informatikában a szabályos számokat gyakran Hamming-számoknak nevezik, Richard Hamming után , aki felvetette a számítógépes algoritmusok megtalálásának problémáját a számok növekvő sorrendben történő generálására.

Számelmélet

Formálisan egy reguláris szám egy 2 i ·3 j ·5 k alakú egész szám i , j és k nemnegatív egészek esetén . Ez a szám osztó . A reguláris számokat 5-nek is nevezik - sima , ami azt jelzi, hogy legnagyobb prímtényezőjük legfeljebb 5.

Az első néhány szokásos szám

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ... ( A051037 sorozat az OEIS -ben ).

Az OEIS néhány más szekvenciájának definíciói 5-sima számokat tartalmaznak [2] .

Bár a szabályos számok sűrűnek tűnnek az 1 és 60 közötti tartományban, a nagy egész számok között meglehetősen ritkák. Egy n = 2 i 3 j 5 k szabályos szám akkor és csak akkor kisebb vagy egyenlő N -nél , ha az ( i , j , k ) pont egy tetraéderhez tartozik , amelyet a koordinátasíkok és a sík határolnak.

amint azt a 2 i ·3 j ·5 k ≤ N egyenlőtlenség mindkét oldalának logaritmusának felvételével láthatjuk . Ezért az N -t meg nem haladó szabályos számok száma ennek a tetraédernek a térfogataként becsülhető , amely egyenlő

Még pontosabban, az "O" jelölés használata nagy , a szabályos számok száma N - ig

és azt feltételezték, hogy ennek a közelítésnek a hibája valójában [3] . Hasonló képletet ad az N -ig terjedő 3 sima számok számára Srinivasa Ramanujan Godfrey Harold Hardynak írt első levelében [4] .

Babilóniai matematika

A babiloni hatszázalékos jelölésben egy szabályos szám reciproka véges ábrázolással rendelkezik, így könnyen osztható. Különösen, ha n osztja 60 k -t , akkor az 1/ n hatszázalékos reprezentációja 60 k / n , eltolva bizonyos számú hellyel.

Tegyük fel például, hogy osztani akarunk az 54 = 2 1 3 3 közös számmal . Az 54 osztója 603-nak , és 603/54 = 4000, tehát az 54-gyel hatszázalékos osztás történhet 4000-zel való szorzással és három számjegy eltolásával. Hatszázalékos 4000 = 1x3600 + 6x60 + 40x1, vagy (Joyce szerint) 1:6:40. Tehát a hatszázalékos 1/54 1/60 + 6/60 2 + 40/60 3 , amelyet szintén 1:6:40-nek jelölnek, ahogy a babiloni konvenciók tették. a kezdő számjegy mértékének megadása nélkül. Ezzel szemben 1/4000 = 54/60 3 , tehát az 1:6:40 = 4000-gyel való osztás elvégezhető 54-gyel való szorzással és három hatszázalékos számjegy eltolásával.

A babilóniaiak reciprok szabályos számokat tartalmazó táblázatokat használtak, amelyek közül néhány a mai napig fennmaradt (Sachs, 1947). Ezek a táblázatok viszonylag változatlan formában léteztek a babiloni időkben [5] .

Bár a közönséges számok másokkal szembeni előnyben részesítésének fő oka a reciprok végessége, egyes babiloni számítások a reciprokákon kívül szabályos számokat is tartalmaztak. Például szabályos négyzettáblázatokat találtak [5] , és a Plimpton 322 -es tábla törött ékírását Otto E. Neugebauer úgy értelmezte , mint a 60-nál kisebb p , q reguláris számok által generált Pitagorasz-hármasok felsorolását. [6] .

Zeneelmélet

A zeneelméletben a diatonikus skála természetes hangolása közönséges számokat foglal magában: ennek a skála egy oktávjának hangmagasságai arányosak a 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 szinte egymást követő reguláris sorozat számjaival. számok. Így egy ilyen hangolású hangszernél minden hangmagasság azonos alapfrekvenciájú szabályos harmonikus . Ezt a skálát 5 határértékes hangolásnak nevezik, ami azt jelenti, hogy bármely két hang közötti intervallum leírható a prímek 2 i 3 j 5 k hatványának szorzataként 5-ig, vagy ezzel egyenértékűen a szabályos hangok arányaként. számok.

A nyugati zene megszokott diatonikus skálájától eltérő 5-határos zenei skálákat is használtak mind a hagyományos zenében más kultúrákból, mind a modern kísérleti zenében: Honingh és Bod (2005 ) 31 különböző 5-határos skálát sorol fel egy nagy adatbázisból. zenei skálák. A 31 skála mindegyike a diatonikus intonációval megosztja azt a tulajdonságot, hogy minden hangköz szabályos számok aránya. Az Euler Tonal Grid kényelmes grafikus megjelenítést biztosít a hangmagasságról bármilyen 5-határos hangolás esetén az oktávarányok (kettő hatványai) kinyerésével, így a fennmaradó értékek síkhálót alkotnak [ . Egyes zeneteoretikusok általánosabban kijelentették, hogy a szabályos számok alapvetőek magának a tonális zenének, és hogy az 5-nél nagyobb prímszámokon alapuló hangmagasság-arányok nem lehetnek mássalhangzók [7] . A modern zongorák egyforma temperamentuma azonban nem 5-határos hangolás, és néhány modern zeneszerző kísérletezett 5-nél nagyobb prímszámokon alapuló hangolásokkal.

A közönséges számok zeneelméleti alkalmazása kapcsán érdekes, hogy olyan szabályos számpárokat találjunk, amelyek eggyel különböznek egymástól. Pontosan tíz ilyen pár van ( x , x + 1) [8] és mindegyik ilyen pár meghatároz egy szuperrészecske relációt ( x + 1)/ x , aminek zenei intervallumként van értelme. Ez 2/1 ( oktáv ), 3/2 ( tökéletes kvint ), 4/3 ( tökéletes negyed ), 5/4 ( dúr terc ), 6/5 ( moll terc ), 9/8 ( dúr szekund ), 10/9 ( moll szekund), 16/15 ( diatonikus félhang ), 25/24 ( kromatikus félhang ) és 81/80 (szintonikus vessző ).

Algoritmusok

Edsger Dijkstra népszerűsítette a szabályos számok növekvő sorrendben történő kiszámítására szolgáló algoritmusokat . Dijkstra [9] [10] kreditálja Hammingnek az összes 5 sima számból álló végtelen növekvő sorozat felépítésének problémáját; ezt a problémát ma Hamming-problémaként ismerik , és az így kapott számokat Hamming-számoknak is nevezik . Dijkstra ötletei ezeknek a számoknak a kiszámításához a következők:

• A Hamming-számok sorozata 1-gyel kezdődik.
• A sorozat többi értéke 2 h , 3 h és 5 h , ahol h bármely Hamming szám.
• Ezért a H sorozat előállítható úgy, hogy kiadjuk az 1 értéket, majd összevonjuk a 2 H , 3 H és 5 H sorozatokat .

Ezt az algoritmust gyakran használják egy lusta funkcionális programozási nyelv erejének bemutatására , mivel (implicit módon) párhuzamos hatékony megvalósítások, amelyek generált értékenként állandó számú aritmetikai műveletet használnak, könnyen megszerkeszthetők a fent leírtak szerint. Ugyanilyen hatékony szigorú funkcionális vagy imperatív szekvenciális megvalósítások is lehetségesek, míg az explicit módon párhuzamos generatív megoldások nem triviálisak lehetnek [11] .

A Python programozási nyelvben a rendszeres számok generálására szolgáló lusta funkcionális kódot használják a nyelvi megvalósítás helyességének egyik beépített tesztjeként [12] .

Egy kapcsolódó probléma, amelyet Knuth (1972 ) tárgyal, az összes k számjegyű hexadecimális szám növekvő sorrendben való felsorolása, ahogy azt a szeleukida korszak írnoka , Inakibit-Anu tette az AO6456 táblán ( k = 6 esetén) . Algoritmikus értelemben ez egyenértékű a 60 k és 60 k + 1 tartományba eső közönséges számok végtelen sorozatának (sorrendben) egy részsorozatának generálásával . Lásd Gingerich (1965 ) annak a számítógépes kódnak a korai leírását, amely ezeket a számokat rendellenesen generálja, majd rendezi; Knuth leír egy speciális algoritmust, amelyet Bruinsnak (1970 ) tulajdonít, a hatjegyű számok gyorsabb generálására, de nem általánosít közvetlenül nagy k értékre . Eppstein (2007 ) egy algoritmust ír le az ilyen típusú táblák lineáris időben történő kiszámítására tetszőleges k értékére .

Egyéb alkalmazások

Heninger, Rains és Sloane (2006 ) azt mutatják, hogy ha n egy 8-cal osztható szabályos szám, akkor egy n - dimenziós extremális páros unimoduláris rács generáló függvénye egy polinom n- edik hatványa.

A sima számok más osztályaihoz hasonlóan a szabályos számok fontosak problémaméretként a gyors Fourier-transzformáció végrehajtására szolgáló számítógépes programokban, amely az időben változó adatok domináns jelfrekvenciáinak elemzésére szolgáló technika . Például Temperton (1992 ) módszere megköveteli, hogy a transzformáció hossza közönséges szám legyen.

Platón Az Államok című művének 8. könyve a házasság allegóriáját tartalmazza, amely a nagyon szabályos 60 4 = 12 960 000 számon és osztóin alapul. A későbbi tudósok mind a babiloni matematikát, mind a zeneelméletet felhasználták, hogy megmagyarázzák ezt a részt [13] . (Lásd Platón számát .)

Jegyzetek

1. ↑ Erkki Kurenniemi hasonló diagramjai ihlette a következőben: „ Akordok , skálák és osztórácsok” Archiválva : 2021. február 10. a Wayback Machine -nél .
2. ↑ OEIS szekvenciák keresése 5 simasággal Archiválva : 2021. április 10. a Wayback Machine -nél .
3. ↑ Neil Sloan . Integer Sequences On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Letöltve: 2021. április 10. Az eredetiből archiválva : 2021. május 6.. (határozatlan)
4. ↑ Berndt, Bruce K. & Rankin, Robert Alexander, szerk. (1995), Ramanujan: Letters and Commentaries , vol. 9, History of Mathematics, American Mathematical Society, p. 23, ISBN 978-0-8218-0470-4  .
5. ↑ 12 Aaboe (1965 ).
6. ↑ Lásd Conway & Guy (1996 ) ennek az értelmezésnek a népszerű kezelését. A Plimpton 322 -nek más értelmezései is vannak, amelyekről lásd a cikkét, de mindegyik tartalmaz szabályos számokat.
7. ↑ Asmussen (2001 ) például azt állítja, hogy "bármely tonális zeneműben" minden hangköznek szabályos számaránynak kell lennie, megismételve a sokkal korábbi szerzők, például Habens (1889 ) hasonló állításait. A kortárs zeneelméleti irodalomban ezt az állítást gyakran Longuet-Higginsnek (1962 ) tulajdonítják, aki egy tonális hálózathoz közeli grafikai tervezést alkalmazott az 5-korlátos hangmagasságok megszervezéséhez.
8. ↑ Halsey és Hewitt (1972 ) megjegyezte, hogy ez Størmer tételéből következik ( Størmer 1897 ), és bizonyítékot szolgáltatott ebben az esetben; lásd még Silver (1971 ).
9. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1976), 17. RW Hammingnak tulajdonított gyakorlat , A programozási diszciplína , Prentice-Hall, p. 129–134 , ISBN 978-0132158718 , < https://archive.org/details/disciplineofprog0000dijk/page/129 > 
10. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1981), Hamming Exercise in SASL , EWD792 jelentés. Eredetileg magánjellegű kézírásos jegyzetként terjesztették. , < http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF > Archiválva : 2019. április 4. a Wayback Machine -nél 
11. ↑ Lásd például Hemmendinger (1988 ) vagy Yuen (1992 ).
12. ↑ Az m235 függvény a test_generators.py webhelyen Archiválva : 2007. szeptember 29. a Wayback Machine -nél .
13. ↑ Barton (1908 ); McClain (1974 ).

Linkek

• Aaboe, Asger (1965), Some Seleucid Mathematical Tables (Extended Reciprocals and Squares of Regular Numbers) , Journal of Cuneiform Studies (American Schools of Oriental Studies). – T. 19 (3): 79–86 , DOI 10.2307/1359089  .
• Asmussen, Robert (2001), A szinuszos frekvenciák periodicitása mint a barokk és a klasszikus harmónia elemzésének alapja: Számítógépes tanulmány , Ph.D. tézis, University of Leeds , < http://www.terraworld.net/c-jasmussen/thesis_asmussen.pdf > Archivált : 2016. április 24. a Wayback Machine -nél . 
• Barton, George A. (1908), On the Babylonian Origin of Platon's Marriage Number , Journal of the American Oriental Society . — T. 29: 210–219 , DOI 10.2307/592627  .
• Bruins, EM (1970), AO 6456 reciprokának nagy táblázatának építése, Finet, André, Proceedings of the XVII International Assyriological Meeting , Belga Kutatási Bizottság Mezopotámiában, p. 99–115  .
• Conway, John H. & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers , Kopernikusz, 1. o. 172–176 , ISBN 0-387-97993-X , < https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/172 >  .
• Dijkstra, Edsger W. (1976), 17. R. W. Hammingnak tulajdonított gyakorlat. , A programozás tudománya , Prentice-Hall, p. 129–134 , ISBN 978-0132158718 , < https://archive.org/details/disciplineofprog0000dijk/page/129 > 
• Dijkstra, Edsger W. (1981), Hamming Exercise in SASL , EWD792 jelentés. Eredetileg magánkézben terjesztett kézírásos feljegyzés , < http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF >  .
• Eppstein, David (2007), Range-restricted Hamming problem , < https://11011110.github.io/blog/2007/03/18/range-restricted-hamming-problem.html >  .
• Gingerich, Owen (1965), Tizenegy számjegyű közönséges hatszázalékos számok és azok reciprokjai , Transactions of the American Philosophical Society (American Philosophical Society). – T. 55 (8): 3–38 , DOI 10.2307/1006080  .
• Habens, Rev. WJ (1889), On the Musical Scale , Proceedings of the Musical Society (Royal Association of Music). — 16. kötet: 16. ülés, 1. o. , < https://zenodo.org/record/2404277/files/article.pdf >  .
• Halsey, GD és Hewitt, Edwin (1972), További információk a szuperrészecske-viszonyokról a zenében , American Mathematical Monthly (Amerikai Matematikai Szövetség). – T. 79 (10): 1096–1100 , DOI 10.2307/2317424  .
• Hemmennger, David (1988), "Hamming's Problem" in Prolog , ACM SIGPLAN Notices , 23 (4): 81–86 , DOI 10.1145/44326.44335  .
• Heninger, Nadia ; Rains, EM & Sloane, NJA (2006), On the integer nth roots of generating functions , Journal of Combinatorial Theory , Series A vol. 113 (8): 1732–1745 , doi 10.1016/j.jcta.2006.03  .
• Honingh, Aline & Bod, Rens (2005), Zenei tárgyak kidomborodása és szabályos alakja , Journal of New Music Research 34. kötet (3): 293–303 , doi 10.1080/09298210500280612  .
• Knuth, D.E. (1972), Ancient Babylonian algorithms , Communications of the ACM 15. kötet (7): 671–677 , DOI 10.1145/361454.361514  . Errata in CACM 19 (2), 1976. Újranyomva egy rövid kiegészítéssel a Selected Papers in Computer Science -hez, CSLI Lecture Notes 59, Cambridge University Press, 1996, 185–203.
• Longuet-Higgins, H.C. (1962), Levél egy zenebarátnak, Music Review (No. August): 244–248  .
• McClain, Ernest G. (1974), "Házasságok" című musical Platón "Köztársaságában". , Journal of Music Theory ( Duke University Press ). - T. 18 (2): 242-272 , DOI 10.2307/843638  .
• Sachs, AJ (1947), Babylonian Mathematical Texts. I. Szabályos hatszázalékos számok inverzei. , Journal of Cuneiform Studies (American Schools of Oriental Studies). - Vol. 1 (3): 219–240 , DOI 10.2307/1359434  .
• Silver, A. L. Leigh (1971), The Music or Violin of a Nun , American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). - T. 78 (4): 351-357 , DOI 10.2307/2316896  .
• Størmer, Carl (1897), Néhány tétel az x 2 - Dy 2 = ±1 Pell-egyenletről és alkalmazásaik, Written Scientific Society (Christiania), Mat.-Naturv. Kl. T. I (2)  .
• Temperton, Clive (1992), Általánosított FFT - algoritmus prímtényezőkkel bármely N = 2 p 3 q 5 r esetén, SIAM Journal of Scientific and Statistical Computing 13. kötet (3): 676–686 , DOI 10.1137/0913039  .
• Yuen, CK (1992), Hamming-számok, lusta értékelés és lelkes ártalmatlanítás , ACM SIGPLAN Notices Vol. 27 (8): 71–75 , DOI 10.1145/142137.142151  .

Külső linkek

• Reciprok táblázat 3600 főig állandó látogatók számára David E. Joyce professzor, Clark Egyetem webhelyéről.
• RosettaCode Hamming számgenerálás ~50 programozási nyelven.

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám

Természetes számok osztályai
Hatványok és kapcsolódó számok	Akhilleusz 2. fokozat 10 fok 12 fok négyzetek Kuba negyedik fokozat Ötödik fokozat Tökéletes diploma Teljes többszörös Prímszám hatványa
A × 2 b ± 1 alakú számok	Cullen Dupla Mersenne-számok Farm számok Mersenne Catalana – Mersenne Prota Sabita Woodala
Egyéb polinomszámok _	Carola Gilbert Megfelelő számok Kenya Leyland Szerencsés Euler-számok Újra egyesül
Rekurzívan meghatározott számok	fibonacci Jacobsthal Leonardo Luca Padovan sorozat Pella Perrina
Meghatározott tulajdonságokkal rendelkező számkészletek	Knodel Riesel Sierpinsky
Összegekben kifejezve	Nem hipotenúza Gyakorlati A fő félig egyszerű Ulama Wolsenholm
Szitával nyertük _	szerencseszámok
Kapcsolódó kódok _	Mirtens
göndör számok	2-dimenziós középre _ háromszög alakú négyzet ötszögű hatszögletű hétszögletű nyolcszögű nem szögletes tízszögű csillagkép off- center háromszög alakú négyzet négyzet háromszög alakú hatszögletű nyolcszögű 3 dimenziós középre _ tetraéderes kocka alakú oktaéderes dodekaéder ikozaéder off- center tetraéderes oktaéderes dodekaéder ikozaéder Csillag-oktaéder piramis _ négyzet ötszögű hatszögletű hétszögletű 4 dimenziós középre _ pentachorikus háromszög alakú négyzetben off- center pentatop
Ál-egyszerű	Carmichael Catalana elliptikus Euler Euler-Jacobi Tanya Frobenius Luca Somera - Luca erős álegyszerű
kombinatív számok	Csengő számok tortaszámok Catalana Dedekind Delanoya Euler Fussa – Katalán középső sokszögű Lobba Motzkin számok Narayana Bell rendelések száma Schroeder számok Schröder – Hipparkhosz
Aritmetikai függvények	σ( n ) redundáns majdnem tökéletes számtan kolosszálisan felesleges Descartes féltökéletes számok rendkívül redundáns számok nagy komponensű számok hipertökéletes számok multitökéletes számok elkötelezett gyakorlati primitív redundáns kissé redundáns tau számok fenséges számok bőséges számok szuperkompozit számok szupertökéletes számok Ω( n ) szinte egyszerű félig egyszerű φ( n ) erősen kovalens nagy érzékenységű tökéletes beteg kissé türelmes s( n ) barátságos foglalt elégtelen félig tökéletes Eukleidész szerencseszámok
Osztók szerint	Viferiha Fibonacci – Viferiha Wolstenholm Wilson
Egyéb prímosztók vagy az oszthatósággal kapcsolatosak	Virágzás Erdős - Woods koprime barátságos szerény Jugi Ércszámok Luca - Carmichael négyszögletes szabályos k-durva sima kedélyes szfenikus Sturmer Super Poole számok Zeisel
Szórakoztató matematika	Számrendszerek _ automorf szám ciklikus Ozirisz Dudeni egyenlő számjegyek extravagáns Factorion Friedman elégedett Nivena Kita Lichrel hiányzó számjegyű összeg Armstrong palindromikus pandigitális parazita káros mágikus primitív repdigits újraegyesül saját generált önleíró Smarandsha – Wellena szigorúan nem palindromikus váltókarok elmozdulás trimorf hullámos vámpírok Aronson sorozat palacsintaszámok