Kocka (algebra)

A szám kocka egy szám 3 hatványra emelésének eredménye , azaz három tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő. Ezt az aritmetikai műveletet "kockának" nevezzük, eredményét jelöljük : $x$ $x.$ $x^{3}$

x^{3}=x\cdot x\cdot x

A négyzetesítésnél az inverz művelet a kockagyököt veszi fel . A harmadfokú " kocka " geometriai elnevezése annak köszönhető, hogy az ókori matematikusok a kockák értékeit köbszámoknak , a göndör számok egy speciális fajtájának tekintették (lásd alább), mivel a szám kocka egyenlő. egyenlő élhosszúságú kocka térfogatára . $x$ $x$

A kockák sorrendje

A nem negatív számokból álló kockák sorozata [1] számokkal kezdődik :

0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 42656565656565656556555655565, 4285, 4265656565656565, 4285, 4265656565656565, 42875, 4656, 4656, 4656, 4656565656565, 4285, 4655, 4656, 4656, , 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736. 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Az első pozitív természetes számok kockáinak összegét a következő képlettel számítjuk ki: $n$

\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}=\left ({\frac {n(n+1)}{2}}\jobbra)^{2}

A képlet származtatása

A kockaösszeg képlete a szorzótábla és az aritmetikai sorozat összegének képletével származtatható [2] . Két 5 × 5-ös szorzótáblát tekintve a módszer illusztrációjának, n × n méretű táblázatokat fogunk indokolni.

Szorzótábla és számkockák

×	egy	2	3	négy	5
egy	egy	2	3	négy	5
2	2	négy	6	nyolc	tíz
3	3	6	9	12	tizenöt
négy	négy	nyolc	12	16	húsz
5	5	tíz	tizenöt	húsz	25

Szorzótábla és számtani progresszió

×	egy	2	3	négy	5
egy	egy	2	3	négy	5
2	2	négy	6	nyolc	tíz
3	3	6	9	12	tizenöt
négy	négy	nyolc	12	16	húsz
5	5	tíz	tizenöt	húsz	25

Az első táblázat k-adik (k=1,2,…) kiválasztott területén lévő számok összege:

k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3

És a számok összege a második táblázat k-adik (k=1,2,…) kiválasztott területén, ami egy aritmetikai progresszió:

k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}

Az első táblázat összes kiválasztott területét összegezve ugyanazt a számot kapjuk, mint a második táblázat összes kiválasztott területét összegezve:

\sum_{k=1}^nk^3=\sum_{k=1}^nk\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_ {k=1}^nk=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Néhány tulajdonság

Tizedes jelöléssel a kocka tetszőleges számra végződhet (a négyzettől eltérően )
Tizedes jelöléssel a kocka utolsó két számjegye lehet 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 96 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. A kocka utolsó előtti számjegyének függősége a az utolsó a következő táblázatban ábrázolható:

utolsó számjegy	utolsó előtti számjegy
0	0
5	2, 7
4, 8	még
2, 6	páratlan
1, 3, 7, 9	Bármi

Kocka göndör számként

A " köbszámot " történelmileg egyfajta figuratív térbeli számnak tekintették . Az egymást követő háromszögszámok négyzeteinek különbségeként ábrázolható [3] : $Q_{n}=n^{3}$ $T_{n}$

Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2},n\geqslant 2

Következmény: az első köbszámok összege egyenlő a háromszög szám négyzetével: $n$ $n$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\pontok +Q_{n}=(T_{n})^{2))

A két szomszédos köbös szám különbsége egy középpontos hatszögletű szám .

Következmény: az első középpontú hatszögszámok összege egy köbszám [3] . $n$ $Q_{n}$

A köbszám kifejezése tetraéderben [3] : ${\displaystyle \Pi _{n}^{(3)))$

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, ahol

n > 2.

Az egyik „ Pollock-sejtés ” (1850): minden természetes szám legfeljebb kilenc köbös szám összegeként ábrázolható. Ezt a sejtést (" Waring-probléma ") először Eduard Waring fogalmazta meg 1770-ben, amit Hilbert igazolt 1909-ben. Általában hét kocka elegendő egy adott szám ábrázolásához, de 15 számhoz nyolcra van szükség (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, OEIS8 A9018 sorozat ) , és két számhoz mind a kilencnek szüksége van: 23 és 239 [4] [5] .

Ha az összeadás mellett megengedett a kivonás (vagy ami ugyanaz, a negatív számok kockái is megengedettek ), akkor öt kocka elegendő. Például a fenti 23-as számhoz négy [5] [4] .:

23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{ 3}+1^{3}=8^{3}+8^{3}-10^{3}-1^{3}

Felállítottak egy hipotézist, miszerint bármely egész szám legfeljebb négy kocka összegeként ábrázolható (jelekkel), de ez még nem bizonyított, bár számítógépen tesztelték 10 millióig terjedő számokra.1966-ban , V. Demyanenko bebizonyította, hogy a 9n ± 4 alakú számok kivételével bármely egész szám ábrázolható négy kocka összegeként. A legnagyobb szám, amelyet nem lehet négy kocka összegeként ábrázolni, a 7373170279850 , és okkal feltételezhető, hogy ez a legnagyobb ilyen szám [6] [4] .

A köbszámok generáló függvénye [3] :

f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}};\quad |x|<1

Jegyzetek

↑ OEIS sorozat A000578 = A kockák: a (n) = n^3
↑ Rowe S. Geometriai gyakorlatok egy darab papírral . - 2. kiadás - Odessza: Matezis, 1923. - S. 68-70.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , p. 78-81.
↑ 1 2 3 Stuart, Ian . Stewart professzor hihetetlen számai = Stewart professzor hihetetlen számai. - M . : Alpina non-fiction, 2016. - S. 79-81. — 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 231-232.
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Függelék by. 7373170279850 (angol) // Mathematics of Computation : folyóirat. - 2000. - Vol. 69 , sz. 229 . - P. 421-439 . - doi : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .

Irodalom

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Egy matematika tankönyv lapjai mögött: Számtan. Algebra. Geometria . - M . : Oktatás, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. A matematika története az iskolában . - M . : Nevelés, 1964. - 376 p.
Deza E., Deza M. Göndör számok. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Linkek

göndör számok
Számok kitalálása a MathWorldben

göndör számok

lakás

Klasszikus sokszögű	háromszög alakú Négyzet Ötszögű Hatszögletű Hétszögletű Nyolcszögű Dodecagonal
Középre állított	háromszög alakú Négyzet Ötszögű Hatszögletű Hétszögletű Nyolcszögű Kilencszögű Tízszögű

Piramis alakú	tetraéderes Négyzet alakú piramis
sokrétű	kocka alakú Oktaéder Dodekaéder ikozaéder Csillagozott oktaéder

sokrétű	Pentatopic Bisquare