Köbgyök

A kockagyöke , amelyet 1/3-ként vagy 1/3 - ként jelölünk , annak a száma, amelynek kockája egyenlő -val , vagyis ez az egyenlet megoldása (általában valódi megoldásokat értünk). ${\sqrt[{3}]{a))$ $x,$ $a.$ $x^{3}=a$

Valódi gyökér

A kocka gyökér páratlan függvény . A négyzetgyöktől eltérően a kockagyök negatív számokból is vehető (így valós eredményt kapunk):

{\sqrt[ {3}]{-x}}=-{\sqrt[ {3}]{x}}

Komplex gyökér

Egy nem nulla komplex szám kockagyökének pontosan három értéke van (az n-edik gyökértulajdonság speciális esete): $c$

{\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi } {3}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\dots \quad \varphi =\arg {c}.

Itt egy pozitív szám számtani gyöke ${\sqrt[ {3}]{\left|c\right|}}$ $\left|c\right|.$

Különösen

{\sqrt[ {3}]{1}}={\begin{cases}1\\\cos {{\frac {2\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {2\pi }{ 3}}}-i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2 }}\end{cases}}

{\sqrt[ {3}]{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {{\frac {\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {\pi }{3} }}-i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\end {esetek}}

A kockagyök két összetett értékét a valós értékekből a következő képlettel kapjuk:

{\sqrt[ {3}]{x}}_{{2,3}}={\sqrt[ {3}]{x}}\left(-{\frac {1}{2}}\pm i {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\jobbra).

Ezeket az értékeket ismerni kell a köbös egyenletek Cardano képlet segítségével történő megoldásához .

Tájékoztató forma

Egy komplex szám gyökének főértéke a következőképpen definiálható: $x$

x^{{1/3}}=\exp({\tfrac 13}\ln {x})

Ahol ln a természetes logaritmus fő értéke .

Ha úgy képzelik el $x$

x=r\exp(i\theta )

akkor a köbös képlet:

{\sqrt[ {3}]{x}}={\sqrt[ {3}]{r}}\exp({\tfrac 13}i\theta ).

Ez geometriailag azt jelenti, hogy polárkoordinátákban vesszük a modulusos kockagyököt, és az eredeti argumentum poláris szögét elosztjuk hárommal. Tehát, ha összetett, akkor nem jelöli , hanem lesz ${\sqrt[{3}]{r))$ $x$ ${\sqrt[ {3}]{-8}}$ $-2$ $1+i{\sqrt {3}}.$

Érdekes tények

A kockagyök nem vehető körzővel és egyenes éllel . Éppen ezért megoldhatatlanok a kockagyök kinyerésére visszavezethető klasszikus problémák: a kocka megkettőzése , egy szög harmadolása , valamint a szabályos hétszög építése .

Állandó anyagsűrűség mellett két hasonló test méretei tömegük kockagyökeként viszonyulnak egymáshoz. Tehát, ha az egyik görögdinnye kétszer akkora súlyú, mint a másik, akkor az átmérője (valamint a kerülete) csak valamivel több, mint egynegyedével (26%) lesz nagyobb, mint az elsőé; és a szemnek úgy tűnik, hogy a súlykülönbség nem olyan jelentős. Ezért mérleg híján (szemre eladás) általában kifizetődőbb nagyobb gyümölcsöt vásárolni.

Számítási módszerek

oszlop

Mielőtt elkezdené, fel kell osztania a számot hármasokra (az egész rész - jobbról balra, a tört rész - balról jobbra). Amikor elérte a tizedesvesszőt, tizedesvesszőt kell tennie az eredmény végére.

Az algoritmus a következő:

Keress egy számot, amelynek kocka kisebb, mint az első számjegycsoport, de ha 1-gyel növeljük, akkor nagyobb lesz. Írja a talált számot a megadott számtól jobbra! Írd alá a 3-as számot.
Írja a talált szám kockáját az első számjegycsoport alá, és vonja ki . A kivonás utáni eredményt írd a kivonás alá! Ezután vegye le a következő számcsoportot.
Ezután a megtalált köztes választ a betűre cseréljük . Használja a képletet olyan szám kiszámításához , amelynek eredménye kisebb, mint az alsó szám, de 1-gyel növelve nagyobb lesz. Írd le, hogy mit találtál a válasz jobb oldalán. Ha elérte a kívánt pontosságot, állítsa le a számítást. $a$ $300\times a^{2}\times x+30\times a\times x^{2}+x^{3}$ $x$ $x$
A számítás eredményét az alsó szám alatti képlettel írjuk le és vonjuk ki! Tovább a 3. pontra. $300\times a^{2}\times x+30\times a\times x^{2}+x^{3}$

Lásd még

Irodalom

Korn G. , Korn T. 1.3-3. Összeg, szorzat és hányados ábrázolása. Fokozatok és gyökerek // Matematika kézikönyve. - 4. kiadás. - M . : Nauka, 1978. - S. 32-33.