Épület iránytűvel és egyenes éllel

Épület iránytűvel és egyenes éllel
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Az euklideszi geometria ősidők óta ismert  része az iránytű és vonalzó segítségével történő konstrukciók .

Építési problémák esetén az iránytűt és a vonalzót ideális eszköznek tekintik, különösen:

• A vonalzónak nincsenek osztásai, és végtelen hosszú oldala van, de csak egy.
• Az iránytűnek tetszőleges (nagy vagy kicsi) nyílása lehet (tetszőleges sugarú kört tud rajzolni), és megtartja az utolsó nyílást, azaz bárhol azonos köröket tud rajzolni.

Példák

Felezési probléma . Az adott AB szakaszt körzővel és egyenes éllel oszd két egyenlő részre. Az egyik megoldás az ábrán látható:

• Iránytűvel az A és B pontok középpontjában AB sugarú köröket rajzolunk .
• Megtaláljuk a két megszerkesztett kör (ív) P és Q metszéspontját.
• Rajzoljon egy szakaszt vagy egy vonalat a vonalzó mentén, amely áthalad a P és Q pontokon .
• Megtaláljuk az AB szakasz kívánt felezőpontját - AB és PQ  metszéspontját .

Formális definíció

Az építési feladatok során a következő objektumok halmazát veszik figyelembe: a sík összes pontja, a sík összes vonala és a sík összes köre. A probléma körülményei között az objektumok egy bizonyos halmaza kezdetben meghatározott (konstruáltnak tekinthető). Az épített objektumok készletéhez hozzá lehet adni (építeni):

1. tetszőleges pont;
2. tetszőleges pont egy adott egyenesen;
3. tetszőleges pont egy adott körön;
4. két adott egyenes metszéspontja;
5. egy adott egyenes és egy adott kör metszéspontja/érintése;
6. két adott kör metszéspontja/érintése;
7. adott ponton áthaladó tetszőleges egyenes;
8. két megadott ponton áthaladó egyenes;
9. tetszőleges kör, amelynek középpontja egy adott pont;
10. tetszőleges kör, amelynek sugara egyenlő két adott pont távolságával;
11. egy kör, amelynek középpontja egy adott pontban van, és amelynek sugara megegyezik két adott pont távolságával.

Ezen műveletek véges számú segítségével létre kell hozni egy másik objektumkészletet, amely adott kapcsolatban van az eredeti halmazzal.

Az építési probléma megoldása három lényeges részből áll:

1. Egy adott halmaz felépítési módszerének leírása.
2. Bizonyíték arra, hogy a leírt módon felépített halmaz valóban adott kapcsolatban van az eredeti halmazzal. A konstrukció bizonyítása általában egy tétel szabályos bizonyításaként történik, axiómákra és más bizonyított tételekre támaszkodva.
3. A leírt konstrukciós módszer elemzése a kezdeti feltételek különböző változataira való alkalmazhatóság szempontjából, valamint a leírt módszerrel kapott megoldás egyedisége vagy nem egyedisége szempontjából.

Ismert kihívások

• Apollonius problémája három adott körre érintő kör megszerkesztésére. Ha a megadott körök egyike sem helyezkedik el a másikban, akkor ennek a feladatnak 8 alapvetően különböző megoldása van.
• Brahmagupta problémája a négy oldalára írt négyszög felépítésére .

Szabályos sokszögek felépítése

Az ókori geométerek tudták, hogyan kell szabályos n - szögeket alkotni , , és .

1796- ban Gauss megmutatta annak lehetőségét, hogy reguláris n - szögeket állítsunk elő , ahol  különböző Fermat -prímek vannak . 1836- ban Wanzel bebizonyította, hogy nincs más szabályos sokszög , amelyet iránytűvel és egyenes éllel meg lehetne építeni.

Megoldhatatlan problémák

A következő három építési feladatot tűzték ki az ókori görögök:

• szögtriszekció  - tetszőleges szög felosztása három egyenlő részre;
• kocka megkettőzése  - az adott kocka térfogatánál kétszer nagyobb kocka élét kell megszerkeszteni;
• egy kör négyzetre emelése  azt jelenti, hogy olyan négyzetet hozunk létre, amelynek területe egyenlő az adott körrel.

Csak a 19. században bizonyították szigorúan, hogy ezt a három problémát nem lehet csak iránytűvel és egyenes éllel megoldani. Ezen konstrukciós problémák megoldhatatlanságának bizonyítása a Galois-elméletre épülő algebrai módszerekkel [1] történt . A π szám transzcendenciájából különösen az következik, hogy egy kör négyzetre emelésének lehetetlensége következik .

Egy másik jól ismert és megoldhatatlan probléma az iránytű és a vonalzó segítségével a háromszög felező három megadott hosszúsága szerint való felépítése [ 2] . Ez a probléma megoldhatatlan marad még szögtriszekciót végrehajtó szerszám , például tomahawk jelenlétében is . [3]

Megengedett szegmensek az iránytű és az egyenes él segítségével történő építéshez

Ezekkel az eszközökkel olyan szegmenst készíthetünk, amelynek hossza:

1. egyenlő több szakasz hosszának összegével;
2. egyenlő két szegmens hosszának különbségével;
3. számszerűen egyenlő két szakasz hosszának szorzatával;
4. számszerűen egyenlő két szakasz hosszának osztásának hányadosával;
5. numerikusan egyenlő egy adott szakasz hosszának négyzetgyökével (két szakasz geometriai átlagának megszerkesztésének lehetőségéből következik , lásd az ábrát). [négy]

Az adott szakaszok hosszának szorzatával, privát és négyzetgyökével numerikusan megegyező hosszúságú szakasz felépítéséhez a konstrukciós síkon egységnyi szegmenst (vagyis 1 hosszúságú szakaszt) kell beállítani, ellenkező esetben a probléma megoldhatatlan a skála hiánya miatt. A gyökerek kinyerése más természetes erővel rendelkező szegmensekből, amelyek nem 2 hatványai, nem lehetséges iránytű és egyenes él segítségével. Így például lehetetlen egyetlen szegmensből hosszúságú szegmenst építeni iránytű és vonalzó segítségével . Ez a tény különösen a kocka-kettőzési probléma megoldhatatlanságát jelenti. [5]

Lehetséges és lehetetlen konstrukciók

Formális szempontból bármely konstrukciós probléma megoldása valamilyen algebrai egyenlet grafikus megoldására redukálódik , és ennek az egyenletnek az együtthatói az adott szakaszok hosszához kapcsolódnak. Ezért azt mondhatjuk, hogy a konstrukció problémája valamely algebrai egyenlet valódi gyökereinek megtalálására redukálódik.

Ezért célszerű egy szám felépítéséről beszélni - egy bizonyos típusú egyenlet grafikus megoldásáról.

A szegmensek lehetséges felépítése alapján a következő konstrukciók lehetségesek:

• Lineáris egyenletek megoldásainak felépítése .
• Másodfokú egyenletek megoldásaira redukáló egyenletek megoldásainak felépítése .

Más szóval, lehetséges csak aritmetikai kifejezésekkel megegyező szegmenseket felépíteni az eredeti számok négyzetgyökéből (adott szegmenshosszak).

A megoldást négyzetgyökökkel kell kifejezni , nem tetszőleges fokú gyökökkel. Még ha egy algebrai egyenletnek van is megoldása gyökökben , akkor ez nem jelenti azt a lehetőséget, hogy a megoldásával megegyező szakaszt készítsünk iránytűvel és vonalzóval. A legegyszerűbb ilyen egyenlet: a híres kockakettőzési problémával kapcsolatos, erre a köbös egyenletre redukálva . Mint fentebb említettük, ennek a ( ) egyenletnek a megoldása nem szerkeszthető meg iránytűvel és vonalzóval.

A szabályos 17-szög összeállításának képessége az oldala középső szögének koszinuszának kifejezéséből következik:

ami viszont abból a lehetőségből következik, hogy egy olyan egyenletet redukálhatunk, amelynek formája ahol  bármely prím Fermat-szám , a változó másodfokú egyenletté változtatásával.

Változatok és általánosítások

• Konstrukciók egyetlen iránytűvel. A Mohr-Mascheroni tétel szerint egyetlen iránytű segítségével bármilyen körzővel és vonalzóval megépíthető figurát meg lehet építeni. Ebben az esetben egy egyenest megszerkesztettnek tekintünk, ha két pont adott rajta.
• Konstrukciók egyetlen vonalzóval. Nyilvánvaló, hogy egy vonalzó segítségével csak projektív invariáns konstrukciók hajthatók végre. Különösen,
  • még a szakaszt sem lehet két egyenlő részre osztani,
  • az adott kör középpontját sem lehet megtalálni.

Azonban,

• a síkon megjelölt középponttal és egy vonalzóval korábban megrajzolt kör jelenlétében ugyanazokat a konstrukciókat lehet végrehajtani, mint körzővel és vonalzóval ( Steiner-Poncelet tétel ).
• Ha két serif van a vonalzón, akkor a segítségével a konstrukciók egyenértékűek az iránytű és vonalzó segítségével történő konstrukciókkal ( Napóleon fontos lépést tett ennek bizonyítására ).

• Konstrukciók korlátozott szerszámokkal. Az ilyen jellegű feladatoknál az eszközöket (a probléma klasszikus megfogalmazásával ellentétben) nem ideálisnak, hanem korlátozottnak tekintik: két ponton keresztül csak akkor lehet vonalzóval egyenes vonalat húzni, ha a pontok közötti távolság nem haladja meg a bizonyos mértéket. érték; az iránytűvel megrajzolt körök sugara korlátozható felülről, alulról vagy felülről és alulról egyaránt.
• Lapos origamit használó konstrukciók , lásd a Fujita szabályait
• A csuklós szerkezetű  szerkezetek egy síkban és térben történő konstrukciók, amelyekben a végein zsanérokkal összekötött egyedi rudak találhatók. Ily módon tetszőleges algebrai számot építhet [6] .

Érdekes tények

• Irán nemzeti lobogójának központi mintáját jogilag körzőt és vonalzót használó szerkezetként írják le [7] .

Lásd még

• A dinamikus geometriai szoftvercsomagok lehetővé teszik virtuális konstrukciók végrehajtását egy számítógép-monitoron lévő iránytű és vonalzó segítségével.

Jegyzetek

1. ↑ Kiricsenko, 2005 , p. egy.
2. ↑ Ki és mikor bizonyította be, hogy lehetetlen háromszöget három felezőszögből megszerkeszteni? Archiválva : 2009. október 18. a Wayback Machine -nél . Távoli konzultációs pont a matematika MCNMO számára .
3. ↑ Lehetséges-e háromszög felezővel építeni, ha az iránytűn és az egyenesen kívül megengedett egy háromszögletű 2015. augusztus 26-i archív másolat használata a Wayback Machine -nél . Távoli konzultációs pont a matematika MCNMO számára .
4. ↑ Kiricsenko, 2005 , p. négy.
5. ↑ Kiricsenko, 2005 , p. 9.
6. ↑ Maehara, Hiroshi (1991), Távolságok merev egység-távolság gráfban a síkban , Discrete Applied Mathematics 31. kötet (2): 193–200 , DOI 10.1016/0166-218X(91)90070-D  .
7. ↑ Iranian Flag Standard archiválva 2012. június 21-én a Wayback Machine -nél  (pers.)

Irodalom

• Adler A. Geometriai konstrukciók elmélete / Németből fordította G. M. Fikhtengolts. - Harmadik kiadás. - L .: Uchpedgiz, 1940. - 232 p.
• Alexandrov I. I. Építési geometriai feladatok gyűjteménye . — Tizennyolcadik kiadás. - M . : Uchpedgiz, 1950. - 176 p.
• Argunov B. I., Balk M. B. Geometriai konstrukciók a síkon. Kézikönyv pedagógiai intézetek hallgatói számára . - Második kiadás. - M . : Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
• Voronets A. M. Az iránytű geometriája . - M. - L. : ONTI, 1934. - 40 p. — (Népszerű matematikai könyvtár, szerkesztette L. A. Lyusternik).
• Geiler V. A. Megoldhatatlan építési problémák  // SOZH . - 1999. - 12. sz . - S. 115-118 .
• Kirichenko V. A. Konstrukciók iránytűkkel és vonalzóval és Galois elmélettel  // Nyári iskola "Modern matematika". - Dubna, 2005.
• Manin Yu. I. IV. könyv. Geometria // Az elemi matematika enciklopédiája . - M. : Fizmatgiz, 1963. - 568 p.
• Petersen Yu. Módszerek és elméletek geometriai szerkesztési problémák megoldására . - M . : E. Lissner és Yu. Roman nyomdája, 1892. - 114 p.
• Prasolov VV Három klasszikus építési probléma. Kocka megkettőzése, szög hárommetszete, kör négyzetre emelése . — M .: Nauka, 1992. — 80 p. - ( Népszerű matematikai előadások ).
• Geometriai konstrukciók // Matematika kézikönyve (középiskolák számára) / Tsypkin A. G., szerk. Stepanova S. A. - 3. kiadás. — M.: Nauka, Ch. kiadása a Phys.-Math. Irodalom, 1983. - S. 200-213. — 480 s.
• Steiner J. Egyenes és rögzített kör felhasználásával végzett geometriai konstrukciók . - M . : Uchpedgiz, 1939. - 80 p.
• Választható matematika tantárgy. 7-9 / Össz. I. L. Nikolskaya. - M . : Oktatás , 1991. - S. 80. - 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .

Linkek

• Szabályos sokszögkonstrukciók Dr. Matek a The Math Forumban 
• Építés az iránytűvel Csak a csomópontnál 
• Szögtriszekció Hippokratész által a csomópont levágásánál 
• Weisstein, Eric W. Angle Trisection  (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4792645-4