A kocka megduplázása

A kocka megkettőzése a kocka élének körzővel és vonalzóval való megalkotásának klasszikus ősi problémája , amelynek térfogata kétszerese egy adott kocka térfogatának [1] .

A szög felosztása és a kör négyzetre emelése mellett ez az egyik leghíresebb megoldhatatlan konstrukciós probléma az iránytűvel és az egyenes éllel. Ezek a problémák fontos szerepet játszottak a matematika történetében.

Történelem

Az ősi legenda szerint egy napon pestisjárvány tört ki Delos szigetén. A sziget lakói a delphoi jósda felé fordultak , és azt mondta, hogy meg kell duplázni a szentély oltárát, amely kocka alakú. Delos lakói építettek egy második kockát, és az első tetejére helyezték, de a járvány nem szűnt meg. Második fellebbezés után az orákulum tisztázta, hogy a megkettőzött oltárnak egyetlen kockának kell lennie.

Azóta a delhi problémával az ókori világ legjobb matematikusai foglalkoznak, több megoldást is javasoltak, de ilyen konstrukciót senkinek sem sikerült pusztán körzővel és vonalzóval megvalósítani, így fokozatosan kialakult egy általános hiedelem. hogy egy ilyen probléma megoldhatatlan. Még Arisztotelész is az ie IV. században. e. írta: "Geometriával lehetetlen bizonyítani, hogy ... két kocka egy kocka" [2] .

Megoldási kísérletek

• Khioszi Hippokratész (Kr. e. 5. század vége) kimutatta, hogy a probléma abban rejlik, hogy két átlagos arányt kell találni az egyik és a másik szegmens között, kétszer akkora, mint ez. A modern jelöléssel - olyat találni , hogy . Innen .

• Tarentum Archytas (Kr. e. 4. század eleje) egy tórusz , egy kúp és egy körhenger metszéspontján alapuló megoldást javasolt .

• Platón (Kr. e. IV. század első fele) három, a kívánt oldalarányú derékszögű háromszög felépítésén alapuló mechanikai megoldást javasolt.

• Menechmus (Kr. e. 4. század közepe) két megoldást talált erre a problémára a kúpszelvények felhasználása alapján. Az első megoldásban két parabola metszéspontját, a másodikban parabolákat és hiperbolákat találunk.

• Eratosthenes (Kr. e. III. század) egy másik megoldást javasolt, amely speciális mechanikai eszközt használ - a mezolábiumot , és leírta elődei megoldásait is.

• Nikomédész (Kr. e. II. század) a beszúrási módszert alkalmazta ennek a problémának a megoldására, amelyet egy speciális görbe - konchoidok - segítségével hajtottak végre .

• Apollonius , Philo of Byzantium és Heron hasonló megoldásainak egy csoportja szintén a beillesztési módszert használja.

• Egy másik, egymáshoz hasonló megoldáscsoportban, amely Diocleshez , Pappushoz és Sporehoz tartozik , ugyanazt az ötletet használják, mint Platón megoldásában , míg Dioklész egy speciális görbét használ a ciszoid felépítéséhez .

Viète , Descartes , Grégoire de Saint-Vincent , Huygens , Newton is kínálta megoldásait .

Döntetlenség

A modern jelöléssel a probléma az egyenlet megoldására redukálódik . A megoldás úgy néz ki . Minden egy hosszú szegmens megalkotásának problémájára vezethető vissza . 1837-ben Pierre Wantzel bebizonyította, hogy ez a probléma nem oldható meg iránytűvel és egyenes éllel .

Megoldás további eszközökkel

A kocka duplázása körzővel és egyenes éllel megoldhatatlan, de néhány kiegészítő eszközzel megoldható.

• A kocka megkettőzését lapos origami segítségével lehet megépíteni [3] .

• A kocka megkettőzését a nevsis segítségével lehet megtenni . Vegyünk egy MPN egyenlő oldalú háromszöget , amelynek oldala a , hosszabbítsuk meg a PN oldalt, és építsük meg az R pontot az N ponttól a távolságra (1. ábra). Hosszabbítsuk meg az NM és RM szakaszokat balra . Vegyünk egy a diasztémával rendelkező nevsis vonalzót, és az NM egyenest használva , pólusként a P pontot és az RM egyenest célegyenesként, megszerkesztjük az AB szakaszt . A BP szakasz hossza egy kocka oldalának felel meg, amelynek térfogata kétszerese az a oldalú kocka oldalának .

Irodalom

• Belozerov S.E. Az ókor öt híres problémája. Történelem és modern elmélet. - Rosztov: a Rosztovi Egyetem kiadója, 1975. - 320 p.
• Glazer G.I. A matematika története az iskolában . - M . : Oktatás, 1964. - S. 324-325.
• Prasolov VV Három klasszikus építési probléma. Kocka megkettőzése, szög hárommetszete, kör négyzetre emelése . — M .: Nauka, 1992. — 80 p. - ( Népszerű matematikai előadások , 62. szám).
• Chistyakov V.D. Az ókor három híres problémája. - M . : Állam. uch.-ped. az RSFSR Oktatási Minisztériumának kiadója, 1963. - S. 8-28. — 96 p. .
• Shchetnikov A. I. Hogyan találtak megoldást az ókor három klasszikus problémájára? // Matematikai oktatás. - 2008. - 4. szám (48) . - P. 3-15 .
• Shchetnikov A. I. Hogyan találták meg a kockakettőzési probléma néhány megoldását? Történeti és matematikai kutatás , 15. szám (50), 2014, 65-78.

Jegyzetek

1. ↑ A kocka megkettőzése // Nagy Szovjet Enciklopédia / V. A. Vvedensky. — 2. kiadás. - Nagy Szovjet Enciklopédia, 1956. - T. 43. - S. 648. - 300 000 példány.
2. ↑ Arisztotelész . Második elemzés, I. rész, Ch. 7. M.: Gospolitizdat, 1952.
3. ↑ Petrunin A. Lapos origami és építés  // Kvant . - 2008. - 1. sz . - S. 38-40 . (Orosz)