Matematika az ókori Egyiptomban

Ez a cikk a Matematika története című áttekintés része .

A cikk az ókori Egyiptomban a matematika állapotával és fejlődésével foglalkozik, körülbelül a Kr.e. 30. és a 3. század közötti időszakban. e.

A legrégebbi ókori egyiptomi matematikai szövegek a Kr.e. 2. évezred elejére nyúlnak vissza. e. A matematikát azután használták a csillagászatban, a navigációban, a földmérésben, épületek, gátak, csatornák és katonai erődítmények építésében. Egyiptomban nem voltak pénzbeli elszámolások, mint maga a pénz. Az egyiptomiak papiruszra írtak , amely gyengén megőrzött, ezért az egyiptomi matematikáról sokkal kevesebb tudásunk van, mint Babilon vagy Görögország matematikájáról . Valószínűleg jobban kidolgozott, mint a hozzánk eljutott dokumentumokból elképzelhető – ismert [1] , hogy görög matematikusok tanultak az egyiptomiakkal [2] .

Semmit sem tudunk a matematikai tudás fejlődéséről Egyiptomban, sem a régebbi, sem a későbbi időkben. A Ptolemaiosok csatlakozása után az egyiptomi és a görög kultúrák rendkívül gyümölcsöző szintézise veszi kezdetét .

Források

A főbb fennmaradt források a Középbirodalom időszakából, az ókori egyiptomi kultúra virágkorából származnak:

Az Ahmes papirusz vagy a Rindai papirusz a legterjedelmesebb kézirat, amely 84 matematikai feladatot tartalmaz. Kr.e. 1650 körül íródott. e.
Moszkvai matematikai papirusz (25 feladat), ie 1850 körül e., 544 × 8 cm.
Az úgynevezett " bőrtekercs ", 25 × 43 cm.
Papirusz Lahunából (Kahuna) , amely számos matematikai témájú szövegrészt tartalmaz.
Berlini papirusz , i.e. 1300 körül e.
Kairói fatáblák (Akhmim tabletták).
Reisner Papyrus , Kr.e. 19. század körül e.

Számos számítási jellegű töredék érkezett hozzánk az Újbirodalomból .

Mindezen szövegek szerzői számunkra ismeretlenek. A hozzánk eljutott példányok többnyire a hikszosz korszakban másoltak . A tudományos ismeretek hordozóit akkoriban írnokoknak nevezték , és valójában állami vagy templomi tisztviselők voltak.

Az Ahmesz papiruszából (i.e. 1650 körül felvett) minden feladat alkalmazott jellegű, és az építési gyakorlathoz, a telkek lehatárolásához stb. kapcsolódik. A feladatok nem módszerek, hanem tantárgyak szerint vannak csoportosítva. Ezek többnyire háromszög, négyszög és kör területeinek megkeresésére, különböző egész számokkal és aliquot törtekkel végzett műveletekre , arányos osztásra, aránykeresésre, különböző hatványokra emelésre, számtani átlag meghatározására , számtani progressziókra , egyenletek megoldására vonatkozó feladatok. első és másodfokú egy ismeretlennel [3] .

Egyáltalán nincs semmiféle magyarázat vagy bizonyíték. A kívánt eredményt vagy közvetlenül megadják, vagy megadják a kiszámításához egy rövid algoritmust .

Ez az ókori keleti országok tudományára jellemző előadásmód arra utal, hogy a matematika ott induktív általánosítások és zseniális sejtések útján fejlődött ki, amelyek nem alkottak általános elméletet. Ennek ellenére számos bizonyíték található a papiruszban arra vonatkozóan, hogy az akkori ókori Egyiptomban a matematika elméleti jelleget öltött, vagy legalábbis kezdett elsajátítani. Így az egyiptomi matematikusok képesek voltak gyököket (egész számokat) kivonni és hatványra emelni [4] , egyenleteket megoldani, járatosak voltak az aritmetikai és geometriai progresszióban , sőt az algebra alapjait is elsajátították : az egyenletek megoldásánál egy speciális hieroglifa „kupac” az ismeretlent jelölte.

Számozás (számok írása)

Az ókori egyiptomi számozás , vagyis a számok írása hasonló volt a rómaihoz : eleinte külön ikonok voltak az 1-nek, 10-nek, 100-nak, ... 10 000 000-nek, összeadva (összeadva). Az egyiptomiak általában jobbról balra írtak , és a szám legkevésbé jelentős számjegyeit írták először, így a számok sorrendje végül megegyezett a miénkkel. A hieratikus írásban már külön szimbólumok vannak az 1-9 számokhoz és a különböző tízes, százas és ezres rövidítések [5] .

Az ókori Egyiptomban bármely számot kétféleképpen lehetett írni: szavakkal és számokkal. Például a 30-as szám írásához használhatunk közönséges hieroglifákat:

vagy írja be ugyanazt számokkal (három tízes karakter):

Hieroglifák számok ábrázolására

egy

tíz

100

1000

10 000

100 000

1 000 000

Az egyiptomiak a szorzást a duplázás és az összeadás kombinálásával végezték. Az osztás egy osztó kiválasztásából állt, vagyis a szorzással fordított műveletként.

A speciális ikonok az űrlap törtrészeit és a . Azonban nem rendelkeztek a tört általános fogalmával , és az összes nem kanonikus tört aliquot törtek összegeként volt ábrázolva . A tipikus bővítéseket nehézkes táblázatokban foglaltuk össze. ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {2}{3))$ ${\frac {m}{n}}$

Példák a közönséges törtek képeire

1/2

1/3

2/3

1/4

1/5

Példa törtek írására a Rhindai papiruszról [6]

5 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 7 + 1 ⁄ 14 (= 5 5 ⁄ 7 )

Aritmetika

Összeadás és kivonás jelei

Ahmesz papirusza (i . e. 1550 körül) a hieroglifát használta összeadásra vagy kivonásra

vagy

Ha ennek a hieroglifának a „lábai” iránya egybeesett az írás irányával (amint már említettük, az egyiptomiak általában jobbról balra írtak), akkor ez „összeadást”, egyébként „kivonást” jelentett. A moszkvai matematikai papiruszban (Kr. e. 1850 körül) azonban a sor vége felé mutató lábpár egy szám négyzetre emelését jelentette [7] [8] .

Kiegészítés

Ha az összeadás tíznél nagyobb számot eredményez, akkor a tízet növekvő hieroglifával írjuk.

Például : 2343 + 1671

Összegyűjtjük az azonos típusú hieroglifákat, és megkapjuk:

Alakítsuk át:

A végeredmény így néz ki:

Szorzás

Az ókori egyiptomi szorzás két szám szekvenciális szorzásának módszere. A számok szorzásához nem kellett ismerniük a szorzótáblákat, hanem elég volt ahhoz, hogy a számokat több bázisra bontsák, ezeket a többszöröseket szorozzák és összeadják.

Az egyiptomi módszer szerint két tényező közül a legkisebbet többszörösére bontják, majd szekvenciálisan megszorozzák a második tényezővel.

Dekompozíció

Az egyiptomiak azt a rendszert alkalmazták, hogy a legkisebb tényezőt többszörösére bővítették, amelynek összege az eredeti szám volt.

A többszörös helyes kiválasztásához ismernie kellett a következő értéktáblázatot:

1 x 2 = 2

2 x 2 = 4

4 x 2 = 8

8 x 2 = 16

16 x 2 = 32

Példa a 25-ös szám kiterjesztésére:

A „25” szám szorzója 16.
25-16 = 9,
A "9" szám szorzója 8,
9-8 = 1,
Az "1" szám szorzója 1,
1-1 = 0

Így a "25" három tag összege: 16, 8 és 1.

Példa: szorozza meg a „13”-at „238-cal”:

✔	1 x 238	= 238
✔	4x238	= 952
✔	8x238	= 1904

	13x238	= 3094

Ismeretes, hogy 13 = 8 + 4 + 1. Mindegyik tagot meg kell szorozni 238-cal. A következőt kapjuk: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Az ókori egyiptomiak megkülönböztették a kettővel való osztást a többi számmal való osztástól, mert szorzóalgoritmusuk a kettővel való osztást használta az egyik közbenső lépésként [9] .

Egyenletek

Példa egy feladatra a Papyrus Ahmesből :

Keress egy számot, ha ismert, hogy ha hozzáadjuk a 2/3-át, és kivonjuk a harmadának eredményéből, akkor 10-et kapunk .

Geometria

Területek számítása

A geometria területén az egyiptomiak tudták a téglalap, a háromszög és a trapéz területének pontos képleteit. Egy tetszőleges a, b, c, d oldalú négyszög területét körülbelül a következőképpen számítottuk ki ; ez a durva képlet elfogadható pontosságot ad, ha az ábra közel van egy téglalaphoz. $S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$

Az egyiptomiak azt feltételezték, hogy egy d átmérőjű S kör területe egyenlő egy olyan négyzet területével, amelynek oldala az átmérő 8/9-e: Ez a szabály a ≈ 3,1605 közelítésnek felel meg (kevesebb, mint 1% hiba ) [10] .. $S=\left(d-{\frac {d}{9}}\right)^{2}=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.$ $\pi \approx 4\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{2}$

Egyes kutatók [11] a moszkvai matematikai papirusz 10. problémája alapján úgy vélték, hogy az egyiptomiak pontosan ismerik a gömb területének kiszámításának képletét, de más tudósok nem értenek egyet ezzel [12] [13] .

Mennyiségek számítása

Az egyiptomiak ki tudták számítani a paralelepipedon, a henger, a kúp és a piramisok térfogatát. Egy csonka gúla térfogatának kiszámításához az egyiptomiak a következő szabályt használták (a Moszkvai Matematikai Papirusz M14. számú feladata ): legyen egy szabályos csonka gúla, amelynek oldala az alsó alap a , a felső b és a magassága h ; akkor a térfogatot a következő (helyes) képlettel számítottuk ki:

V=(a^{2}+ab+b^{2})\cdot {\frac {h}{3)).

Az Oxyrhynchusnál talált ősi papirusztekercs arra utal, hogy az egyiptomiak egy csonka kúp térfogatát is ki tudták számítani. Ezt a tudást használták fel vízóra építésénél . Például ismert, hogy Amenhotep III alatt vízórát építettek Karnakban .

Egyiptomi háromszög

Az egyiptomi háromszög egy derékszögű háromszög, amelynek oldalaránya 3:4:5. Plutarkhosz az első században így írt erről a háromszögről „ Íziszről és Oziriszről ” című esszéjében : „Úgy látszik, az egyiptomiak az egyetemesség természetét a legszebb háromszögekkel hasonlítják össze”. Talán ezért hívták ezt a háromszöget egyiptominak [14] . Görög tudósok valóban arról számoltak be, hogy Egyiptomban egy 12 részre osztott kötelet használtak derékszög kialakítására.

Az egyiptomi háromszöget aktívan használták derékszögek építésére az egyiptomi földmérők és építészek, például a piramisok építésekor. Van der Waerden történész megpróbálta megkérdőjelezni ezt a tényt, de a későbbi vizsgálatok megerősítették [15] . Mindenesetre nincs bizonyíték arra, hogy a Pitagorasz-tétel általános esetben ismert volt az ókori Egyiptomban (ellentétben az ókori Babilonnal ) [16] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Van der Waerden B.L. Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája. Rendelet. cit., 125. o.: „Thalész Egyiptomba utazott, és a geometriát Hellásznak hozta” (Proklosz Euklidészhez írt kommentárjából).
↑ "A legtöbb vélemény szerint a geometriát először Egyiptomban fedezték fel, és a területek méréséből jött létre" // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum. - Lipcse, 1873. - S. 64.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 21-33..
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 24..
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. harminc.
↑ Gardiner Alan H. Egyiptomi nyelvtan: bevezetés a hieroglifák tanulmányozásába 3. kiadás, rev. London: 1957, p. 197.
↑ Florian Cajori . A matematikai jelölések története. - Dover Publications , 1993. - S. pp. 229-230. — ISBN 0486677664 .
↑ Karpinski, Louis C. Algebrai fejlemények az egyiptomiak és babilóniaiak körében // The American Mathematical Monthly : Journal. - 1917. - 1. évf. 24 , sz. 6 . - 259. o . - doi : 10.2307/2973180 . — .
↑ Jean-Luc Chabert. Algoritmusok története: A kavicstól a mikrochipig . - Springer Berlin Heidelberg, 1999. - 524 p. — ISBN 9783540633693 . Archiválva 2019. február 21-én a Wayback Machine -nél
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 30-32..
↑ W. W. Struve. Mathematischer Papyrus des Museum Moszkvában. - Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. - Berlin: Springer, 1930. - 157. o.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 31-32..
↑ Van der Waerden B.L. Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája, 44-45
↑ Prasolov V. V. 1. fejezet. Az ókori Egyiptom és Babilon // A matematika története . - (nincs közzétéve), 2013. - 5. o. Archív másolat 2015. április 18-án a Wayback Machine -nél
↑ Van der Waerden B.L. Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája . Moszkva: Fizmatlit, 1959, 13. o., lábjegyzet
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 31..

Irodalom

Van der Waerden. Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája . — M .: Nauka, 1959. — 456 p.
Veselovsky I. N. Az egyiptomi tudomány és Görögország. Trudy IIE, 2, 1948, p. 426-498.
Vygodsky M. Ya. Aritmetika és algebra az ókori világban. - M . : Nauka, 1967.
Depman I. Ya. Számtantörténet . Útmutató tanároknak . - Szerk. második. - M . : Nevelés, 1965. - 416 p.
A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Neugebauer O. Előadások az ókori matematikai tudományok történetéről . - Moszkva-Leningrád, 1937.
Raik A.E. Két előadás az egyiptomi és babiloni matematikáról // Történeti és matematikai kutatás . - M .: Fizmatgiz , 1959. - 12. sz . - S. 271-320 .
Raik A.E. Esszék az ókori matematika történetéről. Saransk: Mordov állam. kiadó, 1977.
Gillings RJ Matematika a fáraók idejében. Cambridge: MIT Press, 1972.
Rossi C. Építészet és matematika az ókori Egyiptomban. Cambridge (Egyesült Királyság): Cambridge UP, 2004.
Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrodel, 1958.

Linkek

Matematika // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

A matematika története
Országok és korszakok	történelem előtti időszak Az ókori Egyiptom Babilon Ősi Kína Ókori Görögország India Örményország Inka Birodalom Iszlám országok Oroszország
Tematikus szakaszok	Algebra Analitikus geometria Számtan Variációszámítás Geometria Differenciálgeometria és topológia Kombinatorika Kriptográfia Lineáris algebra Logaritmusok Matematikai elemzés Nem euklideszi geometria Valószínűségi elmélet halmazelmélet Topológia Trigonometria funkcionális elemzés
Lásd még	elenyésző Valós számok Irracionális számok Komplex számok Matematikai jelölés Folytatva törtek Negatív számok Funkciók