A modern matematika teljesen más jellegű absztrakt struktúrákat (halmazokat, állításokat, logikai nyelveket, függvényeket) vizsgál, de fő vizsgálati tárgya kezdetben az emberi gyakorlati tevékenységből származó természetes szám és geometriai alak fogalma volt [1] .
És bár úgy gondolják, hogy a matematika mint szisztematikus tudomány csak az ókori Görögországban [2] jelent meg , története e fogalmak megjelenésével kezdődik.
A természetes szám és a geometriai alak fogalma már jóval az írás megjelenése előtt felmerült, mivel azokban a kultúrákban, amelyekben az írás először megjelent ( Sumer , ókori Egyiptom ), meglehetősen kiterjedt, tapasztalatból szerzett matematikai ismeretek gyűjteményével rendelkeztek [3] .
Egyes állatok már képesek megkülönböztetni a tárgyak számát , méretét , alakját és szerkezetét [4] . Az ősember is rendelkezett ilyen képességekkel. Például egyes vad törzsek emberei nagyon jól tudják meghatározni a szemenkénti tárgyak számát anélkül, hogy megszámlálnák őket [5] .
A technológiai fejlődés kapcsán felmerült az igény a tárgyak pontosabb megszámlálására [6] . A számlálás fejlődésének első lépése a megszámlált objektumok halmaza és a szabványok halmaza közötti egy-egy megfeleltetés megteremtése volt. Az ilyen fiókok legnépszerűbb típusa az ujjak és lábujjak segítségével történő fiók [7] .
Egy bizonyos szakaszban a számot objektumok halmazának tulajdonságaként fogták fel, amely megegyezik azok színével, alakjával, méretével, szerkezetével [8] . Különböző tárgyakhoz különböző számokat használtak [9] . De fokozatosan a számot elvonatkoztatták a megszámlált tárgyakból. Megjelentek a számok nevei [10] .
Az aritmetikai műveletek is gyakorlati igényekből fakadtak, valós események tükröződéseként: halmazok egyesülése, egy rész halmaztól való elválasztása stb.
A számokkal nagyjából egy időben az ember elvonatkoztatta a lapos és térbeli formákat, amelyek általában a hozzájuk hasonló valós tárgyak nevét kapták [10] .
Nem minden kultúra halad azonos ütemben a tudományos és technológiai fejlődésben . Egyesek bizonyos mértékig megőrizték a törzsi rendszert és az ősi szokásokat, amelyek alapján megítélhető távoli múltjuk, és tájékozódhat arról a korszakról, amikor még nem létezett írás. Összehasonlíthatjuk például a brazíliai bakairi törzs számrendszerét, amelynek csak 6-ig vannak nevek, és a nigériai joruba törzs számrendszerét, amely összetett kivonási elven alapul, és így megértheti, hogyan kialakult a számok elnevezésének módja.
Az európai gyarmatosítók gyakran képesek voltak barbár módon bánni az ilyen kultúrákkal, nem tisztelték hagyományaikat. Sokan elpusztultak, másoknak be kellett épülniük a meglévő politikai és gazdasági rendszerbe. Amikor a tudósok fokozatosan felismerték, hogy az ilyen kultúrák gazdag anyagot szolgáltathatnak a primitív világ történetének tanulmányozásához, néhányuk már eltűnt.[ semlegesség? ] .
A huszadik század végén megjelent egy tudományág - az etnomatematika , a matematikát a hagyományos kultúra részeként tanulmányozó [11] . Tanulmányok kezdődnek, amelyek során kiderül, hogyan hiszik, mutatják, nevezik és rögzítik a primitív népek számát.
Bizonyos információkat a régészeti feltárások szolgáltatnak. Megszámlálható bevágásokkal rendelkező csontot találtak az afrikai Ishango lelőhelyen , amelynek korát 20-40 évre becsülik több ezer év, amely kiterjedt anyagot adott a tanulmányozáshoz és a következtetésekhez [12] . Egy másik műtárgy - egy fiatal farkas 55 rovátkával ellátott sugárcsontja - a felső paleolit lelőhelyen , Dolni Vestonice-ben (Csehország) került elő. Mikel Alberti a "Mathematical Planet. Journey Around the World" című könyvében más tárgyakra is ad példákat [13] .
Ha az etnomatematikai és régészeti kutatások eredményeként megszerzett ismereteket rendszerezzük, akkor megközelítőleg újrateremthetjük a matematika megjelenésének folyamatát. .
Számos kísérlet azt mutatja, hogy az állatok bizonyos értelemben érzékelik a tárgyak számát anélkül, hogy megszámlálnák őket. John Lubbock angol biológus úgy vélte, hogy az állatok már rendelkeznek alapvető számtani ismeretekkel:
Leroy <...> említ egy esetet, amikor egy embernek varjút kellett lőnie. "A gyanús madár félrevezetése érdekében úgy döntöttek, hogy két embert küldenek a fészkébe, akik közül az egyik átmegy, a másik pedig ott marad. De a varjú megszámolta őket, és távolságot tartott. Másnap hárman mentek, és megint rájött, hogy már csak ketten maradtak. Kiderült, hogy öt-hat embert kell küldeni, hogy legyőzzék őt a számítások során. A varjú, azt gondolva, hogy mindenki elment mellette, nem vesztegette az idejét, hogy visszatérjen a fészekbe." Ebből arra következtet, hogy a varjú tud négyig számolni. Lichtenberg egy csalogányról beszél, aki háromig számolt. Minden nap három férget adott neki, egyenként. Miután befejezte az egyiket, a csalogány visszatért egy másikért, de a harmadik után tudta, hogy a vacsorának vége. <...> Van egy mulatságos és sokat sejtető részlet Mr. Galton Tales of an Explorer of Tropical South Africa című művében . Miután leírta a Demara afrikai törzs gyengeségét a számolásban, ezt mondja: "Egyszer, amikor néztem egy afrikai embert, aki reménytelenül próbált számolni valamit, észrevettem, hogy a közelben Dinah, a spánielem is tanácstalan volt; Dinah fél tucat újszülöttje mellett volt. kiskutyák, akik folyamatosan távolodtak tőle, nagyon aggódott, és megpróbálta kideríteni, hogy mind ott vannak-e, vagy valaki hiányzik. Zavartan nézte őket, de nem értett semmit. Nyilvánvalóan volt egy halvány fogalma arról, hogy \u200b\u200b a szám, de itt a szám túl nagy volt az agya számára. Ha kettőjüket, egy férfit és egy kutyát összehasonlítjuk, akkor a férfi hátrányban van<...> "<... > Tehát okunk van feltételezni, hogy az állatoknak elegendő intelligenciája van ahhoz, hogy megkülönböztesse a hármat a négytől [4] .
Eredeti szöveg (angol)[ showelrejt] Leroy<...> megemlít egy esetet, amikor egy ember alig várta, hogy lelőjön egy varjút. "A gyanús madár megtévesztésére az a terv támadt, hogy két embert küldtek az őrházba, akik közül az egyik továbbment, míg a másik maradt; de a varjú számolt, és távolságot tartott. Másnap hárman elmentek, és ismét észrevette. hogy csak ketten mentek nyugdíjba. Rendben, úgy találták, hogy öt-hat embert kellett küldeni az őrházba, hogy kivegyék a számításából. A varjú, azt gondolva, hogy ennyi ember elment mellette, nem veszítette az időt a visszatéréssel. Ebből arra következtetett, hogy a varjak négyig tudnak számolni. Lichtenberg említ egy csalogányt, amelyről azt mondták, hogy háromig számol. Minden nap három lisztkukaszt adott neki, egyenként. Amikor befejezte az egyiket, visszatért a másikért, de a harmadik után tudta, hogy vége a lakomának.<...>Van egy mulatságos és sokat sejtető megjegyzés Mr. Galton érdekes narratívája egy felfedezőről a trópusi Dél-Afrikában. A Demara számítási gyengeségének leírása után a következőket mondja: "Egyszer, miközben néztem egy Demarát, amint reménytelenül vergődik a számításban az egyik oldalamon, észrevettem: "Dinah", a spánielem, a másikon ugyanilyen zavarban volt; félrenézett tucatnyi újszülött kölyökkutyája, amelyeket kétszer-háromszor eltávolítottak róla, és a szorongása túlzott volt, mert megpróbálta kideríteni, hogy mindegyik jelen van-e, vagy hiányzik-e még valamelyik. , de nem tudta kielégíteni magát. Nyilvánvalóan homályos fogalma volt a számolásról, de az alak túl nagy volt az agyához képest. a férfi<...>" Madárfészkelő emlékeim szerint, amelyeket újabb tapasztalataim alapján frissítettem fel. , ha egy fészek négy tojást tartalmaz, egy nyugodtan vihető; de ha kettőt eltávolítanak, a madár általában elpártol. Itt tehát úgy tűnik, mintha lenne okunk azt feltételezni, hogy van elegendő intelligencia a három és a négy megkülönböztetésére.A primitív emberek örökölték ezt a képességet. Egy amerikai misszionárius visszaemlékezései szerint tehát egy vadon élő indián törzs vadászai, akiknek csak az 1-es, 2-es és 3-as számra van nevük, vadászat előtt körülnéznek egy nagy falka kutyában, és ha legalább egy hiányzik, észreveszik ezt, és hívni kezdik. Ez a jelenség „ számérzékelés ” [5] és „ érzékszervi számlálás ” [14] néven ismert .
Sok nyelvben megmaradtak a számok nevei, amelyek a kutatók szerint már az ujjakon való számolás előtt is megjelentek [15] . Ezek a nevek ahhoz a tudathoz kötődnek, hogy a természetben mindig ugyanannyi bizonyos tárgy található (egy nap az égen, két szem az emberben, öt ujj a kézen stb.). Néhány számot az ilyen objektumok nevének neveztek. Tehát az ősi indiai verbális számrendszerben a következő számnevekkel találkozunk:
A 40-es szám (a leggyakoribb változat szerint) egy köteg szőrmebőr nevéből származik [16] .
Ha van egy nyolc kőből és egy nyolc kagylóból álló halmaz, akkor elrendezheti őket úgy, hogy minden kővel szemben legyen egy kagyló. Így ment végbe a két primitív törzs közötti kereskedelem. Az első törzsből származó minden termékkel szemben a második törzsből egy terméket helyeztek el, és ennek eredményeként a törzsek ugyanannyi árut cseréltek egymással [17] .
Az ilyen folyamatot, amikor az egyik halmazból (gyűjteményből) minden elem egy másik halmaz egyik eleméhez kapcsolódik, a matematikában két halmaz közötti egy-egy megfelelés megállapításának nevezik [18] .
A megszámlálható objektumok halmaza és a számlálási szabványok halmaza közötti egy-egy megfeleltetés kialakításával megkezdődött a számlálás fejlődésének következő szakasza.
Az összes számlálási szabvány közül a legkényelmesebb és „mindig veled lévő” az ujjak és lábujjak, sőt a test egyéb részei [15] .
Ahhoz, hogy emlékezzen, hány állatot ölt meg vadászat közben, egy primitív embernek egyszerűen emlékeznie kellett arra, hogy melyik ujján vagy lábujján hagyta abba a számolást. Ez lehet a második láb második ujja, az első kéz utolsó ujja vagy az összes ujj. Egyes nyelveken a számokat ún. Íme néhány példa:
Ha nem volt elég ujj, más testrészeket, más emberek ujjait vagy a már behajlított ujjak meghosszabbítását használták.
Új-Guinea felfedezője , N. N. Miklukho-Maclay azt javasolta, hogy a pápuák papírcsíkokat vágva számolják meg a Vityaz korvett visszaérkezéséig tartó napokat .
„Az első, aki papírdarabkákat terített a térdére, minden egyes vágással megismételte a „nare, nare” (egyik) szót; a másik a „nare” szót ismételte, és közben először az egyikre, majd a másikra hajlította az ujját. Tízig számolva és mindkét kezének ujjait behajlítva mindkét öklét a térdére eresztette, mondván: ... "két kéz", a harmadik pápua pedig behajlította a kéz ujját. Ugyanezt tette a második tízzel is, a harmadik pápua pedig meghajlította a második ujját; ugyanezt tették a harmadik tízzel; a megmaradt papírdarabkák nem jelentették a negyedik tucatnyit, és továbbra is félrefeküdtek. [21]
A primitív emberek gyakran speciális számolási standardokat vittek magukkal - botokat vagy labdákat [22] .
Amikor a számolás művészete fokozatosan fejlődött, a szám fogalma elválaszthatatlan volt a számolt tárgyaktól. A szám nem létezhet önmagában. Attól függően, hogy mit vettünk figyelembe, a számokat másként is nevezhetjük [10] . Egyes törzseknél a mai napig a számjegyek felosztása van a szóban forgó tárgyak típusa szerint. Például a Tsimshian nyelvnek hét különböző számjegye van:
Hosszú időnek kellett eltelnie, míg maga a szám fogalma, a tárgyaktól elválasztva megjelent.
Elméletileg tetszőleges számú objektumot meg lehet számolni. Számuk olyan számmal kifejezhető, amilyenre korábban még nem volt példa (például 723 945 186 - hétszázhuszonhárom millió kilencszáznegyvenötezer-száznyolcvanhat), de ennek ellenére ez lehetséges lesz egy személy számára. aki hallja ezt a számot, képzelje el, hogy körülbelül mennyi. A megszámlálható tételek száma nincs korlátozva. Bármilyen egész számú objektumhoz van egy jól definiált természetes szám. Ezt a jelenséget folytonos számsorozatnak nevezzük .
A nyelvben a számsor azonban nem mindig volt folyamatos . Eddig vannak olyan törzsek, amelyek nyelvében csak két szám van: egy és sok . Életük szintje nem igényel más numerikus szavakat. De a technológiai fejlődés miatt ezek a szavak szükségessé válnak.
A kettes szám szó megjelenése nagy lépés a számsor fejlődésében. A hármas szó megjelenése után a számsor egyre tovább bővül. Fokozatosan megjelennek a tíznél kisebb számok nevei .
Néhány évszázaddal ezelőttig a legtöbb embernek nem kellett ezret meghaladó számokat használnia . A nagy számok megjelölésére a „szörny”, „végtelen”, „már nem tudsz számolni” szavakat használták. Tehát a "-tera" előtag, amely az eredeti egység 10 12 -vel , azaz trilliódal (például terabájttal) való szorzását jelöli, a római "szörny" szóból származik, azaz ugyanaz a gyök, mint a "szó" terror". A 10 000-es szám régi orosz neve sötétség . A millió szám neve óolaszul „nagy ezer”-et jelent.
A ruandai nyelvben 10 000-et "elefántnak", 20 000-et pedig "két elefántnak" neveznek. Nigériában a 160 000-es számot úgy hívják, hogy „400 találkozik 400-zal”, a 10 000 000-es szám neve pedig nagyjából így fordítható: „Annyi dolog van itt, hogy a számuk óriási” [24] .
A különböző indoeurópai népek számneveinek hasonlósága azt mutatja, hogy még akkor is megjelentek, amikor ezek a népek ugyanazt a nyelvet beszélték, vagyis a történelem előtti időszakra utal:
| Szám | latin | görög | angol | Deutsch | Francia | orosz |
|---|---|---|---|---|---|---|
| egy | uno | monó | egy | ein | ENSZ | egy |
| 2 | duó | átm | két | zwei | deux | két |
Vannak nyelvek, amelyek teljesen (vagy majdnem teljesen) mentesek a számoktól. Levi Konent amerikai matematikus munkájában példaként a bolíviai Chiquita és Takana törzsek nyelveit adják meg [25] .
A tudományban a többiek nevének alapjául szolgáló számokat " csomópont " névvel látják el. Azok a számok, amelyek neve másokat tartalmaz, az " algoritmikus " nevet kapja [26] . Tehát kulcsfontosságúak a három, hat, tíz, negyven, száz számok, hiszen a nevüket nem lehet kompozícióval szétszedni. A hatvanas szám algoritmikus, mivel a neve a hatos és tízes csomópontok nevéből áll. Az algoritmikus számok csomópontszámokból különböző módon képezhetők. Az alábbiakban példákat mutatunk be ilyen formációkra.
Additív elvAz első számrendszerek az additív elvet alkalmazták. Ez abban rejlik, hogy az algoritmikus számok nevei csomóponti számokból összeadás útján keletkeznek , akárcsak a tizenhetes szám neve . A táblázatban példaként látható a Torres-szoros szigetein élő Gumulgel törzs és a Bakairi törzs számrendszere.
| A Gumulgel törzs számrendszere | A bakairi törzs számrendszere | |||
|---|---|---|---|---|
| Szám | Név | Szám | Név | |
| egy | Urapun | egy | tokale | |
| 2 | Okoza | 2 | ahage | |
| 3 | Okoza-urapun | 3 | ahage-tokale | |
| négy | Okoz-okoz | négy | ahage-ahage | |
| 5 | Okoza-okoza-urapun | 5 | ahage-ahage-tokale | |
| 6 | Okoz-okoz-okoz | 6 | Ahage-ahage-ahage | |
Mint látható, csak az 1-es és 2-es számoknak van saját neve, a többi számnak származékos neve. A 7-nél nagyobb számok esetében ezeknek a törzseknek csak egy szavuk van, ami sokat jelent.
Kivonási elvA bonyolultabb numerikus rendszerek is alkalmazták a kivonás elvét. Ez azt jelenti, hogy egyes algoritmikus számok neve csomópontszámokból kivonással képezhető .
A kivonási elv például a római számozási rendszerben látható, ahol a 9-es számot IX -ként írják, azaz 10-1-ként. Az afrikai joruba törzs egy meglehetősen bonyolult kivonó számrendszert használt 20-as alappal :
| A joruba nép számrendszere | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Szám | Név | Név dekódolás | Szám | Név | Név dekódolás | |
| egy | kan | egy | 31 | mokonlel ogbon | +1+30 | |
| 2 | meji | 2 | 32 | mejilel ogbon | +2+30 | |
| 3 | meta | 3 | 33 | fém ogbon | +3+30 | |
| négy | merin | négy | 34 | merinlel ogbon | +4+30 | |
| 5 | maruun | 5 | 35 | maruundinl ogoji | -5+20×2 | |
| 6 | mefa | 6 | 36 | merindinl ogoji | -4+20×2 | |
| 7 | meje | 7 | 37 | metadinl ogoji | -3+20×2 | |
| nyolc | mejo | nyolc | 38 | mejidinl ogoji | -2+20×2 | |
| 9 | mesan | 9 | 39 | mokondinl ogoji | -1+20×2 | |
| tíz | mewa | tíz | 40 | ogoji | 20×2 | |
| tizenegy | mokon laa | +1+10 | 41 | mokonl ogoji | +1+20×2 | |
| 12 | meji laa | +2+10 | 42 | mejil ogoji | +2+20×2 | |
| 13 | meta laa | +3+10 | 43 | fém ogoji | +3+20×2 | |
| tizennégy | merin laa | +4+10 | 44 | merinl ogoji | +4+20×2 | |
| tizenöt | meeed ogun | -5+20 | 45 | maruundinla adota | -5-10+20×3 | |
| 16 | merindinl ogun | -4+20 | 46 | merindinla adota | -4-10+20×3 | |
| 17 | metadinl ogun | -3+20 | 47 | metadinla adota | -3-10+20×3 | |
| tizennyolc | mejidinl ogun | -2+20 | 48 | mejidinla adota | -2-10+20×3 | |
| 19 | mokondinl ogun | -1+20 | 49 | mokondinla adota | -1-10+20×3 | |
| húsz | ogun | húsz | ötven | adota | -10+20×3 | |
| 21 | mokonlel ogun | +1+20 | 51 | mokonlela adota | +1-10+20×3 | |
| 22 | mejilel ogun | +2+20 | 52 | mejila adota | +2-10+20×3 | |
| 23 | metalel ogun | +3+20 | 53 | metala adota | +3-10+20-×3 | |
| 24 | merinlel ogun | +4+20 | 54 | merinla adota | +4-10+20×3 | |
| 25 | meeed ogbon | -5+30 | 55 | maruundinlogota | -5+20×3 | |
| 26 | Merindinl ogbon | -4+30 | Forrás: Dirk Huylebrouck. Matematika Közép-Afrikában a gyarmatosítás előtt. Közép-afrikai törzsi matematika . Archiválva : 2012. február 7. a Wayback Machine -nél | |||
| 27 | metadinl ogbon | -3+30 | ||||
| 28 | mejidinl ogbon | -2+30 | ||||
| 29 | mokondinl ogbon | -1+30 | ||||
| harminc | ogbon | harminc | ||||
A szorzás elve abban rejlik, hogy egyes algoritmikus számok neve csomópontszámokból szorzással képezhető . Ez látható az olyan számok nevében, mint "hetven", "háromszáz", "négyszáz" stb.
A számláláshoz matematikai modellekkel kell rendelkeznie olyan fontos eseményekről, mint több halmaz egyesítése vagy fordítva, egy halmaz egy részének szétválasztása. Így jelentek meg az összeadás , majd a kivonás műveletei [27] . Abban az esetben, ha sokszor több azonos halmazt kell összeadni, megjelenik egy új művelet - szorzás [28] .
Egy másik fontos gyakorlati művelet - a részekre osztás - végül a negyedik aritmetikai műveletbe - osztásba - absztrahálódtak [ 29] . Az aritmetikai műveletek tulajdonságait fokozatosan fedezték fel.
Az aritmetikai műveletek használatának nagy "lökése" a mérések fejlesztése volt . A mértékegységeket elsősorban azokhoz a testrészekhez társították, amelyekkel könnyen elvégezhető volt (mérés) ( láb (láb), könyök stb.).
A tört fogalma, mint olyan, még az írás megjelenése után sem létezett. A mindennapi életben azonban a „ fél ”, „ harmad ”, „ negyed ” fogalmakat használták. A törtek ilyen „törtrészeinek” nevezője általában 2, 3, 4, 8 vagy 12 volt. Például a rómaiaknál a standard tört uncia ( 1/12 ) volt . A középkori monetáris és mérőrendszerek az ősi nem decimális rendszerek egyértelmű lenyomatát viselik: 1 angol penny \u003d 1/12 shilling , 1 hüvelyk \u003d 1/12 láb , 1 láb \u003d 1/3 yard , tucat \u003d 12 egység stb . Az összetett számításoknál kényelmes tizedes törtek Európában csak a 16. században terjedtek el [30] .
Gyakorlati tevékenysége során az ember sajátos geometriai formákkal, testekkel találkozott. Fokozatosan megtörtént az idealizálásuk - az emberek elvonatkoztattak bizonyos tárgyak hibáitól, ideális ötleteket alkotva. Így jelentek meg a szabályos sokszögek és poliéderek, piramisok, prizmák és forradalomtestek fogalmai. A geometriai alakzatok elnevezésének többsége ógörög [20] .
| koncepció | név eredete |
|---|---|
| rombusz | ógörögből ρόμβος - forgólap |
| trapéz alakú | ógörögből τραπέζιον - táblázat |
| szféra | ógörögből σφαῖρα - labda |
| henger | ógörögből κύλινδρος - henger |
| kúp | az ógörögből κώνος - fenyőtoboz |
| piramis | az egyiptomi piramisok "Purama" nevéből |
| prizma | az ógörögből πρίσμα - valami fűrészelt |
| vonal | latin linea - vászonfonalból |
| pont | a piszkálni igéből |
| központ | az ókori görögből κέντρον - egy hegyes bot neve (iránytű lábai) |
| Forrás: E. I. Berezkina, B. A. Rosenfeld. Őskori idők // A matematika története. Az ókortól a modern idők kezdetéig / Szerk. A. P. Juskevics . - Moszkva: Nauka, 1970-1972. - P. 10-16. — 353 p. - 7200 példány. | |
| A matematika története | |
|---|---|
| Országok és korszakok | |
| Tematikus szakaszok | |
| Lásd még | |