Trapéz

A trapéz ( más görög τραπέζιον - " tábla " szóból τράπεζα - " tábla ") egy konvex négyszög , amelynek két oldala párhuzamos , a másik két oldala pedig nem párhuzamos [1] . Gyakran az utolsó feltételt kihagyják a trapéz definíciójából (lásd alább). A párhuzamos szemközti oldalakat a trapéz alapjainak, a másik kettőt pedig oldalaknak nevezzük. A középvonal az oldalak felezőpontjait összekötő szakasz.

A meghatározás változatai

A trapéznak van egy másik meghatározása is.

A trapéz egy konvex négyszög, amelynek két oldala párhuzamos [2] [3] . E meghatározás szerint a paralelogramma és a téglalap a trapéz speciális esetei. Ennek a definíciónak a használatakor azonban az egyenlő szárú trapéz jeleinek és tulajdonságainak többsége megszűnik igaznak lenni (mivel a paralelogramma lesz a speciális esete). A képlet Általános tulajdonságai című részben megadott képletek a trapéz mindkét definíciójára igazak.

Kapcsolódó definíciók

A trapéz elemei

A párhuzamos ellentétes oldalakat a trapéz alapjainak nevezzük .
A másik két oldalt oldalnak nevezzük .
Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt a trapéz felezővonalának nevezzük.
A trapéz alapjában bezárt szög az alap és az oldal közötti belső szög.

Trapéztípusok

Azt a trapézt , amelynek oldalai egyenlőek, egyenlő szárú trapéznek (ritkábban egyenlő szárú [4] vagy egyenlő szárú [5] trapéznek) nevezzük.
Az oldalt derékszögű trapézt téglalapnak nevezzük .

Egyenlőszárú trapéz
Téglalap alakú trapéz

Tulajdonságok

A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal, és egyenlő az összegük felével. [7]
A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő az alapok különbségének felével, és a középvonalon fekszik.
Az alapokkal párhuzamos és az átlók metszéspontján átmenő szakaszt ez utóbbival ketté kell osztani, és egyenlő a trapéz alapjainak hosszának harmonikus átlagával . ${\frac {2xy}{x+y}}$
A trapézba akkor írhatunk kört, ha a trapéz alapjainak hosszának összege egyenlő az oldalai hosszának összegével.
A trapéz átlóinak metszéspontja, oldalai nyúlványainak metszéspontja és az alapok felezőpontjai ugyanazon az egyenesen vannak.
Ha a trapéz egyik alapjában a szögek összege 90°, akkor az oldalsó oldalak nyúlványai derékszögben metszik egymást, és az alapok felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő az alapok különbségének felével . .
A trapéz átlói 4 háromszögre osztják. Ezek közül kettő, az alapokkal szomszédos, hasonló. A másik kettő, az oldalakkal szomszédos, azonos területtel rendelkezik.
Ha az alapok aránya , akkor az alapokkal szomszédos háromszögek területének aránya . $K$ $K^{2}$
A trapéz magasságát a következő képlet határozza meg:

h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}+ba\jobb) ^{2}}}

ahol a nagyobb alap, a kisebb alap és az oldalak.

b

a

c

d

A trapéz átlói és az oldalaihoz a következő arányban kapcsolódnak: $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

Ezek kifejezetten kifejezhetők:

d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

Ha éppen ellenkezőleg, az oldalak és az átlók ismertek, akkor az alapokat a következő képletekkel fejezzük ki:

a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}

b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}

és ismert alapokkal és átlókkal az oldalak a következők:

c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

Ha ismert a magasság , akkor

h

d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\jobb)^{2}}}

A trapéz Newton-vonala egybeesik a középvonalával .

Egyenlőszárú trapéz

A trapéz akkor és csak akkor egyenlő szárú, ha az alábbi egyenértékű feltételek bármelyike teljesül:

az alapok felezőpontjain áthaladó egyenes az alapokra merőleges (azaz a trapéz szimmetriatengelye);
a felülről a nagyobb alapra süllyesztett magasság két részre osztja, melyek közül az egyik egyenlő az alapok összegének felével, a másik az alapok különbségének felével;
a szögek bármely alapnál egyenlők;
a szemközti szögek összege 180°;
az átlók hossza egyenlő;
egy kör írható le e trapéz körül;
ennek a trapéznek a csúcsai egyben valamilyen antiparallelogramma csúcsai is .

kívül

ha egy egyenlő szárú trapézben az átlók merőlegesek, akkor a magasság az alapok összegének fele.

Beírt és körülírt körök

Ha egy trapéz alapjainak összege egyenlő az oldalak összegével, akkor kör írható bele . A középvonal ebben az esetben egyenlő az oldalak összegének osztva 2-vel (mivel a trapéz középvonala egyenlő az alapok összegének felével).
Trapézben az oldala a beírt kör középpontjából 90°-os szögben látható.
Ha egy trapéz körbe írható, akkor egyenlő szárú.
Egy egyenlő szárú trapéz körülírt körének sugara:

R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(pb)(pc)(p-d_{1})))}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2 }}{4-\left({\frac {ba}{c}}\jobbra)^{2}}}}

ahol az oldalsó oldal, a nagyobb alap, a kisebb alap, az egyenlő szárú trapéz átlói.

p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c

b

a

d_{1}=d_{2}

Ha , akkor egy egyenlő szárú trapézba egy sugarú kör írható $a+b=2c$

r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}

Ha egy trapézba írunk egy sugarú kört , és az érintkezési pont oldalsó oldalát két szakaszra osztja - és -, akkor . $r$ $v$ $w$ $r={\sqrt {vw))$

Terület

Itt vannak a trapézre jellemző képletek. Lásd még az önkényes négyszögek területének képleteit .

Ha a és alapok és magasságok, a területképlet a következő : $a$ $b$ $h$

S={\frac {(a+b)}{2}}ó

- középvonal és - magasság esetén a terület képlete : $m$ $h$

S=\displaystyle mh

Megjegyzés: A fenti két képlet egyenértékű, mert az alapok összegének fele egyenlő a trapéz középvonalával:

m={\frac {(a+b)}{2}}

A képlet, ahol a trapéz alapjai és oldalai vannak: $a<b$ $c$ $d$

S={\frac {a+b}{4(ba)}}{\sqrt {(a+c+db)(a+dbc)(a+cbd)(b+c+da)))).

vagy

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{ 2}}{ba}}+ba\jobbra)^{2}}}

A középső vonal az ábrát két trapézre osztja, amelyek területei a következőképpen kapcsolódnak egymáshoz: [8] $m$

{\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3a+b}{a+3b}}

Egy egyenlő szárú trapéz területe, amelynek kör sugara , és szöge az alapnál : $r$ $\alpha$

S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}

Egy egyenlő szárú trapéz területe:

S=(bc\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma}

ahol az oldal, a nagyobb alap, a kisebb alap, a nagyobb alap és az oldal közötti szög [9] .

c

b

a

\gamma

Egy egyenlő szárú trapéz területe az oldalain keresztül

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(ba)^{2}}}

Történelem

A "trapéz" szó a másik görög görög szóból származik. τραπέζιον "tábla" (a τράπεζα "tábla" szóból rövidítve), jelentése táblázat. Oroszul az "étkezés" (étel) szó ebből a szóból származik.

Jegyzetek

↑ Matematikai enciklopédikus szótár . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1988. - S. 587 .
↑ Minden elemi matematika . Letöltve: 2015. július 6. Az eredetiből archiválva : 2015. július 9.. (határozatlan)
↑ Wolfram MathWorld . Letöltve: 2015. július 6. Az eredetiből archiválva : 2015. április 19. (határozatlan)
↑ Szerzők csapata. Modern tanulói kézikönyv. 5-11 évfolyam. Minden elem . — Liter, 2015-09-03. - S. 82. - 482 p. — ISBN 9785457410022 .
↑ M. I. Skanavi. Alapfokú matematika . - 2013. - S. 437. - 611 p. — ISBN 9785458254489 .
↑ Négyszögek . Archiválva : 2015. szeptember 16. a Wayback Machine -nál
↑ Geometria Kiszeljov szerint Archiválva : 2021. március 1., a Wayback Machine , 99. §.
↑ Zajcev V.V., Ryzskov V.V., Skanavi M.I. Alapfokú matematika. 2. kiadás, átdolgozva. és további — M.: Nauka, 1974. — 592 p.
↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Matematika kézikönyve mérnökök és felsőoktatási intézmények hallgatói számára, 1986. S. 184

Sokszögek

Az oldalak száma szerint

Monogon
Bigon
Háromszög
Négyszög
Pentagon
Hatszög
Hétszög
Nyolcszög
Pentagon
Tíz szög
Hendecagon
Tizenkét szög
Tizenhárom
tetradecagon
Pentagon
Hatszög
Tizenhét
nyolcszög
Tizenkilencszög
Tizenkét szög
Huszonegyoldalú
Huszonkét szög
Twentytrigon
Húsznégyszögletű
Húsz-ötszög
Húsznyolcszög
Tridecagon
Thirty-Biagon
Negyven négyzet
Negyven kétszög
pünkösdi
pünkösdi
Hatszög
Sixty-quad
Heptagon
Nyolcszög
Nonagon
[ hu
Millagon
Tízezer-gon
Százezredik
Milliogon
végtelenség

Helyes

konvex	Háromszög Négyzet Pentagon Hatszög Hétszög Nyolcszög Pentagon tetradecagon Tizenhét 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
csillagkép	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Lakshmi csillaga ) Enneagram Dekagram Endekagram Dodekagram

háromszögek

Négyszögek

Lásd még