Newton vonala

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Newton- vonal egy négyszög átlóinak felezőpontjait összekötő egyenes.

Tétel

Ha egy négyszögben két pár szemközti oldal nem párhuzamos, akkor az átlóinak két felezőpontja egy egyenesen fekszik, amely átmegy a szemközti oldalak metszéspontjait összekötő szakasz felezőpontján. Ezt az egyenest Newton-egyenesnek nevezik (az ábrán vastag vonalként látható).

Egyenértékű megfogalmazás:

Ha egy egyenes, amely nem megy át a háromszög csúcsain, pontokban metszi az oldalait , akkor a szakaszok felezőpontjai kollineárisak . $ABC$ $BC,CA,AB$ $A_{1},B_{1},C_{1}$ $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$

Megjegyzések

A tétel Menelaosz tételéből vezethető le .
A második megfogalmazásban észrevehető, hogy a vonalak egyenlőek. Egy teljes négyszögnek nevezett konfigurációt alkotnak . Azt az egyenest, amelyen e szakaszok felezőpontjai fekszenek, a négyszög Newton-vonalának nevezzük. $AB,BC,CA,A_{1}B_{1}$

Ha négy egyenes érint egy kört, akkor ennek a körnek a közepe ugyanazon a Newton-egyen van. Ezt az állítást Newton-tételnek nevezzük .

Tulajdonságok

Newton egyenese merőleges az Auber-vonalra .
A Newton-vonalon található egy konvex négyszög szemközti oldalainak felezőpontját összekötő két középvonal metszéspontja is ( a négyszög első és második felezővonala ).
Anna tétele , amelyet Pierre Léon Anne francia matematikusról ( fr. Pierre-Léon Anne , 1806–1850) neveztek el, kimondja, hogy bármelynem párhuzamos négyszögben a Newton-vonal azon pontok helye, amelyek a következő tulajdonsággal rendelkeznek: $ABCD$ $O$ $S(\triangle AOB)+S(\triangle COD)=S(\triangle BOC)+S(\triangle DOA)$ ,

ahol a tájolt területet jelenti [1] .

S(\triangle AOB)

\triangle AOB

Megjegyzés 1. Ha a pont a négyszögön belül van , akkor például egyszerűen a háromszög területét jelenti. $O$ $ABCD$ $S(\triangle AOB)$
Megjegyzés 2. Newton tétele szerint a körülírt négyszög Newton-egyenese átmegy a beírt körének P középpontján. A négyszög beírt körének P középpontjára nyilvánvaló az Anna-tétel , mivel a körülírt négyszögben a szemközti oldalak összegei egyenlőek, és az Anna-tételben szereplő négy háromszög magassága közös P csúcsgal , amelybe a négyszög osztva a P ponttal , azonosak és egyenlők a négyszög beírt körének sugarával.

Képlet

Ha egy négyszög egyeneseinek képletei derékszögű koordinátákkal rendelkeznek a következő alakkal

a_{i}x+b_{i}y=c_{i},\quad i={\overline {1,4}}\,,

akkor a neki megfelelő Newton egyenest az egyenlet adja meg

\det(D)\,x+\det(E)\,y={\frac {\det(F)}{2)),

hol vannak olyan méretű mátrixok , amelyekben $D=(d_{ij}),\,E=(e_{ij}),\,F=(f_{ij})$ $4\times 4,$

d_{i1}=e_{i1}=f_{i1}=a_{i}^{2},\quad d_{i2}=e_{i2}=f_{i2}=b_{i}^{ 2},\quad d_{i3}=e_{i3}=f_{i3}=a_{i}b_{i},

d_{i4}=a_{i}c_{i},\quad e_{i4}=b_{i}c_{i},\quad f_{i4}=c_{i}^{2},\ quad i={\overline {1,4}}.

Newton-Gauss vonal

A Newton-Gauss egyenes egy teljes négyszög három átlójának felezőpontját összekötő egyenes .

A legfeljebb két párhuzamos oldallal rendelkező konvex négyszög két átlójának felezőpontja eltérő, ezért egy egyenest határoz meg ( Newton-vonal ). Ha egy ilyen négyszög oldalai továbbra is teljes négyszöget alkotnak , akkor a négyszög átlói az egész négyszög átlói maradnak, és a négyszög Newton-vonalát a teljes négyszög Newton-Gauss-vonalának nevezzük .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Cikkgyűjtemény. Matematikai oktatás. Harmadik sorozat. 11. szám . — Liter, 2015-12-02. - S. 65-66. — 177 p. — ISBN 9785457931350 .

Irodalom

Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .