Varignon-tétel (geometria)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A Varignon-tétel Pierre Varignon által bizonyított geometriai tény, amely szerint egy tetszőleges négyszög oldalainak felezőpontjai egy paralelogramma csúcsai:

Az a négyszög, amelynek csúcsai egybeesnek egy tetszőleges négyszög oldalainak felezőpontjaival, olyan paralelogramma , amelynek oldalai párhuzamosak az eredeti négyszög átlóival.

Az oldalak felezőpontjai által alkotott paralelogrammát néha varinonnak vagy varinonnak nevezik .

Következmények

A Varignon paralelogramma középpontja az eredeti négyszög oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz közepén helyezkedik el (ugyanabban a pontban metszik egymást a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok - a Varignon paralelogramma átlói).
A Varignon paralelogramma kerülete megegyezik az eredeti négyszög átlóinak összegével.
A Varignon paralelogramma területe megegyezik az eredeti négyszög területének felével.
Egy téglalap és egy egyenlő szárú trapéz esetén a Varignon paralelogramma egy rombusz , a rombusz esetében pedig egy téglalap .
A Varignon-paralelogramma akkor és csak akkor rombusz, ha az eredeti négyszögben 1) az átlók egyenlőek 2) a kétközépek merőlegesek.
A Varignon-paralelogramma akkor és csak akkor téglalap, ha az eredeti négyszögben: 1) az átlók merőlegesek; 2) a bimediánok egyenlőek.
A Varignon-paralelogramma akkor és csak akkor négyzet, ha az eredeti négyszögben 1) az átlók egyenlők és merőlegesek; 2) a bimediánok egyenlőek és merőlegesek.

Bizonyítás

Bizonyítsuk be, hogy a paralelogramma területe fele az eredeti négyszög területének

Hagyja, hogy az átló átmenjen a négyszögön belül. Ekkor a háromszög területe , ahol a csúcsból húzott háromszög magassága . Hasonlóképpen, a háromszög területe . Ekkor a teljes négyszög területe . De - ez a pontoktól mért távolságok összege , vagyis pontosan a paralelogramma magassága . És mivel a paralelogramma oldala fele olyan hosszú , akkor a paralelogramma területe egyenlő a terület felével , QED $AC$ $ABC$ ${\frac {AC\cdot h_{b}}2}$ $h_{b}$ $ABC$ $B$ $ADC$ ${\frac {AC\cdot h_{d}}2}$ ${\frac {AC(h_{b}+h_{d})}2}$ ${\frac {(h_{b}+h_{d})}2}={\frac {h_{b))2}+{\frac {h_{d))2}$ $AC$ $E$ $H$ $EHGF$ $GH$ $AC$ $ABCD$

konvex négyszög	nem konvex négyszög	önmagát metsző négyszög

Varignon-tétel (geometria)

Következmények

Bizonyítás

Bizonyítsuk be, hogy a paralelogramma területe fele az eredeti négyszög területének

Lásd még

Jegyzetek