Harmonikus átlag

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A harmonikus átlag az egyik módja annak, hogy megértsük egy bizonyos számkészlet "átlagos" értékét. A következőképpen definiálható: legyen megadva pozitív szám , akkor a harmonikus átlaguk olyan szám lesz, hogy $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $H$

{\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}

A harmonikus középértékre egy kifejezett képletet kaphatunk:

H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 }}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1} ^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}

azaz a harmonikus átlag a számok számtani középértékének reciproka -re . $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Tulajdonságok

A harmonikus átlag valóban "átlagos", abban az értelemben, hogy . $\min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_ {n})$
Általában a harmonikus átlag a teljesítmény átlaga -1.
A harmonikus átlag kettős a számtani átlaggal a következő értelemben:

H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})

és

A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})

(ha ez utóbbi definiálva van).

Az átlagos egyenlőtlenség azt mondja ki, hogy a számok harmonikus átlaga nem haladja meg a mértani átlagot , a számtani átlagot és a másodfokú átlagot , és minden átlag csak akkor egyenlő, ha minden szám egyenlő, azaz: $x_{1}=\ldots =x_{n},$

H\leqslant G\leqslant A\leqslant S,

hol a harmonikus átlag;

H

G

— geometriai átlag;

A

- átlagos;

S

- négyzetes közép.

Harmonikus súlyozott átlag

Legyen egy nem negatív számok halmaza és egy számhalmaz , ahol a mennyiség súlyának nevezzük . Ekkor a súlyozott harmonikus átlaguk a szám $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ $w_{i}$ $x_{i}$

H=\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\bigg /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{ i}}}={\dfrac {w_{1}+w_{2}+\lpont +w_{n}}{w_{1}/x_{1}+w_{2}/x_{2}+\lpont +w_{n}/x_{n}}}.

A képletből következik, hogy -kor (amikor minden mennyiség "egyenlő") a szokásos harmonikus átlagot kapjuk. $w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0$

Alkalmazások és példák

A statisztikában a harmonikus átlagot akkor használjuk, ha azokat a megfigyeléseket, amelyekhez a számtani átlag szükséges, az értékek reciprokaként állítjuk be.

A vékonylencse képletben a gyújtótávolság kétszerese egyenlő a lencse és a tárgy közötti távolság, valamint a lencse és a kép közötti távolság harmonikus átlagával. Hasonlóképpen, a harmonikus átlag is szerepel a gömbtükör hasonló képletében .

A pályán az átlagos sebesség, egyenlő szakaszokra bontva, amelyek sebessége állandó, megegyezik a sebességek harmonikus átlagával az út ezen szakaszain. Általánosabban fogalmazva, ha az utat szakaszokra osztjuk, amelyek mindegyikén a sebesség állandó, akkor az átlagsebesség egyenlő lesz a sebességek súlyozott harmonikus átlagával (minden sebességhez a megfelelő szakasz hosszával egyenlő súly tartozik hozzá).

Az ötvözet átlagos sűrűsége megegyezik az ötvözött anyagok sűrűségének súlyozott harmonikus átlagával (a tömegek a megfelelő anyagok részeinek tömegei).

Az ellenállás , amelyet több ellenállás párhuzamos csatlakoztatásával kapunk , egyenlő az ellenállásuk harmonikus átlagával osztva a számukkal. Hasonló állítás igaz a sorosan kapcsolt kondenzátorok kapacitásaira is .

Jegyzetek

↑ Rowe S. Geometriai gyakorlatok egy darab papírral . - 2. kiadás - Odessa: Matesis, 1923. - P. 65. Archív másolat 2012. május 24-én a Wayback Machine -nél

Lásd még

Linkek

Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld – Wolfram webes forrás

Átlagos
Matematika	Teljesítmény átlag ( súlyozott ) harmonikus átlag súlyozott geometriai átlag súlyozott Átlagos súlyozott négyzetes közép Átlagos köbméter mozgóátlag Számtani-geometriai átlag Funkció Átlag Kolmogorov jelentése
Geometria	geometriai középpont Barycenter
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika	Winsorizált átlag minta átlag Várható érték Középső Divat szórás Csonka átlag Feltételes elvárás
Információs technológia	Medoid k-medián módszer
Tételek	Első átlagtétel Második átlagtétel Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról
Egyéb	Elosztóközpont mérőszámai