Átlagos

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A számtani átlag (a matematikában és a statisztikában ) egyfajta középérték . Ez egy olyan szám, amely egyenlő a halmaz összes számának összegével osztva a számukkal. A központi tendencia egyik leggyakoribb mérőszáma .

Ezt ( a geometriai átlaggal és a harmonikus átlaggal együtt ) a pitagoreusok javasolták [1] .

A számtani átlag speciális esetei az átlag ( az általános sokaság ) és a minta átlaga ( a minta ).

Abban az esetben, ha egy stacionárius véletlen folyamat számhalmazának elemeinek száma végtelen, akkor számtani középként egy valószínűségi változó matematikai elvárása játssza a szerepet .

Bevezetés

Jelöljük az X = ( x 1 , x 2 , …, x n ) számok halmazát – ekkor a minta átlagát általában egy vízszintes sáv jelöli a változó felett ( , „ x oszloppal” ejtve). ${\bár {x}}$

A görög μ betűt általában a teljes számsokaság számtani középértékének jelölésére használják . Egy valószínűségi változó esetén, amelyre az átlagértéket definiáltuk, μ a valószínűségi átlag vagy a valószínűségi változó matematikai elvárása . Ha az X halmaz véletlenszámok halmaza μ valószínűségi átlaggal, akkor ebből a halmazból bármely x i mintára μ = E{ x i } ennek a mintának a várható értéke.

A gyakorlatban az a különbség μ és μ között, hogy μ egy tipikus változó, mivel inkább a mintát láthatja, mint a teljes sokaságot . Ezért, ha a mintát véletlenszerűen mutatjuk be ( valószínűségelmélet szempontjából ), akkor (de nem μ) egy valószínűségi változóként kezelhető, amelynek valószínűségi eloszlása van a mintán (az átlag valószínűségi eloszlása). ${\bár {x}}$ ${\bár {x}}$

Mindkét mennyiség kiszámítása azonos módon történik:

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{ 1}+\cdots +x_{n}).

Ha X egy valószínűségi változó , akkor X középértéke az X ismételt mérése során kapott értékek számtani középértékeként fogható fel. Ez a nagy számok törvényének megnyilvánulása . Ezért a minta átlagát használjuk az ismeretlen matematikai várakozás becslésére.

Az elemi algebrában bebizonyosodott, hogy n + 1 szám átlaga akkor és csak akkor nagyobb, mint n szám átlaga, ha az új szám nagyobb, mint a régi átlag, akkor és csak akkor kisebb, ha az új szám kisebb az átlagnál. , és akkor és csak akkor nem változik, ha az új szám az átlag. Minél nagyobb n , annál kisebb a különbség az új és a régi átlagok között.

Vegye figyelembe, hogy számos más „átlag” is elérhető, beleértve a hatványátlagot , a Kolmogorov-átlagot , a harmonikus átlagot , az aritmetikai-geometriai átlagot és a különböző súlyozott átlagokat (pl. számtani súlyozott átlag , geometriai súlyozott átlag , harmonikus súlyozott átlag ).

Példák

Három szám számtani átlagának kiszámításához össze kell adni őket, és el kell osztani 3-mal:

{\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.

Négy szám számtani átlagának kiszámításához össze kell adni őket, és el kell osztani 4-gyel:

{\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.

Folyamatos valószínűségi változó

Ha egy változó valamelyik függvényének van integrálja , akkor ennek a függvénynek a számtani átlagát a szegmensen egy határozott integrál határozza meg : $f(x)$ $[a;b]$

{\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)dx.

Itt a szegmens meghatározásához azt kell érteni , hogy a nevező nem egyenlő 0-val. $[a;b]$ $b\geq a,$ $b\neq a,$

Lineáris transzformáció

Lineárisan transzformált adatkészletet úgy kaphatunk, ha egy metrikusan skálázott adatkészletre lineáris leképezést alkalmazunk az alábbiak szerint: . Ekkor az adathalmaz új átlaga , mivel . $y_{1},\dots ,y_{n}$ $y=a+bx$ $x_{1},\pontok,x_{n}$ ${\displaystyle y_{i}=a+bx_{i},i\in \{1,\dots ,n\))$ ${\overline {y}}=a+b{\overline {x}}$ ${\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}y_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}(a+bx_{i})=a+{\frac {b}{n}}\sum _{i=0}^{n}bx_{i}=a+b {\overline {x))$

Néhány probléma az átlag

A robusztusság hiánya

Bár a számtani átlagot gyakran használják átlagként vagy központi trendként, ez a fogalom nem vonatkozik a robusztus statisztikákra, azaz a számtani átlagot erősen befolyásolják a "nagy eltérések". Figyelemre méltó, hogy a nagy ferdeségű eloszlások esetén a számtani átlag nem feltétlenül felel meg az „átlag” fogalmának, és a robusztus statisztikákból származó átlagértékek (például a medián ) jobban leírhatják a központi trendet.

A klasszikus példa az átlagjövedelem kiszámítása. A számtani átlag tévesen értelmezhető mediánként , ami arra a következtetésre vezethet, hogy többen vannak több jövedelműek, mint amennyi valójában. Az „átlagos” jövedelmet úgy értelmezzük, hogy a legtöbb ember jövedelme megközelíti ezt a számot. Ez az "átlagos" (a számtani átlag értelmében vett) jövedelem magasabb, mint a legtöbb ember jövedelme, hiszen a magas, az átlagtól nagy eltéréssel rendelkező jövedelem erősen torzítja a számtani átlagot (ellentétben a mediánjövedelem "ellenáll"). ilyen ferdeség). Ez az „átlagos” jövedelem azonban semmit sem mond a mediánjövedelemhez közeli emberek számáról (és a modális jövedelemhez közeli emberek számáról sem). Ha azonban az „átlag” és a „többség” fogalmát félvállról veszik, akkor tévesen következtethetünk arra, hogy a legtöbb ember jövedelme magasabb, mint valójában. Például a washingtoni medinai "átlagos" nettó jövedelemről szóló jelentés , amelyet a lakosok összes éves nettó jövedelmének számtani átlagaként számítanak ki, meglepően nagy számot ad – Bill Gates miatt . Tekintsük a mintát (1, 2, 2, 2, 3, 9). A számtani középérték 3,17, de a hat érték közül öt ennél az átlagnál alacsonyabb.

kamatos kamat

Ha a számokat szorozzuk , nem adjuk össze, akkor a geometriai átlagot kell használni , nem a számtani átlagot. Leggyakrabban ez az eset a pénzügyi beruházások megtérülésének kiszámításakor történik .

Például, ha a készletek az első évben 10%-kal estek, a második évben pedig 30%-kal nőttek , akkor a két év "átlagos" növekedését a számtani átlagként számítva ( -10% + 30% ) / 2 = 10 % helytelen, és a helyes átlagot ebben az esetben az összetett éves növekedési ráta adja : az éves növekedés körülbelül 8,16653826392% ≈ 8,2% .

Ennek az az oka, hogy a kamat minden alkalommal új kiindulópontot kap: a 30% az első év eleji árfolyamnál alacsonyabb szám 30%-a: ha a részvény 30 dollárról indult, és 10%-ot esett , akkor a 30%-ot éri el. a második év eleje 27 dollár. Ha a részvény 30%-ot emelkedik , akkor a második év végén 35,1 dollárt ér. Ennek a növekedésnek a számtani átlaga 10% , de mivel a részvény 2 év alatt csak 5,1 dollárt emelkedett, átlagosan 8,2%-os növekedés 35,1 dolláros végeredményt ad:

30 USD × (1 – 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD × (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD. Ha a 10% számtani középértékét ugyanúgy használjuk, akkor nem kapjuk meg a tényleges értéket: 30 $ × (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $.

2. év végi kamatos kamat: 90% * 130% = 117% , azaz összesen 17%-os emelkedés , valamint az átlagos éves kamatos kamat , azaz átlagosan 8,2%-os éves növekedés . ${\sqrt {117\%}}\kb. 108,2\%$

Útvonal

Egyes ciklikusan változó változó számtani középértékének számításakor (például fázis vagy szög ) különös figyelmet kell fordítani. Például 1 ° és 359 ° átlaga 180 ° lenne . Ez az eredmény két okból is helytelen.

Először is, a szögmértékek csak a 0 ° és 360 ° közötti tartományban vannak meghatározva (vagy radiánban mérve 0 és 2π között ). Így ugyanaz a számpár felírható (1° és −1°) vagy (1° és 719°). Az egyes párok átlagértékei eltérőek lesznek: , . ${\frac {1^{\circ }+(-1^{\circ })}{2}}=0^{\circ }$ ${\frac {1^{\circ }+719^{\circ }}{2}}=360^{\circ }$
Másodszor, ebben az esetben a 0° érték (amely 360°-nak felel meg) lesz a geometriailag legjobb átlag, mivel a számok kisebb mértékben térnek el a 0°-tól, mint bármely más értéktől (a 0°-nak van a legkisebb szórása ). Összehasonlításképp:
- az 1° szám csak 1°-kal tér el a 0°-tól;
- az 1°-os szám 179°-kal eltér a 180°-os számított átlagtól.

Egy ciklikus változónak a fenti képlet szerint számított átlagértéke mesterségesen eltolódik a valós átlaghoz képest a numerikus tartomány közepére. Emiatt az átlagot más módon számítják ki, vagyis a legkisebb szórással rendelkező számot (középpontot) választják átlagértéknek. Ezenkívül a kivonás helyett a modulo távolságot (azaz a kerületi távolságot) használják. Például az 1° és 359° közötti moduláris távolság 2°, nem pedig 358° (a 359° és 360° közötti körön = 0° - egy fok, 0° és 1° között - szintén 1°, összesen - 2°).

Jegyzetek

↑ Cantrell, David W., "Pythagorean Means" Archiválva : 2011. május 22. a MathWorld Wayback Machine -nél

Lásd még

Linkek

Aritmetikai átlag // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
pénzügyi matematika. Diszperzió. Átlagos. szórás. Variációs együttható archiválva : 2020. szeptember 19. a Wayback Machine -nél / Pénzügyi elemzés módszerei
Számtani közép - a központi tendencia mutatója / Valószínűségelmélet és matematikai statisztika

Átlagos
Matematika	Teljesítmény átlag ( súlyozott ) harmonikus átlag súlyozott geometriai átlag súlyozott Átlagos súlyozott négyzetes közép Átlagos köbméter mozgóátlag Számtani-geometriai átlag Funkció Átlag Kolmogorov jelentése
Geometria	geometriai középpont Barycenter
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika	Winsorizált átlag minta átlag Várható érték Középső Divat szórás Csonka átlag Feltételes elvárás
Információs technológia	Medoid k-medián módszer
Tételek	Első átlagtétel Második átlagtétel Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról
Egyéb	Elosztóközpont mérőszámai