Számtani-geometriai átlag

A számtani-geometriai átlag ( aritmetikai-geometriai átlag , AGS ) két mennyiségre meghatározott érték és a sorozat határaként , , ahol: $a$ $b$ $\{a_{N}\}$ $\{b_{N}\}$

a_{0}=a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_{0}=b

a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}

a_{2}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{2}={\sqrt {a_{1}b_{1}}}

…

a_{N}={\frac {a_{{N-1}}+b_{{N-1}}}{2}}\quad \quad b_{N}={\sqrt {a_{{N-1 }}b_{{N-1}}}}

ugyanarra a határértékre vonatkozik: [1] [2] $N\to +\infty$

\lim _{{N\to \infty }}a_{N}=\lim _{{N\to \infty }}b_{N}=M(a,b)

Az AGS segítségével gyorsan kiszámítható a matematikai inga pontos periódusa . [3]

Két mennyiség módosított aritmetikai-geometriai átlaga ( MAGS ) ésés a (növekvő) sorozat (közös) határa, ahol,és. $x$ $y$ $\{x_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ $x_{0}=x$ $y_{0}=y$ $z_{0}=0$

x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}

y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

A MAGS segítségével gyorsan ki lehet számítani a menet hosszát a taszítóerők lineáris párhuzamos mezőjében.

A MAGS kifejezhető AGS-ben, a MAGS ilyen közvetett számítása előnyösebb, ha egy ellipszis kerületének hosszát féltengelyekkel és : $L$ $a$ $b$

L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b))),

hol vannak a és számok AGS-e , és a számok MAGS-e és . Így egy ilyen képlet a Gauss-módszert fejezi ki másodfokú konvergenciával a második típusú teljes elliptikus integrál kiszámítására. [3] $M(x;y)$ $x$ $y$ $N(x;y)$ $x$ $y$

Alkalmazások

Az AGS és a MAGS segítségével néhány transzcendentális függvény és szám $\pi$ értéke kiszámítható . Például a Gauss-Salamina képlet [4] szerint :

\pi ={\frac {2M\left(1;{\sqrt {2}}\right)^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{ j}c_{j}^{2}}},

ahol , , . $c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)$ $a_{0}=1$ $b_{0}={\sqrt {2}}$

Ugyanakkor, ha vesszük:

a_{0}=1,\quad \quad \quad b_{0}=\cos \alpha

akkor

\lim _{N\to \infty }a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )))

hol van a teljes elliptikus integrál $K(\alpha )$

K(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))(1-\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )^{-{\ frac {1}{2}}}d\theta

Vagyis a következő képlettel fejezzük ki: $\pi$

\pi ={\frac {M({\sqrt {2)))^{2}}{N(2)-1}}

ahol AGS 1 és , valamint MAGS 1 és [3] . $M(x)$ $x$ $N(x)$ $x$

Ezt a tulajdonságot, valamint a Landen-féle transzformációkat [5] felhasználva Brent javasolta [6] az első AGS-algoritmusokat a legegyszerűbb transzcendentális függvények gyors kiszámítására ( ). A jövőben az AGS-algoritmusok tanulmányozását és használatát számos szerző folytatta [7] $e^{x},\cos x,\sin x$

Jegyzetek

↑ B.C. Carlson. Aritmetikai és geometriai eszközöket tartalmazó algoritmusok (angol) // Amer. Math. Havi : folyóirat. - 1971. - 1. évf. 78 . - P. 496-505 . - doi : 10.2307/2317754 .
↑ B.C. Carlson. Algoritmus logaritmusok és arctangensek kiszámításához // Math.Comp . : folyóirat. - 1972. - 1. évf. 26 , sz. 118 . - P. 543-549 . - doi : 10.2307/2005182 .
↑ 1 2 3 Adlaj, Semjon (2012. szeptember), Beszédes képlet egy ellipszis kerületére , Az AMS közleményei 76. kötet (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477 , doi : 10.1079 , < noti8 . ://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf > Archiválva : 2016. május 6. a Wayback Machine -nél
↑ E. Salamin Számtani-geometriai átlag számítása // Math . Összeg. : folyóirat. - 1976. - 1. évf. 30 , sz. 135 . - P. 565-570 . - doi : 10.2307/2005327 . $\pi$
↑ Landen, J. XXVI. Egy általános tétel vizsgálata tetszőleges kúpos hiperbola tetszőleges ívének hosszának meghatározására két elliptikus ív segítségével, és ebből néhány más új és hasznos tétel is levezethető // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1775. - Kt. 65 . - 283-289 . o . — ISSN 0261-0523 . - doi : 10.1098/rstl.1775.0028 .
↑ R.P. Brent . Az elemi függvények gyors többszörös pontosságú értékelése // J. Assoc. Comput. Mach. : folyóirat. - 1976. - 1. évf. 23 , sz. 2 . - P. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
↑ JM Borwein és PB Borwein Pi és a közgyűlés . - New York: Wiley, 1987. - ISBN 0-471-83138-7 .

Átlagos
Matematika	Teljesítmény átlag ( súlyozott ) harmonikus átlag súlyozott geometriai átlag súlyozott Átlagos súlyozott négyzetes közép Átlagos köbméter mozgóátlag Számtani-geometriai átlag Funkció Átlag Kolmogorov jelentése
Geometria	geometriai középpont Barycenter
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika	Winsorizált átlag minta átlag Várható érték Középső Divat szórás Csonka átlag Feltételes elvárás
Információs technológia	Medoid k-medián módszer
Tételek	Első átlagtétel Második átlagtétel Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról
Egyéb	Elosztóközpont mérőszámai