Teljesítmény átlag

A d hatványátlag (vagy egyszerűen a hatványátlag ) egyfajta átlag . Pozitív valós számok halmazához a következőképpen definiálható $x_{1},\ldots ,x_{n}$

A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{ i}^{d}}{n}}}.

Ugyanakkor a d mutató tekintetében a folytonosság elve szerint a következő értékeket határozzák meg:

A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})= {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};

A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{ n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};

A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{ n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.

A hatványátlag a Kolmogorov-átlag speciális esete .

Az "átlag teljesítmény" fogalma mellett egyes mennyiségek súlyozott teljesítményátlagát is használják.

Egyéb címek

Mivel a d fok átlaga általánosítja az ősi (úgynevezett arkhimédeszi) átlagokat, gyakran általánosított átlagnak nevezik .

Minkowski és Hölder egyenlőtlenségei kapcsán a hatványközépnek is van neve: Hölder átlaga és Minkowski átlaga .

Különleges esetek

Átlagos fokok 0, ±1, 2 és saját neveik vannak: $\pm\infty$

$A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$ számtani középnek nevezzük ;

(más szóval: n szám számtani közepe az összegük osztva n -nel )

$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}$ mértani átlagnak nevezzük ;

(más szóval: n szám geometriai átlaga ezeknek a számoknak a szorzatának n -edik gyöke)

$A_{{-1))(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1 }{x_{2))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n))))}$ harmonikus átlagnak nevezzük .

(más szóval: a számok harmonikus közepe a reciprok számtani középértékének reciproka)

$A_{{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ az átlagos négyzet (négyzet) , más néven RMS (root-mean-square) rövidítés.
A statisztikai gyakorlatban harmad- és magasabb rendű hatványtörvény átlagokat is használnak. Ezek közül a legelterjedtebbek az átlagos köbös és átlagos bikvadratikus értékek.
A pozitív számok halmazának maximális és minimális számát a következő számok hatványainak átlagaként fejezzük ki : $+\infty$ $-\infty$

\operátornév {max}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{+\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n});

\operátornév {min}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{-\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n}).

Az egyenlőtlenség körülbelül azt jelenti

Az átlagos egyenlőtlenség azt mondja ki, hogy bármely $d_{1}>d_{2}$

A_{{d_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{{d_{2}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})

sőt, az egyenlőség csak akkor érhető el, ha minden érv egyenlő . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Az átlagos egyenlőtlenség bizonyításához elegendő megmutatni, hogy a vonatkozású parciális derivált nem negatív, és csak a -nál tűnik el (például a Jensen-egyenlőtlenség használatával ), majd alkalmazzuk a véges növekmény képletét . $A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $d$ $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról

Az átlagokkal kapcsolatos egyenlőtlenség speciális esete a számtani, geometriai és harmonikus átlag egyenlőtlensége

\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}\geq {\frac {n}({\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},

ahol az egyenlőtlenségek mindegyike csak akkor válik egyenlővé . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Lásd még

Schweitzer egyenlőtlensége

Linkek

I. I. Zhogin. Az átlagokról // Matematikai oktatás . Második sorozat. - 1961. - Kiadás. 6 . - S. 217-226 .

Átlagos
Matematika	Teljesítmény átlag ( súlyozott ) harmonikus átlag súlyozott geometriai átlag súlyozott Átlagos súlyozott négyzetes közép Átlagos köbméter mozgóátlag Számtani-geometriai átlag Funkció Átlag Kolmogorov jelentése
Geometria	geometriai középpont Barycenter
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika	Winsorizált átlag minta átlag Várható érték Középső Divat szórás Csonka átlag Feltételes elvárás
Információs technológia	Medoid k-medián módszer
Tételek	Első átlagtétel Második átlagtétel Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról
Egyéb	Elosztóközpont mérőszámai