Hölder egyenlőtlensége a funkcionális elemzésben és a kapcsolódó diszciplínákban a terek alapvető tulajdonsága .
Legyen tér mértékkel , és véges integrálható -edik fokú forma függvényeinek tere . Ekkor a szeminormát az utóbbiban határozzuk meg :
,ahol általában természetes számnak tekintik.
Hadd , és , hol . Aztán , és
.Fogalmazzuk meg újra a Hölder-féle egyenlőtlenséget úgy, hogy a normákat a megfelelő integrálokkal fejezzük ki.
Legyen olyan tér, amelynek mértéke , , mérhető. Ezután:
A bizonyításhoz a következő állítást használjuk ( Young egyenlőtlensége ):
Tegyük fel
Az egyenlőtlenséget alkalmazva a következőket kapjuk:
Figyeljük meg, hogy az egyenlőtlenség jobb oldala egy halmazon összegezhető (tehát a bal oldal összegezhetősége is következik). Az egyenlőtlenséget a -ba integrálva azt kapjuk, hogy a
Hölder-egyenlőtlenség bebizonyosodott. Megjegyzés: Ha a vagy egyenlő 0-val, akkor ez azt jelenti, hogy vagy ekvivalens nullával , és Hölder egyenlőtlensége nyilvánvalóan érvényes.
A beállítással megkapjuk a tér Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenségét .
Tekintsük az euklideszi teret vagy . -A norma ezen a téren a következő formában van:
,és akkor
.Legyen megszámlálható mérték a . Ekkor az összes sorozat halmaza a következő:
,hívott . A Hölder-féle egyenlőtlenség erre a térre a következőképpen alakul:
.Legyen egy valószínűségi tér . Ekkor olyan valószínűségi változókból áll , amelyek végső pillanata : , ahol a szimbólum a matematikai elvárást jelöli . A Hölder-féle egyenlőtlenség ebben az esetben a következőképpen alakul:
.