Egy valószínűségi változó pillanatai

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. február 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 19 szerkesztést igényelnek .

A valószínűségi változó momentuma egy adott valószínűségi változó eloszlásának numerikus jellemzője .

A fogalom eredete

A matematikában a pillanat közvetlen analógia a fizika és a mechanika pillanatfogalmával. A matematikában egy függvény momentumai kvantitatív mérések, amelyek egy függvény grafikonjának alakjához kapcsolódnak. Például, ha a függvény egy valószínűségi eloszlás , akkor az első momentum a várható érték , a második központi momentum a variancia , a harmadik standardizált momentum a ferdeség , a negyedik standardizált momentum pedig a gördülés . Ha a függvény a tömegsűrűséget írja le, akkor a nulla nyomaték a teljes tömeg, az első nyomaték (a teljes tömegre normalizálva) a tömegközéppont , a második nyomaték pedig a tehetetlenségi nyomaték .

Definíciók

Ha adott egy valószínűségi téren meghatározott valószínűségi változó , akkor: $\displaystyleX,$

$\displaystyle k$ -a valószínűségi változó kezdeti momentuma, ahol a változó $\displaystyleX,$ $k\in {\mathbb {N}),$

\nu _{k}=\mathbb {M} \left[X^{k}\right],

ha ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán a matematikai elvárás definiálva van;

\mathbb {M} [*]

$\displaystyle k$ -a valószínűségi változó központi momentumát értéknek nevezzük $\displaystyle X$

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[(X-\mathbb {M} X)^{k}\jobbra],

$\displaystyle k$ Egy valószínűségi változó -edik abszolút és -edik központi abszolút momentumát mennyiségeknek nevezzük $\displaystyle k$ $\displaystyle X$

\nu _{k}=\mathbb {M} \left[|X|^{k}\right]

és

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[|X-\mathbb {M} X|^{k}\right],

$\displaystyle k$ -a valószínűségi változó -adik faktoriális momentuma a mennyiség $\displaystyle X$

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],

ha ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán definiáljuk a matematikai elvárást. [egy]

Abszolút momentumok nem csak egész számokra definiálhatók, hanem bármely pozitív valós számra is, ha a megfelelő integrálok konvergálnak. $k$

Jegyzetek

Ha harmadrendű momentumok vannak definiálva, akkor minden alacsonyabb rendű momentum is definiálva van $\displaystyle k$ $1\leqslant k'<k.$
A matematikai elvárás linearitása miatt a központi momentumok a kezdeti mozzanatokkal fejezhetők ki: $\mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}\nu _{ks}\nu _ {1}^{s}}$ .

Néhány pillanat geometriai jelentése

$\displaystyle \mu _{2}$ egyenlő az eloszlás varianciájával, és az eloszlás átlag körüli terjedését mutatja. $\displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})$
$\displaystyle \mu _{3}$ , megfelelően normalizált, az eloszlás szimmetriájának numerikus jellemzője. Pontosabban a kifejezés

{\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}

ferdeségi tényezőnek nevezzük .

$\displaystyle \mu _{4}$ megmutatja, hogy milyen nehéz az eloszlás farka. Érték

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4)){\sigma ^{4))}-3

eloszlás kurtózis együtthatójának nevezzük

\displaystyle X.

Pillanatok számítása

A pillanatok a definíción keresztül közvetlenül számíthatók a valószínűségi változó megfelelő hatványainak integrálásával . Konkrétan egy abszolút folytonos sűrűségű eloszláshoz a következőkkel rendelkezünk: $\displaystyle f(x)$

\nu _{k}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x^{k}\,f(x)\,dx,

ha $\nu _{k}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty },$

diszkrét eloszlásra pedig valószínűségi függvénnyel

\displaystyle p(x):

\nu _{k}=\sum \limits _{{x}}x^{k}\,p(x),

ha $\nu _{k}=\sum \limits _{{x}}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.$

Ezenkívül egy valószínűségi változó pillanatai kiszámíthatók a karakterisztikus függvényen keresztül : $\displaystyle \phi (t)$

\nu _{k}=\left.i^{-k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\phi (t)\right\vert _{t= 0}.

Ha az eloszlás olyan, hogy a nulla valamely környezetében momentumokat generáló függvény van definiálva, akkor a momentumok a következő képlettel számíthatók ki: $\displaystyle M(t),$

\nu _{k}=\left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M(t)\right\vert _{{t=0}}.

Általánosítások

Figyelembe vehet nem egész értékeket is . Az argumentum függvényének tekintett momentumot Mellin-transzformációnak nevezzük . $k$ $k$

Tekinthetjük egy többdimenziós valószínűségi változó momentumait. Ekkor az első momentum egy azonos dimenziójú vektor lesz, a második egy második rangú tenzor (lásd kovariancia mátrix ) egy azonos dimenziójú tér felett (bár figyelembe vehetjük ennek a mátrixnak a nyomát is, ami skalárt ad). a variancia általánosítása). Stb.

Lásd még

kép pillanata

Jegyzetek

↑ G. Kramer. A statisztika matematikai módszerei. - 2. kiadás - M .: Mir, 1975. - S. 196-197, 284. - 648 p.