Valószínűségi eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 33 szerkesztést igényelnek .

A valószínűségi eloszlás olyan törvény, amely leírja egy valószínűségi változó értéktartományát és ezeknek az értékeknek a megfelelő előfordulási valószínűségét.

Definíció

Legyen adott egy valószínűségi tér , és definiáljunk rajta egy valószínűségi változót . Konkrétan definíció szerint egy mérhető tér mérhető térbe való leképezése , ahol a Borel szigma-algebrát jelöli a -n . Ekkor a valószínűségi változó a következőképpen indukál egy valószínűségi mértéket : $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $x$ $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $x$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$

\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B))(\mathbb {R} ).

A mértéket a valószínűségi változó eloszlásának nevezzük . Más szóval, így beállítja annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó a halmazba esik . $\mathbb {P} ^{X}$ $x$ $\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)$ $\mathbb {P} ^{X}(B)$ $x$ $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

Eloszlások osztályozása

A függvényt a valószínűségi változó (halmozott) eloszlásfüggvényének nevezzük . A tétel a valószínűség tulajdonságaiból következik : $F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)$ $x$

Bármely valószínűségi változó eloszlásfüggvénye kielégíti a következő három tulajdonságot: $F_{X}(x)$

$F_{X}$ nem csökkenő függvény;
$\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$ ;
$F_{X}$ folyamatos a jobb oldalon.

Abból a tényből, hogy a valós egyenesen a Borel szigma-algebrát a forma intervallumcsaládja generálja , a következő tétel következik : $\{(-\infty ,x]\}_{x\in \mathbb {R} }$

Bármely függvény , amely megfelel a fent felsorolt három tulajdonságnak, eloszlásfüggvénye bizonyos eloszlásoknak . $F(x)$ $\mathbb {P} ^{X}$

Bizonyos tulajdonságokkal rendelkező valószínűségi eloszlások esetében kényelmesebb módok is megadhatók. Ugyanakkor az eloszlásokat (és a valószínűségi változókat) általában az eloszlásfüggvények jellege szerint osztályozzák [1] .

Diszkrét eloszlások

Egy valószínűségi változót egyszerűnek vagy diszkrétnek nevezünk, ha legfeljebb megszámlálható számú értéket vesz fel. Vagyis hol van egy partíció . $x$ $X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}$ $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $\Omega$

Egy egyszerű valószínűségi változó eloszlását definíció szerint a következőképpen adja meg: . A jelölés bevezetésével meghatározhatja a függvényt . A valószínűség tulajdonságai miatt . Megszámlálható additivitás segítségével könnyen kimutatható, hogy ez a függvény egyedileg határozza meg az eloszlást . $\mathbb {P} ^{X}(B)=\összeg _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})$ $p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})$ $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $\mathbb {P}$ $x$

Valószínűségek halmaza, ahol egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának nevezzük . Az értékek és valószínűségek halmazát a valószínűség-eloszlás diszkrét törvényének nevezik [2] . $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $x$ $a_{i},i=1,2...\infty$ ${\displaystyle p_{i},i\in {1,2...\infty ))$

A fentiek illusztrálására nézzük meg a következő példát.

Legyen a függvény definiálva úgy, hogy és . Ez a függvény egy valószínűségi változó eloszlását határozza meg , amelyhez (lásd a Bernoulli-eloszlást , ahol a valószínűségi változó veszi az értékeket ). A valószínűségi változó egy kiegyensúlyozott érmefeldobás modellje. $p$ $p(-1)={\frac {1}{2}}$ $p(1)={\frac {1}{2}}$ $x$ $\mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2))$ $0.1$ $x$

A diszkrét valószínűségi változók további példái a Poisson-eloszlás , a binomiális eloszlás és a geometriai eloszlás .

Egy diszkrét eloszlás a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

$p_{i}\geqslant 0$ ,
$\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$ , ha az értékkészlet véges - a valószínűség tulajdonságaiból,
Az eloszlásfüggvénynek van véges vagy megszámlálható első típusú szakadási pontkészlete, $F_{X}(x)$
Ha a folytonossági pont , akkor létezik . $x_{0}$ $F_{X}(x)$ ${\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0$

Rácseloszlások

A rácseloszlás egy diszkrét eloszlásfüggvénnyel rendelkező eloszlás, és az eloszlásfüggvény szakadási pontjai a formájú pontok részhalmazát alkotják , ahol valós, , egész szám [3] . $a+nh$ $a$ $h>0$ $n$

Tétel. Ahhoz, hogy az eloszlásfüggvény lépéses rács legyen , szükséges és elegendő, hogy a karakterisztikus függvénye kielégítse a [3] összefüggést . $F$ $h$ $f$ $|f(2\pi /h)|=1$

Teljesen folyamatos elosztások

Egy valószínűségi változó eloszlását abszolút folytonosnak mondjuk , ha létezik olyan nemnegatív függvény , hogy . A függvényt ezután a valószínűségi változó valószínűségi sűrűségeloszlásának nevezzük . Az ilyen eloszlások függvénye Lebesgue értelmében abszolút folytonos . $x$ $f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ $\mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx$ $f_{X}$ $x$

Az abszolút folytonos eloszlások példái a normál eloszlás , az egyenletes eloszlás , az exponenciális eloszlás , a Cauchy - eloszlás .

Példa. Legyen , mikor és egyébként. Aztán ha . $f(x)=1$ $0\leqslant x\leqslant 1$ $f(x)=0$ $\mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=ba$ $(a,b)\alhalmaz [0,1]$

Bármilyen eloszlási sűrűségre a következő tulajdonságok igazak: $f_{X}$

$f_{X}(x)\geqslant 0$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$ .

Ennek fordítva is igaz - ha a függvény olyan, hogy: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R}$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ ,

akkor létezik olyan eloszlás , amely a sűrűsége. $\mathbb {P} ^{X}$ $f(x)$

A Newton-Leibniz képlet alkalmazása a következő összefüggésekhez vezet egy abszolút folytonos eloszlás függvénye és sűrűsége között:

$\mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Tétel. Ha folytonos eloszlássűrűség és eloszlásfüggvénye, akkor $f(x)$ $F(x)$

$F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,$
$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$ .

Amikor empirikus (kísérleti) adatokon alapuló eloszlást készítünk, kerülni kell a kerekítési hibákat .

Szinguláris eloszlások

A diszkrét és folytonos valószínűségi változókon kívül vannak olyan változók, amelyek nem diszkrétek és nem folytonosak egyetlen intervallumon sem. Ilyen valószínűségi változók lehetnek például azok, amelyek eloszlásfüggvényei folytonosak, de csak a Lebesgue-mérték nulla halmazán nőnek [4] .

A szinguláris eloszlások azok, amelyek egy nulla mértékhalmazra koncentrálódnak (általában Lebesgue mértékek ).

Az alapeloszlások táblázata

Diszkrét eloszlások

Név	Kijelölés	Paraméter	Hordozó	Sűrűség (valószínűségsorozat)	Mat. elvárás	Diszperzió	jellemző funkció
Diszkrét egyenruha	${\text{R}}\{1,\dots ,N\}$	$N\in \mathbb {N}$	$\{1,\dots ,N\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N)),k\in \{1,\pontok ,N\))$	${\frac {N+1}{2))$	${\frac {N^{2}-1}{12}}$	${\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it}})}}$
Bernoulli	${\text{Bern}}(p)$	$p\in(0,1)$	$\{0,1\}$	$\mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p$	$p$	$p(1-p)$	$pe^{it}+1-p$
Binomiális	${\text{Bin}}(n,p)$	$n\in \mathbb {N} ,p\in (0,1)$	$\{0,\dots ,n\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{nk))$	$n.p.$	$np(1-p)$	$(pe^{it}+1-p)^{n}$
Poisson	${\text{Pois}}(\lambda )$	$\lambda>0$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{+))$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!)}}e^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)))$
Geometriai	${\text{Geom}}(p)$	$p\in (0,1]$	$\mathbb {N}$	$\mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p$	${\frac {1}{p}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2))))$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$

Abszolút folyamatos elosztások

Név	Kijelölés	Paraméter	Hordozó	Valószínűségi sűrűség $f(x)$	F(x) eloszlási függvény	jellemző funkció	Várható érték	Középső	Divat	Diszperzió	Aszimmetria együttható	Kurtosis együttható	Differenciál entrópia	Pillanatok generáló függvénye
egységes folyamatos	$U(a,b)$	$a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ , — eltolási tényező , — léptéktényező $a$ $ba$	${\megjelenítési stílus [a,b]}$	${\dfrac {1}{ba}}I\{x\in [a,b]\}$	${\dfrac {xa}{ba}}I\{x\in [a,b]\}+I\{x>b\}$	${\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(ba)))$	${\frac {a+b}{2))$	${\frac {a+b}{2))$	tetszőleges szám a szegmensből $[a,b]$	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$	$0$	$-{\frac {6}{5}}$	$\ln(ba)$	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
Normál (Gauss)	$N(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R}$ — eltolási tényező , — léptéktényező $\sigma >0$	${\mathbb R}$	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2)){2 \sigma ^{2}}}}}$	${\frac {1}{2}}\left(1+\operátornév {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2))))\ jó jó)$	$e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	$\sigma ^{2}$	$0$	$0$	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$	${\displaystyle e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2))))$
lognormális	$LN(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0$	$(0;+\infty )$	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x) -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {Erf}}\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\jobbra]$	$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}{/2}}$	$e^{{\mu +\sigma ^{2}/2}}$	$e^{{\mu ))$	$e^{{\mu -\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$	$e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.$
Gamma eloszlás	$\Gamma (\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{\beta }x^{\beta -1)){\Gamma (\beta )))e^{-\alpha x))$	${\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\gamma (\beta ,\alpha x)$	$\left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }$	${\frac {\beta }{\alpha }}$		${\frac {\beta -1}{\alpha }}$ nál nél $\beta \geq 1$	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha ^{2))))$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\beta ))))$	${\frac {6}{\beta }}$	${\begin{aligned}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta )\\&+(1-\beta )\psi (\beta )\end{aligned))$	$\left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }$ nál nél $t<\alpha$
Exponenciális	${\text{Exp}}(\lambda )$	$\lambda >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\))$	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x))$	${\frac {\lambda }{\lambda -it))$	${\frac {1}{\lambda ))$	$\ln(2)/\lambda$	$0$	$\lambda ^{-2}$	$2$	$6$	$1-\ln(\lambda )$	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Laplace	${\text{Laplace}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0$ — léptéktényező , — eltolási tényező $\beta\in\mathbb{R}$	${\mathbb R}$	$\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha\|x-\beta\|}$	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2} }e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}$	${\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }$	$\beta$	$\beta$	$\beta$	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2))))$	$0$	$3$	$\ln {\frac {2e}{\alpha ))$	${\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ for }}\|t\|<1/\alpha$
Cauchy	${\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )$	$x_{0}$ — eltolási tényező , — léptéktényező $\gamma > 0$	${\mathbb R}$	${1 \over \pi }\left({\gamma \over \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\jobbra)$	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$	$e^{i\,x_{0}\,t-\gamma \,\|t\|}$	Nem	$x_{0}$	$x_{0}$	$+\infty$	Nem	Nem	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$	Nem
Béta terjesztés	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	$[0,1]$	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}({\text{B}}(\alpha ,\beta )))$	$I_{x}(\alpha ,\beta )$	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\ alfa +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}$ számára $\alpha ,\beta >1$	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ számára $\alpha >1,\beta >1$	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$		$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\jobbra){\frac {t^{k}}{k!)}}$
chi-négyzet	$\chi ^{2}(k)$	$k>0$ a szabadságfokok száma	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2))$	$k$	ról ről $k-2/3$	$k-2$ ha $k\geq 2$	$2\,k$	${\sqrt {8/k))$	$12/k$	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\jobbra)\psi \left({\frac {k}{2}}\jobbra)$	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , ha $2\,t<1$
Diák	${\text{t}}(n)$	$n>0$ a szabadságfokok száma	${\mathbb R}$	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1 }\left({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3}{2));-{\frac {x^{2)) {n}}\jobbra)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})))}}$	${\displaystyle {\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}\|t\|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}\|t\|\right)^{n /2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1))))$ számára $n>0$	$0$ , ha $n>1$	$0$	$0$	${\frac {n}{n-2))$ , ha $n>2$	$0$ , ha $n>3$	${\frac {6}{n-4))$ , ha $n>4$	${\begin{mátrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2}) })\right]\\[0,5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ jobbra]}\end{mátrix}}$	Nem
Halász	$F(d_{1},d_{2})$	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ - szabadsági fokok száma	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1) }\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2))))}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2 )),{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$	${\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}}))) } U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{ 1 }}}\imath s\right)$	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ , ha $d_{2}>2$		${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ , ha $d_{1}>2$	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(d_{2}-4)}},$ ha $d_{2}>4$	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_ {1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ ha $d_{2}>6$	$12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2) ^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right) -\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left (1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2} }\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
Rayleigh	$\mathrm {Rayleigh} (\sigma )$	$\sigma$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}} }$	$1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}$	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\left( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\jobbra)\!-\!i\jobbra)$	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$	$\sigma {\sqrt {\ln(4)))$	$\sigma$	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{{2))}$	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{3/2))))$	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\right)+{\frac {\gamma }{2))$	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2))}\left({\textrm {erf }}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\jobbra)\!+\!1\jobbra)$
Weibulla	$\mathrm {W} (k,\lambda )$	$\lambda >0$ - léptéktényező , - alaktényező $k>0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x} {\lambda ))\right)^{k))$	$1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)$	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k))$	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ számára $k>1$	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k))\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+ {\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\ mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\jobbra)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\ k \ geq 1$
Logisztikai	$L(\mu ,s)$	$\mu$ , $s>0$	${\mathbb R}$	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))$	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ számára $\|ist\|<1$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$	$0$	$6/5$	$\ln(s)+2$	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ számára $\|s\,t\|<1$
Wigner	$\rho (R)$	$R>0$ - sugár	$[-R;+R]$	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\ frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}$ számára $-R\leq x\leq R$	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t))$	$0$	$0$	$0$	${\frac {R^{2}}{4}}$	$0$	$-egy$	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2))$	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t))$
Pareto	${\text{Pareto))(k,x_{\text{m)))$	$x_{\text{m}}>0$ a léptéktényező , $k>0$	$[x_{\text{m));+\infty )$	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$	${\displaystyle k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , ha $k>1$	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$	$x_{\text{m))$	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ nál nél $k>2$	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ nál nél $k>3$	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ nál nél $k>4$	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$	Nem

ahol a gamma-függvény , a nem teljes gamma-függvény , a digamma-függvény , a béta-függvény , a szabályozott nem teljes béta-függvény , a hipergeometrikus függvény , a Bessel-függvény , az első típusú módosított Bessel -függvény , a második típusú nemzetség módosított Bessel-függvénye, a Tricomi- függvény . $\Gamma$ $\gamma$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ $B$ $I_{x}$ $_{1}F_{1}$ ${\displaystyle _{2}F_{1))$ $J_{\alpha }$ ${\displaystyle I_{\nu ))$ ${\displaystyle K_{\nu ))$ $U(a,b,z)$

Többváltozós eloszlások

Név	Kijelölés	Paraméter	Hordozó	Sűrűség (valószínűségsorozat)	Mat. elvárás	Diszperzió	jellemző funkció
Gauss-féle	$N(a,\Sigma )$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n))$ - szim. és neon. def.	$\mathbb {R} ^{n}$	$p(x)={\dfrac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}e^{-{\frac {1}{2}}(xa )^{T}\Sigma ^{-1}(xa)}$	$a$	$\Sigma$	$e^{ia^{T}t-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$

Jegyzetek

↑ Matalickij, Hatskevics. Valószínűségszámítás, Matematikai statisztika és sztochasztikus folyamatok, 2012. - 69. o.
↑ Matalickij, Hatskevics. Valószínűségszámítás, matematikai statisztika és véletlenszerű folyamatok, 2012. - P.68
↑ 1 2 Ramachandran, 1975 , p. 38.
↑ Matalickij, Hatskevics. Valószínűségszámítás, Matematikai statisztika és sztochasztikus folyamatok, 2012. — 76. o.

Irodalom

Valószínűség-eloszlás // Nagyorosz enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
Lagutin M.B. Vizuális matematikai statisztika. - M. : Binom, 2009. - 472 p.
Zsukovszkij M.E. , Rodionov I.V. A valószínűségelmélet alapjai. - M. : MIPT, 2015. - 82 p.
Zsukovszkij M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Bevezetés a matematikai statisztikába. - M. : MIPT, 2017. - 109 p.
Ramachandran B. A karakterisztikus függvények elmélete. - M. : Nauka, 1975. - 224 p.
Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika kézikönyve. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.
Gubarev V.V. Valószínűségi modellek: Kézikönyv 2 részben. - Novoszibirszk.: Novoszibirszk. villamosmérnök in-t, 1992. - 422 p.

Lásd még

marginális eloszlás

Szótárak és enciklopédiák

Nagy norvég

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 119780901 GND : 4121894-2 J9U : 987007557953805171 LCCN : sh85038545 NDL : 00564751 NKC : ph125263

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó