Normális eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. október 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Normális eloszlás
A zöld vonal a normál normál eloszlásnak felel megValószínűségi sűrűség
A diagram színei megegyeznek a fenti diagrammal.elosztási függvény
Kijelölés	$N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)$
Lehetőségek	μ - eltolási tényező ( valós ) σ > 0 - léptéktényező (valós, szigorúan pozitív)
Hordozó	$x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$
Valószínűségi sűrűség	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2)) {2\sigma ^{2}}}\jobbra)$
elosztási függvény	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2))))\right)\ jobb]$
Várható érték	$\mu$
Középső	$\mu$
Divat	$\mu$
Diszperzió	$\sigma ^{2}$
Aszimmetria együttható	$0$
Kurtosis együttható	$0$
Differenciál entrópia	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$
Pillanatok generáló függvénye	$M_{X}\left(t\right)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$
jellemző funkció	$\phi _{X}\left(t\right)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right )$

A normális eloszlás [1] [2] , más néven Gauss- vagy Gauss - Laplace - eloszlás [3] egy valószínűségi eloszlás , amelyet egydimenziós esetben a Gauss -függvénnyel egybeeső valószínűségi sűrűségfüggvény ad meg :

f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}

, ahol a paraméter a matematikai elvárás (átlagérték), a medián és az eloszlási mód, a paraméter pedig a szórás , az eloszlási variancia .

\mu

\sigma

\sigma ^{2}

Így az egydimenziós normális eloszlás egy kétparaméteres eloszláscsalád, amely az eloszlások exponenciális osztályába tartozik [4] . A többváltozós esetet a " Többváltozós normális eloszlás " című cikk írja le.

A standard normál eloszlás egy normális eloszlás átlaggal és szórással $\mu=0$ $\sigma =1.$

Általános információk

Ha egy mennyiség sok véletlenszerű, egymással gyengén függő mennyiség összege, amelyek mindegyike kis mértékben járul hozzá a teljes összeghez, akkor egy ilyen mennyiség központosított és normalizált eloszlása normális eloszlásra hajlamos, kellően sok taggal .

Ez a valószínűségszámítás központi határérték-tételéből következik . A minket körülvevő világban gyakran vannak olyan mennyiségek, amelyek értékét számos független tényező együttes hatása határozza meg. Ez a tény, valamint az, hogy az eloszlást tipikusnak, közönségesnek tartották, oda vezetett, hogy a 19. század végén kezdték használni a „normál eloszlás” kifejezést. A normál eloszlás a tudomány számos területén kiemelkedő szerepet játszik, például a matematikai statisztikában és a statisztikai fizikában .

A normális eloszlású valószínűségi változót normál vagy Gauss-féle valószínűségi változónak nevezzük.

Definíciók

Szabványos normál eloszlás

A normál eloszlás legegyszerűbb esete - a standard normális eloszlás - egy speciális eset, amikor és valószínűségi sűrűsége : $\mu=0$ $\sigma =1.$

\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.

A kifejezésben szereplő faktor biztosítja az integrál normalizálásának feltételét [5] . Mivel a kitevőben szereplő tényező eggyel egyenlő diszperziót ad, ezért a szórása egyenlő 1-gyel. A függvény szimmetrikus a pontban , értéke benne maximális és egyenlő a függvény inflexiós pontjaival : és ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi ))))$ $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\,dx=1$ ${\frac {1}{2))$ $x=0,$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}.$ $x=+1$ $x=-1.$

Gauss a standard normális eloszlást így nevezte : $\sigma ^{2}=1/2,$

\varphi (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.

Normál eloszlás paraméterekkel $\mu ,\sigma$

Minden normál eloszlás a standard normál eloszlás egy változata, amelynek tartományát egy tényező (szórás) megnyújtja, és átviszi (várakozás): $\sigma$ $\mu$

f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\ jobb).

$\mu ,\sigma$ a normális eloszlás paraméterei. A valószínűségi sűrűséget úgy kell normalizálni , hogy az integrál egyenlő legyen 1-gyel. ${\frac {1}{\sigma )),$

Ha egy szabványos normális valószínűségi változó, akkor az érték normális eloszlású lesz matematikai elvárással és szórással , ellenkezőleg, ha egy normál változó paraméterekkel és akkor szabványos normális eloszlású lesz. $Z$ $X=\sigma Z+\mu$ $\mu$ $\sigma.$ $x$ $\mu$ $\sigma ^{2},$ $Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

Ha kinyitjuk a zárójeleket a valószínűségi sűrűségkitevőben, és figyelembe vesszük, hogy , akkor: $1=\ln e$

f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}=e^{-{\frac {1}{2}}\left(2\ln \sigma +\ln 2\pi +\left( {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}=e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{ 2}}{\sigma ^{2}}}-2{\frac {\mu x}{\sigma ^{2}}}+2\ln \sigma +\ln 2\pi +{\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}}}\jobbra)}.

Így minden normális eloszlás valószínűségi sűrűsége egy másodfokú függvény kitevője :

f(x)=e^{ax^{2}+bx+c},

ahol

a=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}},\ b={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},\ c=-\left( \ln \sigma +{\frac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}} }\jobb).

Innentől kezdve az átlagot a -val, a varanciát pedig mint A standard normális eloszlásra és -vel fejezhetjük ki $\mu =-{\frac {b}{2a)),$ $\sigma ^{2}=-{\frac {1}{2a)).$ $a=-1/2,$ $b=0$ $c=-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi .$

Megnevezés

A standard normális eloszlás valószínűségi sűrűségét (nulla átlaggal és egységnyi szórással) gyakran a görög betűvel ( phi ) jelölik [6] . A görög phi betű egy alternatív formáját is gyakran használják . $\phi$ $\varphi$

A normál eloszlást gyakran vagy [7] jelöli . Ha a valószínűségi változó a normál törvény szerint eloszlik átlaggal és variációval, akkor ezt írjuk: $N(\mu ,\sigma ^{2}),$ ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ $x$ $\mu$ $\sigma ^{2},$

X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).

Elosztási függvény

A standard normál eloszlás eloszlásfüggvényét általában nagy görög betűvel ( phi ) jelölik, és egy integrál: $\Phi$

\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2 }\,dt.

A hibafüggvény (valószínűségi integrál) hozzá van rendelve, és megadja annak valószínűségét, hogy egy normál valószínűségi változó átlagosan 0 és variációja 1/2 a szegmensbe kerül : $\operatorname {erf} (x),$ $[-x,x]$

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\ ,dt.

Ezeket az integrálokat nem elemi függvényekben fejezzük ki, és speciális függvényeknek nevezzük . Számos numerikus közelítésük ismert. Lásd alább .

A funkciókat különösen a kapcsolat kapcsolja össze:

\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\ jobb]

A sűrűségközéppel és szórással rendelkező normál eloszlásnak a következő eloszlási függvénye van: $f,$ $\mu$ $\sigma$

F(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf } \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2))))\right)\right].

Használhatja a függvényt - ez megadja annak valószínűségét, hogy a standard normál valószínűségi változó értéke meghaladja : $Q(x)=1-\Phi (x)$ $x$ $x$

P(X>x)

A standard normális eloszlásfüggvény grafikonja a (0; 1/2) pont körül 2-szeres forgásszimmetriával rendelkezik , azaz határozatlan integrálja: $\Phi$ $\Phi (-x)=1-\Phi (x).$

\int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.

Egy szabványos normál valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a sorozat részeivel történő integrálás módszerével bővíthető :

\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-x^{2}/2} \left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1 }}{(2n+1)!!}}+\cdots \right],

ahol a jel kettős faktoriálist jelent . ${\displaystyle!!}$

Az eloszlásfüggvény aszimptotikus kiterjesztése nagy értékek esetén részenkénti integrálással is elvégezhető. $x$

Szórás

A normál eloszlásból származó értékek körülbelül 68% -a az átlagtól legfeljebb egy szórásnyi távolságra van σ ; az értékek körülbelül 95%-a legfeljebb két szórásnyi távolságban található; és 99,7% legfeljebb három. Ez a tény a 3 szigma szabály speciális esete normál mintára.

Pontosabban annak a valószínűsége, hogy normális számot kapunk és között : $\mu -n\sigma$ $\mu +n\sigma$

F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=

\Phi (n)-\Phi (-n)=\operátornév {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2))}\right).

12 jelentős számjegy pontossággal az értékeket a [8] táblázat tartalmazza : $n=1,2,\ldots ,6$

n

p=F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )

1-p

{\frac {1}{1-p}}

OEIS

egy

0,682689492137

0,317310507863

3,15148718753

A178647

0,954499736104

0,045500263896

21.9778945080

A110894

0,997300203937

0,002699796063

370.398347345

A270712

négy

0,999936657516

0,000063342484

15787.1927673

0,999999426697

0,000000573303

1744277.89362

0,999999998027

0,000000001973

506797345.897

Tulajdonságok

Pillanatok

Egy valószínűségi változó pillanatait és abszolút pillanatait a valószínűségi változók matematikai elvárásainak , ill. Ha a matematikai elvárás egy valószínűségi változó, akkor ezeket a paramétereket központi momentumoknak nevezzük . A legtöbb esetben az egész számok pillanatai érdekesek. $x$ ${\displaystyle X^{p))$ $\left|X\right|^{p},$ $\mu =0,$ $p.$

Ha normális eloszlású, akkor minden -1-nél nagyobb valós része esetén (véges) momentumai vannak. A nem negatív egész számok esetében a központi momentumok a következők: $x$ $p$ $p$

\mathbb {E} \left[X^{p}\right]={\begin{cases}0&p=2n+1,\\\sigma ^{p}\,\left(p-1\right) )!!&p=2n.\end{cases}}

Itt van egy természetes szám, és a jelölés a szám dupla faktoriálisát jelenti , vagyis (mivel ez ebben az esetben páratlan) minden páratlan szám szorzatát 1 -től $n$ $(p-1)!!$ $p-1,$ $p-1$ $p-1.$

A nem negatív egész számok központi abszolút momentumai a következők: $p$

\mathbb {E} \left[\left|X\right|^{p}\right]=\sigma ^{p}\,\left(p-1\right)!!\cdot \left. {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&p=2n+1,\\1&p=2n.\end{cases}}\right\}=\sigma ^{p} \cdot {\frac {2^{\frac {p}{2}}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.

Az utolsó képlet tetszőlegesre is érvényes . $p>-1$

Fourier transzformáció és karakterisztikus függvény

A normál valószínűségi sűrűség Fourier-transzformációja átlagos szórással : [9] : $f$ $\mu$ $\sigma$

{\hat {f}}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma t)^{2}},

hol van a képzeletbeli egység .

én

Ha a várakozás , akkor az első tényező 1, és a Fourier -transzformáció egy konstansig a normál valószínűségi sűrűség frekvenciaintervallumokban, 0-val és szórással . átalakítani. $\mu =0,$ $1/\sigma .$ $\varphi$

Valószínűségelméletben egy valós valószínűségi változó eloszlássűrűségének Fourier-transzformációja szorosan összefügg ennek a változónak a karakterisztikus függvényével , amelyet egy valós változó (a Fourier gyakorisági paramétere) matematikai elvárásaként definiálunk, és annak függvénye. átalakítani). A definíció kiterjeszthető egy komplex változóra [10] . Az arány így van írva: $x$ $\varphi _{X}(t)$ $e^{itX}$ $t$ $t$

\varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t).

Végtelen oszthatóság

A normális eloszlás végtelenül osztható .

Ha a és a valószínűségi változók függetlenek és normális eloszlásúak átlaggal és szórással , illetve szórással, akkor ennek is van normális eloszlása átlaggal és varianciával $X_{1}$ $X_{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $\sigma _{1}^{2}$ $\sigma _{2}^{2}$ $X_{1}+X_{2}$ $\mu _{1}+\mu _{2}$ $\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}.$

Ez azt jelenti, hogy egy normális valószínűségi változó tetszőleges számú független normális valószínűségi változó összegeként ábrázolható.

Maximális entrópia

A normál eloszlásnak van maximális differenciális entrópiája minden olyan folytonos eloszlás között, amelyek varianciája nem haladja meg az adott értéket [11] [12] .

A Gauss-féle valószínűségi változó három szigma szabálya

A három szigma szabálya ( ) - egy normális eloszlású valószínűségi változó szinte minden értéke az intervallumban található: $3\sigma$

\left(\mu -3\sigma ;\mu +3\sigma \right),

hol van egy normál valószínűségi változó matematikai elvárása és paramétere.

\mu =\mathbb {E} \xi

Pontosabban, körülbelül 0,9973 valószínűséggel egy normális eloszlású valószínűségi változó értéke a megadott intervallumban található.

Normál pszeudo-véletlen változók szimulációja

Számítógépes szimulációkban, különösen a Monte Carlo módszer alkalmazásakor , kívánatos a normál törvény szerint elosztott mennyiségek alkalmazása. Sok algoritmus szabványos normál értékeket ad, mivel a normál érték a következőképpen kapható meg: $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$

X=\mu +\sigma Z,

ahol Z a normál normál érték.

Az algoritmusok egységes mennyiségek különféle transzformációit is alkalmazzák. A legegyszerűbb közelítő modellezési módszerek a centrális határérték tételen alapulnak . Ha kellően sok független azonos eloszlású mennyiséget adunk hozzá véges varianciával , akkor az összeg normálishoz közeli eloszlású lesz. Például, ha 100 független szabványos egyenletes eloszlású valószínűségi változót ad hozzá, akkor az összeg eloszlása megközelítőleg normális lesz .

Normális eloszlású pszeudo-véletlen változók programozott generálásához célszerű a Box-Muller transzformációt használni . Lehetővé teszi egy normál eloszlású érték létrehozását egy egyenletesen elosztott érték alapján.

Létezik még a Ziggurat algoritmus , amely még a Box-Muller transzformációnál is gyorsabb. Megvalósítása azonban nehezebb, de alkalmazása indokolt olyan esetekben, amikor nagyon nagy számú, egyenlőtlen eloszlású véletlenszám generálása szükséges.

Normál eloszlás a természetben és alkalmazásokban

A normál eloszlás gyakran megtalálható a természetben. Például a következő valószínűségi változókat jól modellezi a normál eloszlás:

eltérés a felvétel során;
mérési hibák (egyes mérőműszerek hibái azonban eltérő eloszlásúak);
a populáció élő szervezeteinek néhány jellemzője.

Ez az eloszlás annyira elterjedt, mert ez egy korlátlanul osztható folytonos eloszlás véges varianciával. Ezért néhányan a határértéken belül közelítik meg, például a binomiális és a Poisson . Ez az eloszlás számos nem determinisztikus fizikai folyamatot modellez [13] .

A többváltozós normális eloszlást a többváltozós valószínűségi változók (véletlenszerű vektorok) vizsgálatánál alkalmazzák. Az ilyen alkalmazások számos példája közül az egyik az emberi személyiség paramétereinek tanulmányozása a pszichológiában és a pszichiátriában .

Kapcsolat más disztribúciókkal

A normál eloszlás egy XI típusú Pearson-eloszlás [14] .
Egy független standard normális eloszlású valószínűségi változó párjának aránya Cauchy-eloszlású [15] . Ez azt jelenti, hogy ha egy valószínűségi változó egy arány (ahol és a független standard normál valószínűségi változók), akkor Cauchy-eloszlású lesz. $x$ $X=Y/Z$ $Y$ $Z$
Ha együttesen független standard normál valószínűségi változók, akkor a valószínűségi változó k szabadságfokú khi - négyzet eloszlású . $z_{1},\ldots ,z_{k}$ $z_{i}\sim N\left(0,1\right),$ ${\displaystyle x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2))$
Ha egy valószínűségi változó lognormális eloszlású , akkor a természetes logaritmusa normális eloszlású. Vagyis ha akkor És fordítva, ha akkor $x$ $X\sim \mathrm {LogN} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right),$ $Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right).$ $Y\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right),$ $X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm {LogN} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right).$
Ha független normális eloszlású valószínűségi változók matematikai elvárásokkal és szórással, akkor a minta átlaga független a minta szórásától [16] , és a következő két változó aránya t-eloszlású lesz, szabadságfokkal: $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ $\mu$ $\sigma ^{2},$ ${\text{n}}-1$

t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}(X_{ 1}+\cdots +X_{n})-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\left[(X_{1}-{\overline {X}} )^{2}+\cdots +(X_{n}-{\overline {X)))^{2}\jobbra]}}}\sim t_{n-1}.

Ha függetlenek a standard normál valószínűségi változók, akkor a normalizált négyzetösszegek aránya Fisher-eloszlású ( ) szabadságfokkal [17] : $X_{1},X_{2},...,X_{n},$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},...,Y_{n))$ ${\text{n)),$ ${\text{m))$

F={\frac {\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\right)/n}{\left (Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{m}^{2}\jobbra)/m}}\sim F_{n,m}.

Két standard normál valószínűségi változó négyzetaránya Fisher-eloszlású szabadságfokkal $\left(1,1\right).$

Történelem

Először 1738-ban jelent meg a normális eloszlás, mint a binomiális eloszlás határa De Moivre "The Doctrine of Chance" [18] második kiadásában . Ez volt az első bizonyítéka a központi határtétel egy speciális esetére . Gauss 1809-ben Az égitestek mozgásának elméletében ezt az eloszlást az égitestek mozgásának ismételt méréseiből eredőként vezette be. Gauss azonban abból az elvből származtatta a valós valószínűségi változók képletét, hogy maximalizálja az összes mérés együttes sűrűségét egy olyan ponton, amelynek koordinátái megegyeznek az összes mérés átlagával. Ezt az elvet később bírálták. 1812-ben Laplace a Moivre-Laplace tételben általánosította Moivre eredményét tetszőleges binomiális eloszlásra, azaz azonos eloszlású független bináris mennyiségek összegeire [3] . $p={\tfrac {1}{2}}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Wentzel E. S. Valószínűségelmélet. - 10. kiadás, sztereotip .. - M . : Academia , 2005. - 576 p. — ISBN 5-7695-2311-5 .
↑ Shiryaev A.N. Valószínűség. - M .: Nauka, 1980.
↑ 1 2 Matematikai enciklopédikus szótár . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1988. - S. 139 -140.
↑ Wasserman L. Összes statisztika . - New York, NY: Springer, 2004. - 142. o . — 433 p. — ISBN 978-1-4419-2322-6 .
↑ Bizonyítás, lásd Gauss integrál
↑ Halperin, Hartley & Hoel, 1965 , 7. tétel.
↑ McPherson (1990 )
↑ Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine . Wolframalpha.com . Letöltve: 2017. március 3. (határozatlan)
↑ Bryc (1995 , 23. o.)
↑ Bryc (1995 , 24. o.)
↑ Borító, Thomas M.; Thomas, Joy A. Az információelmélet elemei. - John Wiley and Sons , 2006. - 254. o.
↑ Park, Sung Y.; Bera, Anil K. Maximum Entropy Autoregresszív feltételes heteroszkedaszticitási modell // Journal of Econometrics : folyóirat. - Elsevier, 2009. - P. 219-230 . Archiválva az eredetiből 2016. március 7-én.
↑ Taleb N. N. Fekete hattyú. A kiszámíthatatlanság jele alatt = The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. - Kolibri, 2012. - 525 p. - ISBN 978-5-389-00573-0 .
↑ Korolyuk, 1985 , p. 135.
↑ Galkin V. M., Erofeeva L. N., Leshcheva S. V. A Cauchy eloszlási paraméter becslései // Proceedings of the Nizhny Novgorod State Technical University. R. E. Alekszejeva . - 2014. - 2. szám (104). - S. 314-319. - UDC 513.015.2 .
↑ Lukács, Eugene. A normális eloszlás jellemzése // The Annals of Mathematical Statistics : folyóirat. - 1942. - 1. évf. 13 , sz. 1 . - P. 91-3 . — ISSN 0003-4851 . - doi : 10.1214/aoms/1177731647 . — .
↑ Lehmann, E. L. Statisztikai hipotézisek tesztelése . — 2. — Springer, 1997. - S. 199 . — ISBN 978-0-387-94919-2 .
↑ Az esélyek tana; vagy a játékban lévő események valószínűségének kiszámítására szolgáló módszer, L., 1718, 1738, 1756; L., 1967 (reprodukálva); Miscellanea analytica de scriebus et quadraturis, L., 1730.

Irodalom

Korolyuk V. S. , Portenko N. I. , Skorokhod A. V. , Turbin A. F. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika kézikönyve. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.
Halperin, Max; Hartley, Herman O.; Hoel, Paul G. A statisztikai szimbólumok és jelölések javasolt szabványai. COPSS Szimbólumok és Jelölések Bizottsága // The American Statistician : folyóirat. - 1965. - 1. évf. 19 , sz. 3 . - 12-14 . o . - doi : 10.2307/2681417 . — .
McPherson, Glen. Statisztika a tudományos kutatásban : alapja, alkalmazása és értelmezése . - Springer-Verlag , 1990. - ISBN 978-0-387-97137-7 .
Bryc, Wlodzimierz. A normál eloszlás: Jellemzők alkalmazásokkal . - Springer-Verlag , 1995. - ISBN 978-0-387-97990-8 .

Linkek

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán nagy kínai Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 119421818 J9U : 987007560462505171 LCCN : sh85053556 NKC : ph123321

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó