Többváltozós normális eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A többváltozós normális eloszlás (vagy többváltozós Gauss-eloszlás ) a valószínűségszámításban az egydimenziós normális eloszlás általánosítása . A többváltozós normális eloszlású véletlen vektort Gauss-vektornak nevezzük [1] .

Definíciók

Egy véletlen vektor többváltozós normális eloszlású, ha az alábbi egyenértékű feltételek egyike igaz: ${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})^{{\top }}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

A vektorkomponensek tetszőleges lineáris kombinációja normális eloszlású vagy állandó (ez az állítás csak akkor működik, ha a matematikai elvárás 0). $\sum \limits _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i}$
Létezik egy független standard normál valószínűségi változók vektora , egy valós vektor és egy dimenziómátrix , amelyek : ${\mathbf {Z}}=(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{{\top }}$ ${\mathbf {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})^{{\top }}$ $\mathbf {A}$ $n \szer m$

{\mathbf {X}}={\mathbf {A}}{\mathbf {Z}}+{\mathbf {\mu }}

Létezik egy dimenziós vektor és egy nemnegatív határozott szimmetrikus mátrix , úgy, hogy a vektor karakterisztikus függvénye a következő alakú: ${\mathbf {\mu }}\in {\mathbb {R}}^{n}$ ${\mathbf {\Sigma ))$ $n\szer n$ $\mathbf {X}$

\phi _{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {u}})=e^{{i{\mathbf {\mu }}^{{\top }}{\mathbf {u} }-{\frac {1}{2}}{\mathbf {u}}^{{\top }}\Sigma {\mathbf {u}}}},\;{\mathbf {u}}\in { \mathbb {R}}^{n}

A nem degenerált normális eloszlás sűrűsége

Ha csak a nem szinguláris kovarianciamátrixú eloszlásokat vesszük figyelembe , akkor a következő definíció is egyenértékű lesz:

Létezik egy dimenziós vektor és egy pozitív-definit szimmetrikus mátrix , így a vektor valószínűségi sűrűsége [2] ::

{\mathbf {\mu }}\in {\mathbb {R}}^{n}

{\mathbf {\Sigma ))

n\szer n

\mathbf {X}

f_{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2}}\vert \Sigma \vert ^{ {1/2}}}}e^{{-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{{\top }}\Sigma ^{{-1}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})))),\;{\mathbf {x}}\in {\mathbb {R}}^{n }

, ahol a mátrix determinánsa , és a mátrix inverze

\vert \Sigma \vert

\Sigma

\Sigma ^{{-1}}

\Sigma

A vektor az átlagvektor és a kovarianciamátrixa . ${\mathbf {\mu ))$ $\mathbf {X}$ $\Sigma$
esetén a többváltozós normális eloszlás a közönséges normális eloszlásra redukálódik. $n=1$
Ha a véletlen vektornak többváltozós normális eloszlása van, akkor írja be . $\mathbf {X}$ $\mathbf {X} \sim {\mathcal {N))(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$

Kétváltozós normális eloszlás

A többváltozós normális eloszlás speciális esete a kétváltozós normális eloszlás. Ebben az esetben két valószínűségi változónk van matematikai elvárásokkal , szórással és kovarianciával . Ebben az esetben a kovarianciamátrix mérete 2, determinánsa pedig az $X_{1},X_{2}$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$ $\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}$ $\sigma_{12}$

\mathrm {det} \Sigma =\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{12}^{2}=\sigma _{1}^ {2}\sigma _{2}^{2}(1-\rho ^{2}),

ahol a valószínűségi változók korrelációs együtthatója . $\rho ={\frac {\sigma _{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}$

Ekkor egy kétdimenziós nem degenerált (korrelációs együttható abszolút értékben nem egyenlő az egységgel) normális eloszlás sűrűsége így írható fel:

f(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2} }}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{\frac {(x_{1}-\mu _{1} )^{2)){\sigma _{1}^{2))}-\rho {\frac {2(x_{1}-\mu _{1})(x_{2}-\mu _{ 2})}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{2}^ {2}}}\jobbra]\jobbra\}

. Abban az esetben, ha (vagyis függőek), összegük továbbra is normális eloszlású, de egy további tag jelenik meg a varianciában : .

X\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2}),Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2} ,\sigma _{2}^{2}),cov(X,Y)=\sigma _{12}

X,Y

2\sigma _{12}

X+Y\sim {\mathcal {N))(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+2\sigma _{12})

A többváltozós normális eloszlás tulajdonságai

Ha egy vektor többváltozós normális eloszlású, akkor összetevői egyváltozós normális eloszlásúak. Ennek a fordítottja igaz, ha a komponensek függetlenek [3] . $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ $X_{i},i=1,\lpontok ,n,$
Ha a valószínűségi változók egyváltozós normális eloszlásúak és együttesen függetlenek , akkor a valószínűségi vektor többváltozós normális eloszlású. Egy ilyen vektor kovarianciamátrixa átlós. $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ $\Sigma$
Ha többváltozós normális eloszlású, és komponensei páronként nem korrelálnak , akkor függetlenek. Ha azonban néhány valószínűségi változó egydimenziós normális eloszlású, és nem páronként korrelál, akkor ebből nem következik, hogy függetlenek és többváltozós normális eloszlásúak. $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ $X_{i},\;i=1,\ldots ,n$

Példa. Legyen , és egyenlő valószínűséggel és függetlenek a megadott normálértéktől. Ekkor ha , akkor a és a korreláció egyenlő nullával. Ezek a valószínűségi változók azonban függőek, és a bekezdés első mondata értelmében nem rendelkeznek többváltozós normális eloszlással.

X\sim {\mathcal {N}}(0,1)

\alpha =\pm 1

Y=\alpha X\sim {\mathcal {N}}(0,1)

x

Y

A többváltozós normális eloszlás stabil lineáris transzformációk esetén . Ha , és egy tetszőleges dimenziós mátrix , akkor $\mathbf {X} \sim {\mathcal {N))(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$ $\mathbf {A}$ $m\szer n$

{\mathbf {A}}{\mathbf {X}}\sim {\mathrm {N}}\left({\mathbf {A}}{\mathbf {\mu }},{\mathbf {A}}\ Sigma {\mathbf {A}}^{{\top }}\jobbra).

Egy ilyen transzformációval és eltolással bármely nem degenerált normális eloszlás független standard normálértékek vektorává redukálható .

A többváltozós normális eloszlás mozzanatai

Legyenek központosított (nulla matematikai elvárású) többváltozós normális eloszlású valószínűségi változók, ekkor a páratlanok momentumai egyenlők nullával, a párosokra pedig a képlet számít $x$ $\mu _{i_{1}i_{2}i_{3}...i_{k}}=E(X_{i_{1}}X_{i_{2}}X_{i_{3} }...X_{i_{k}})$ $k$ $k=2m$

\sum \sigma _{i_{t_{1}}i_{t_{2}}}\sigma _{i_{t_{3}}i_{t_{4}}}\sigma _{i_{t_ {4}}i_{t_{5}}}}...\sigma _{i_{t_{k-1}}i_{t_{k}}}

ahol az összesítés az indexek összes lehetséges partícióján történik párokba. Az egyes kifejezésekben szereplő tényezők száma , a kifejezések száma pedig $m$ ${\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}={\frac {(2m-1)!}{2^{m-1}(m-1)!}}$

Például az egyes tagok negyedik rendű pillanataihoz két tényező van, és a kifejezések teljes száma egyenlő lesz . A negyedrendű momentumok megfelelő általános képlete: $4!/(2^{2}\cdot 2!)=(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)/(4\cdot 2\cdot 1)=3$

\mu _{ijkm}=E(X_{i}X_{j}X_{k}X_{m})=\sigma _{ij}\sigma _{km}+\sigma _{ik}\ szigma _{jm}+\sigma _{im}\sigma _{kj}

Különösen, ha $i=j=k=m$

{\displaystyle \mu _{iiii}=E(X_{i}^{4})=3{\sigma }_{ii}^{2}=3{\sigma }_{i}^{4))

Nál nél $i=j\not=k=m$

{\displaystyle \mu _{iijj}=E(X_{i}^{2}X_{j}^{2})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{jj}+2{\ sigma }_{ij}={\sigma }_{i}^{2}{\sigma }_{j}^{2}+2{\sigma }_{ij))

Nál nél $i=j=k\not=m$

\mu _{iij}=E(X_{i}^{3}X_{j})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ii }{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma } _{i}^{2}{\sigma }_{ij}

Feltételes kiosztás

Legyen véletlen vektorok és legyen közös normális eloszlásuk matematikai elvárásokkal , kovarianciamátrixokkal és kovarianciamátrixszal . Ez azt jelenti, hogy a kombinált véletlenvektor többváltozós normális eloszlást követ egy várakozási vektorral és egy kovariancia mátrixszal, amely a következő blokkmátrixként ábrázolható $x$ $Y$ $\mu _{X},\mu _{Y}$ $V_{X}, V_{Y}$ $C_{{XY}}$ ${\boldsymbol Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol X}\\{\boldsymbol Y}\end{bmatrix}}$ ${\boldsymbol {\mu }}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\mu }}_{X}\\{\boldsymbol {\mu }}_{Y}\end {bmátrix}}$

{\boldsymbol V}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol V}_{X}&{\boldsymbol C}_{{XY}}\\{\boldsymbol C}_{{YX}} &{\boldsymbol V}_{{Y}}\end{bmatrix}}

ahol . $C_{{YX}}=C_{{XY}}^{T}$

Ekkor a véletlen vektornak a véletlenvektor értékével (többváltozós) normális feltételes eloszlása van a következő feltételes átlaggal és feltételes kovariancia mátrixszal $Y$ $x$

$E(Y|X=x)=\mu _{Y}+C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}(x-\mu _{X}),\qquad V(Y| X=x)=V_{Y}-C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}C_{{XY}}$ .

Az első egyenlőség a lineáris regressziós függvényt határozza meg (a vektor feltételes várakozásának függését a véletlen vektor adott x értékétől ), a mátrix pedig a regressziós együtthatók mátrixa. $Y$ $x$ $C_{{XY}}V^{{-1}}$

A feltételes kovariancia mátrix a vektor komponenseinek lineáris regresszióinak véletlen hiba kovariancia mátrixa . Abban az esetben, ha egy közönséges valószínűségi változó (egykomponensű vektor), a feltételes kovariancia mátrix a feltételes variancia (lényegében a regresszió véletlenszerű hibájának varianciája a vektoron ). $Y$ $x$ $Y$ $Y$ $x$

Jegyzetek

↑ A. N. Shiryaev. Valószínűség. 1. kötet. MTSNMO, 2007.
↑ Groot, 1974 , p. 58-63.
↑ A. A. Novoselov. Kedvencek: Egy közös eloszlás normalitása . Modern kockázati rendszerek (2014. március 28.). Letöltve: 2017. május 8. Az eredetiből archiválva : 2017. május 17. (határozatlan)

Irodalom

M. de Groot Optimális statisztikai döntések = Optimal Statistical Decisions. —M.: Mir, 1974. — 492 p.

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó