Pareto eloszlás

Pareto eloszlás
$x_{\text{m}}=1$ Valószínűségi sűrűség
$x_{\text{m}}=1$ elosztási függvény
Kijelölés	$P(k,x_{\text{m)))$
Lehetőségek	$x_{\text{m}}>0$ - léptéktényező $k>0$
Hordozó	$x\in [x_{\text{m));+\infty )$
Valószínűségi sűrűség	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$
elosztási függvény	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$
Várható érték	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , ha $k>1$
Középső	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$
Divat	$x_{\text{m))$
Diszperzió	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ nál nél $k>2$
Aszimmetria együttható	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ nál nél $k>3$
Kurtosis együttható	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ nál nél $k>4$
Differenciál entrópia	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$
Pillanatok generáló függvénye	nem meghatározott
jellemző funkció	$k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+{}$ ${\displaystyle {}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$

A Pareto-eloszlás a valószínűségszámításban abszolút folytonos eloszlások kétparaméteres családja , amelyek hatványtörvényűek. Wilfredo Pareto nevén hívják . Különféle jelenségek, különösen társadalmi, gazdasági és fizikai jelenségek tanulmányozása során fordul elő [1] . A közgazdaságtanon kívül néha Bradford-eloszlásnak is nevezik.

Definíció

Legyen egy valószínűségi változó olyan, hogy eloszlását az egyenlőség adja meg $x$

F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k},\ \ minden x\geqslant x_{\text{m)),

ahol . Ekkor azt mondjuk, hogy Pareto eloszlása van és paraméterekkel . A Pareto-eloszlás sűrűségének megvan a formája $x_{\text{m)),k>0$ $x$ $x_{\text{m))$ $k$

f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geqslant x_{m},\ \[1ex]0,&x<x_{m}.\end{cases}}

Pillanatok

Egy Pareto-eloszlású valószínűségi változó momentumait a képlet adja meg

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{kn}},

ahonnan különösen

\mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1)),

\mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.

Alkalmazások

Vilfredo Pareto eredetileg ezt az eloszlást használta a vagyon és a jövedelem elosztásának leírására [2] . Az ő „20-80-as szabálya” (amely szerint a lakosság 20%-a birtokolja a vagyon 80%-át) azonban a fajlagos értékétől függ , és azt állítják, hogy valójában jelentős mennyiségi eltérések vannak, például Pareto adatai Nagy-Britannia a "The Course of Political Economy" című munkájában azt mondja, hogy ott a lakosság körülbelül 30%-a birtokolja a teljes bevétel 70%-át. $k$

A Pareto-eloszlás nem csak a közgazdaságtanban található meg. A következő példák adhatók:

A nyelvészetben a Pareto-eloszlást Zipf-törvényként ismerik (különböző nyelveknél a kitevő kissé eltérhet, a leggyakoribb szavak esetében is van némi eltérés az egyszerű hatványtörvénytől , de általában a hatványtörvény ezt az eloszlást eléggé leírja jól). Ennek a mintának a sajátos megnyilvánulásai tekinthetők:
- A szavak abszolút gyakoriságának (hányszor fordultak elő az egyes szavak) a kellően hosszú szövegben a rangtól (sorszámtól, ha a szavakat abszolút gyakoriság szerint rendezzük). A hatalom karakter megmarad, függetlenül attól, hogy a szavakat a kezdeti formájukra redukáljuk, vagy a szövegből vettük át úgy, ahogy van.
- Hasonló görbe a nevek népszerűségénél.
A települések méretének megoszlása [3] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Guerriero, V. Hatalomtörvény eloszlás: Többléptékű következtetési statisztika módszere // Journal of Modern Mathematics Frontier ( JMMF). - 2012. - Kt. 1 , sz. 1 . - P. 21-28 . Az eredetiből archiválva: 2013. december 5.
↑ Pareto, Vilfredo, Cours d'Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet és G. Busino , Librairie Droz, Genf, 1964, 299-345.
↑ Reed, WJ , Jorgensen, M. A kettős pareto-lognormális eloszlás – a méreteloszlások új paraméteres modellje // Kommunikáció a statisztikában: elmélet és módszerek. - 2004. - 20. évf. 33 , iss. 8 . - P. 1733-1753 . - doi : 10.1081/STA-120037438 .

Irodalom

Artyukhov VV Hatékonyság // Általános rendszerelmélet: Önszerveződés, stabilitás, sokszínűség, válságok. - M . : Könyvesház "LIBROKOM", 2009. - S. 60-68. — 224 p. - ISBN 978-5-397-00855-6 .

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó