Exponenciális eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

exponenciális eloszlás
Valószínűségi sűrűség
elosztási függvény
Kijelölés	$\mathrm {Exp} (\lambda ),{\mathcal {E))(\lambda )$
Lehetőségek	$\lambda>0$ - intenzitás vagy inverz léptéktényező
Hordozó	$x\in [0;\infty )$
Valószínűségi sűrűség	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x))$
elosztási függvény	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x))$
Várható érték	$\lambda ^{-1}$
Középső	$\ln(2)/\lambda$
Divat	$0$
Diszperzió	$\lambda ^{-2}$
Aszimmetria együttható	$2$
Kurtosis együttható	$6$
Differenciál entrópia	$1-\ln(\lambda )$
Pillanatok generáló függvénye	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
jellemző funkció	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}$

Az exponenciális (vagy exponenciális [1] ) eloszlás egy abszolút folytonos eloszlás , amely ugyanazon esemény két egymást követő előfordulása között eltelt időt modellezi.

Definíció

Egy valószínűségi változó exponenciális eloszlású egy paraméterrel , ha a valószínűségi sűrűsége a következő: $x$ $\lambda>0$

f_{X}(x)={\begin{cases}\lambda \,e^{{-\lambda x)),&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{esetek))

Példa. Tegyük fel, hogy van egy bolt, amelyet a vásárlók időnként meglátogatnak. Bizonyos feltételezések szerint a két egymást követő vásárló megjelenése közötti idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó lesz. Az átlagos várakozási idő egy új ügyfélnél (lásd lent) . Maga a paraméter ezután az új ügyfelek időegységenkénti átlagos számaként értelmezhető. $1/\lambda$ $\lambda$

Ebben a cikkben a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy egy exponenciális valószínűségi változó sűrűségét az első egyenlet adja meg, és ezt írjuk: . $x$ $X\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$

Elosztási függvény

A sűrűséget integrálva az exponenciális eloszlásfüggvényt kapjuk :

F_{X}(x)=\left\{{\begin{mátrix}1-e^{{-\lambda x}}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\ vége{mátrix}}\jobbra.

Pillanatok

Egyszerű integrációval azt találjuk, hogy az exponenciális eloszlás momentumainak generáló függvénye a következő alakú:

{\mathrm {M}}_{X}(t)=\left(1-{t \over \lambda }\right)^{{-1}}

ahol megkapjuk az összes pillanatot:

{\mathbb {E}}\left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}

Különösen,

{\mathbb {E}}[X]={\frac {1}{\lambda }}

{\mathbb {E}}\left[X^{2}\right]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}

\operátornév {D}[X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}

Függetlenségi események

Hadd . Akkor . $X\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$ ${\mathbb {P}}(X>s+t\mid X\geqslant s)={\mathbb {P}}(X>t)$

Példa. A buszok véletlenszerűen, de valamilyen rögzített átlagos intenzitással álljanak meg. Ekkor az utas által már a buszra várakozó idő nem befolyásolja a még várakozó időt.

Kapcsolat más disztribúciókkal

Az exponenciális eloszlás az X típusú Pearson-eloszlás [2] .
A független exponenciális valószínűségi változók minimuma is exponenciális valószínűségi változó. Legyenek független valószínűségi változók, és . Aztán [3] : $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda _{i})$

Y=\min \limits _{i=1,\ldots ,n}(X_{i})\sim \mathrm {Exp} \left(\sum \limits _{i=1}^{n} \lambda _{i}\right).

Az exponenciális eloszlás a gamma eloszlás speciális esete :

\mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \Gamma (1,1/\lambda ).

A független azonos eloszlású exponenciális valószínűségi változók összege gamma-eloszlású. Legyenek független valószínűségi változók, és . Akkor: $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (n,1/\lambda ).

Az exponenciális eloszlást a folytonos egyenletes eloszlásból inverz transzformációs módszerrel kaphatjuk meg . Hadd . Akkor: $U\simU[0,1]$

X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U\sim \mathrm {Exp} (\lambda ).

Az exponenciális eloszlás egy paraméterrel a khi-négyzet eloszlás speciális esete : $\lambda=1/2$

\mathrm {Exp} (1/2)\equiv \chi ^{2}(2).

Az exponenciális eloszlás a Weibull-eloszlás speciális esete .
Legyenek független valószínűségi változók, és . Akkor: $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$ $Y=\max {X_{1},...,X_{n)),Z=X_{1}+{\frac {X_{2}}{2}}+...+{\ frac {X_{n}}{n}}}$

P(Y<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n},P(Z<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n} .

Jegyzetek

↑ Andrey Rukosuev, Viktor Bashlykov, Konstantin Baldin. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapjai. Tankönyv . — Liter, 2016-03-26. - S. 80. - 489 p. — ISBN 9785457365889 .
↑ Korolyuk, 1985 , p. 135.
↑ Viktor Kashtanov, Alekszej Medvegyev. Komplex rendszerek megbízhatóságelmélete . - 2018. - S. 498. - 608 p.

Irodalom

Korolyuk V. S. , Portenko N. I. , Skorokhod A. V. , Turbin A. F. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika kézikönyve. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó