Inverz konverziós módszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Az inverz transzformációs módszer ( N. V. Smirnov -féle transzformáció ) egy adott eloszlásfüggvényű valószínűségi változók generálásának módszere az egyenletes eloszlású számgenerátor működésének módosításával.

Az algoritmus leírása

Legyen tetszőleges eloszlásfüggvény . Mutassuk meg, hogyan kaphatunk mintát a szabványos folytonos egyenletes eloszlásból származó mintagenerátorral az eloszlásfüggvény által adott eloszlásból . $F(x)$ $F(x)$

Szigorúan növekvő elosztási függvény

Ha egy függvény szigorúan növekszik a definíció teljes tartományában , akkor bijektív , és ezért inverz függvénye van . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ $F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R}$

Legyen egy minta egy szabványos folytonos egyenletes eloszlásból. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Ekkor , ahol , egy minta a számunkra érdekes megoszlásból. $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Példa

Legyen kötelező az exponenciális eloszlásból mintát generálni a paraméterrel . Ennek az eloszlásnak a függvénye szigorúan növekszik, inverz függvénye pedig . Így, ha egy szabványos folytonos egyenletes eloszlásból származó minta, akkor , ahol $\lambda>0$ ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x))$ $F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda }}\,\ln(1-x)$ $U_{1},\ldots ,U_{n}$ $X_{1},\lpontok ,X_{n}$

X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots ,n

a kívánt minta az exponenciális eloszlásból.

Nem csökkenő eloszlásfüggvény

Ha egy függvény nem csökken, akkor előfordulhat, hogy az inverz függvénye nem létezik. Ebben az esetben módosítani kell a fenti algoritmust . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$

Legyen egy minta egy szabványos folytonos egyenletes eloszlásból. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Ekkor , ahol , egy minta a számunkra érdekes megoszlásból. Az a tény, hogy a pontos alsó korlát egyenlő a minimummal, a jobb oldali eloszlásfüggvény folytonossága miatt teljesül, ami azt jelenti, hogy a pontos alsó korlátot elérjük. $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\mid F(x)=U_{i}\},\;i= 1,\lpont ,n$

Jegyzetek

Ha szigorúan növekszik, akkor . Így egy tetszőleges eloszlásfüggvény módosított algoritmusa tartalmazza a szigorúan növekvő eloszlásfüggvény külön elemzett esetét. $F(x)$ ${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf\{x\mid F(x)=u\))$
A látszólagos egyetemesség ellenére ennek az algoritmusnak komoly gyakorlati korlátai vannak. Még ha az eloszlásfüggvény szigorúan növekszik is, nem mindig könnyű kiszámítani az inverzét, különösen, ha nem elemi függvényként adjuk meg , mint például egy normális eloszlás esetén . Általános eloszlásfüggvény esetén leggyakrabban a pontos alsó korlát numerikus megtalálása szükséges , ami nagyon időigényes lehet.

Matematikai indoklás

Hadd , vagyis . Tekintsük egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét . $U\sim U[0,1]$ $F_{U}(u)=u,\;u\in [0,1]$ $X=\inf\{x\mid F(x)=U\}$

\mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (\inf\{x'\mid F(x')=U\}\leq x)=\mathbb {P} (U \leq F(x))=F_{U}(F(x))=F(x)

Vagyis van egy eloszlási függvénye . $x$ $F(x)$

Lásd még

Irodalom

Vadzinsky R.N. Valószínűségi eloszlások kézikönyve. - Szentpétervár: Nauka, 2001, 295 p.