Diák elosztása

Diák elosztása
Valószínűségi sűrűség
elosztási függvény
Kijelölés	${\mathrm {t))(n)$
Lehetőségek	$n>0$ a szabadságfokok száma
Hordozó	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Valószínűségi sűrűség	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) \,(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{\frac {n+1}{2}}}}$
elosztási függvény	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}\times$ ${\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3} {2));-{\frac {x^{2}}{n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}}) }}$ hol van a hipergeometrikus függvény ${\displaystyle _{2}F_{1))$
Várható érték	$0$ , ha $n>1$
Középső	$0$
Divat	$0$
Diszperzió	${\frac {n}{n-2))$ , ha $n>2$
Aszimmetria együttható	$0$ , ha $n>3$
Kurtosis együttható	${\frac {6}{n-4))$ , ha $n>4$
Differenciál entrópia	${\begin{mátrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2}) })\right]\\[0,5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ jobbra]}\end{mátrix}}$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ , $B$ : béta funkció
Pillanatok generáló függvénye	nem meghatározott

A Student-féle eloszlás ( -eloszlás ) a valószínűségszámításban abszolút folytonos eloszlások egyparaméteres családja . William Seeley Gosset volt az első, aki "Student" álnéven publikált erről a terjesztésről. $t$

A Student-féle eloszlás fontos szerepet játszik a statisztikai elemzésben , és például a Student-féle t -próbában használják a két mintaátlag közötti különbség statisztikai szignifikanciájának felmérésére , egy ismeretlen értékű normál sokaság matematikai elvárásának konfidenciaintervallumának felépítésében. variancia, valamint a lineáris regressziós elemzésben is . A Student-féle t-eloszlás a normál eloszlású adatok Bayes - analízisében is megjelenik .

A Student-eloszlás sűrűséggráfja, akárcsak a normál eloszlás, szimmetrikus, és úgy néz ki, mint egy harang, de több "nehéz" farokkal, vagyis egy Student-féle eloszlású valószínűségi változó realizálása általában nagymértékben eltér a matematikai elvárásoktól . Ez fontossá teszi a valószínűségi változók bizonyos típusú arányainak statisztikai viselkedését , amelyekben a nevező eltérése nagy, és kiugró értékeket produkálhat, ha az arány nevezője nullához közelít.

A Student-eloszlás az általánosított hiperbolikus eloszlás speciális esete .

Történelem és etimológia

A statisztikában a t - eloszlást először Friedrich Helmert [1] [2] [3] és Jakob Luroth [4] [5] [6] kapta utólagos eloszlásként 1876-ban .

Az angol nyelvű irodalomban a terjesztés William Gosset Pearson Biometrics folyóiratában megjelent cikkéről kapta a nevét, amely "Student" álnéven jelent meg [7] [8] .

Gosset az írországi dublini Guinness sörfőzdében dolgozott , és statisztikai ismereteit a sörfőzési folyamatban és a szántóföldeken egyaránt felhasználta a legmagasabb hozamú árpafajta kifejlesztésére. A vizsgálatok a sörgyártó cég igényeihez igazodtak, és kis számú megfigyelés alapján készültek, ami ösztönzést jelentett a kis mintákon működő módszerek kidolgozásához.

Gossetnek azért kellett titkolnia kilétét publikálása során, mert korábban egy másik, a Guinnessnek dolgozó kutató olyan információkat közölt anyagaiban, amelyek a cég üzleti titkait képezték, ezt követően Guinness megtiltotta alkalmazottainak bármilyen anyag közzétételét, függetlenül a őket.

Gosset cikke az eloszlást a következőképpen írja le: "A sokaságból vett minták szórásának gyakorisági eloszlása ". Ronald Fisher munkájának köszönhetően vált híressé , aki az eloszlást "tanulói eloszlásnak" nevezte, az értéket pedig a t betű [9] .

Definíció

Legyenek független standard normál valószínűségi változók úgy, hogy . Ezután a valószínűségi változó eloszlása , ahol $Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ $Y_{i}\sim {\mathcal {N))(0,1),\;i=0,\ldots ,n$ $t$

t={\frac {Y_{0}}{{\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}Y_{i}^{2} }}}},

Student-féle szabadságfokokkal való eloszlásnak nevezzük . $n$ $t\sim {\mathrm {t}}(n)$

Ez az eloszlás abszolút folytonos a sűrűséggel :

f_{t}(y)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,\left(1+{\frac {y^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n +1}{2}}}

hol van az Euler gammafüggvény . Ilyen módon: $\Gamma$

{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {n}}(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\ ,}},

méghozzá

n

és ennek megfelelően

{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {n}}(n-2)(n-4)\cdots 5\cdot 3 \,}},

a páratlanoknak .

n

Ezenkívül a Student sűrűségeloszlása kifejezhető az Euler béta függvénnyel : $\mathrm {B}$

f_{t}(y)={\frac {1}({\sqrt {n))\,\mathrm {B} ({\frac {1}{2)),{\frac {n} {2))))\left(1+{\frac {y^{2}}{n}}\right)^{\!-{\frac {n+1}{2}}}

A t -eloszlás sűrűségfüggvényének görbéje szimmetrikus, alakja a standard normál eloszláshoz hasonlóan a harang alakjára hasonlít, de alacsonyabb és szélesebb.

A következő grafikonok a t -eloszlás sűrűségét tükrözik a szabadsági fokok számának növekedésével. Megfigyelhető, hogy as , a sűrűségfüggvény görbe egyre jobban hasonlít a standard normál eloszlásra. $n$ $n$

A t-eloszlás sűrűsége (piros vonal) 1, 2, 3, 5, 10 és 30 szabadsági fokra
a standard normál eloszláshoz (kék vonal) képest. Az előző diagramok zöld színnel jelennek meg.

Elosztási függvény

Az eloszlásfüggvény egy szabályos, nem teljes bétafüggvényben fejezhető ki . számára , $én$ $t>0$

F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\tfrac {1}{2}}I_{x(t)}\left( {\tfrac {n}{2)),{\tfrac {1}{2}}\right),

ahol [10]

x(t)={\frac {n}{t^{2}+n)).

Az értéket ugyanis az eloszlás szimmetriája miatt kaphatjuk meg. $t<0$

Egy másik képlet helyes a [10]-hez : $t^{2}<n$

\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\tfrac {1}{2}}+t{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1} {2}}(n+1)\jobbra)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\jobbra))){}_{2 }F_{1}\left({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{2}}(n+1);{\tfrac {3}{2));-{\tfrac {t^{2}}{n}}\jobbra)

ahol 2 F 1 a hipergeometrikus függvény speciális esete .

Különleges esetek

A Student-féle eloszlás egy szabadságfokkal ( ) a szabványos Cauchy-eloszlás . $n=1$

Elosztási funkció:

F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan(t)

Valószínűségi sűrűség:

f(t)={\frac {1}{\pi (1+t^{2})))

Diák eloszlása két szabadságfokkal ( ): $n=2$

Elosztási funkció:

F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2+t^{2}}}}}

Valószínűségi sűrűség: ;

f(t)={\frac {1}{\left(2+t^{2}\right)^{\frac {3}{2))))

Tanulói eloszlás három szabadságfokkal ( ): $n=3$

Valószínűségi sűrűség:

{\displaystyle f(t)={\frac {6{\sqrt {3))}{\pi \left(3+t^{2}\right)^{2))))

Student eloszlása végtelen számú szabadságfokkal ( ): $n=\infty$

Valószínűségi sűrűség

f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}

egybeesik a standard normális eloszlás valószínűségi sűrűségével.

A Student disztribúció tulajdonságai

A hallgatói eloszlás szimmetrikus. Különösen, ha , akkor . $t\sim {\mathrm {t}}(n)$ $-t\sim \mathrm {t} (n)$
Csak a rend pillanatai vannak , és nincsenek a rend pillanatai . Ebben az esetben minden létező páratlan sorrendű momentum egyenlő nullával. $k<n$ $k\geq n$

{\mathbb {E}}\left[t^{k}\right]=0

, ha páratlan ;

k

\mathbb {E} \left[t^{k}\right]={\frac {1}({\sqrt {\pi }}\Gamma \left({\frac {n}{2)) \right)}}\left[\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {nk}{2}}\right)n^{\ frac {k}{2}}\jobbra]

ha páros. Különösen,

k

Matematikai elvárás , ha . ${\mathbb {E}}[t]=0$ $n>1$
szórás ha . ${\mathrm {D}}[t]={n \over n-2}$ $n>2$

Jellemzők

A Student-féle szabadságfokú eloszlás egy valószínűségi változó eloszlásaként definiálható [10] [11] $k$ $T$

{\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/k))}=Z{\sqrt {\frac {k}{V))))

ahol

Z egy standard normális eloszlású valószínűségi változó ; ${\mathcal {N}}(0,1)$
V egy valószínűségi változó, amelynek khi-négyzet eloszlása van és szabadságfokokkal rendelkezik; $k$
Z és V független valószínűségi változók .

Legyenek, , normális eloszlású független valószínűségi változók , $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$

${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$ a minta átlaga,

S_{n}^{\;2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline { X}}_{n}\jobbra)^{2}

a variancia torzítatlan becslése.

Aztán a valószínűségi változó

V=(n-1){\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}

Khi-négyzet eloszlása szabadsági fokokkal rendelkezik [12] . $k=n-1$

A valószínűségi változó standard normális eloszlású , mivel a minta átlagának normális eloszlása van . Ezenkívül kimutatható, hogy ez a két valószínűségi változó (normál és khi-négyzet ) független. $Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ ${\overline {X}}_{n}$ ${\mathcal {N}}(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}})$ $Z$ $V$

Helyettesítse a kapott értékeket az értékbe

T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/k}}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt { n}}{S_{n}}}

amelynek Student-féle eloszlása van, és eltér attól , hogy a szórást egy valószínűségi változó helyettesíti , . Vegye figyelembe, hogy az ismeretlen variancia nem jelenik meg -ben , mivel a számlálóban és a nevezőben is szerepel. Gosset intuitív módon megkapta a fent megállapított valószínűségi sűrűséget, ahol megfelel ; Fischer ezt 1925-ben bebizonyította [9] . $Z$ $\sigma$ $S_{n}$ $\sigma ^{2}$ $T$ $k$ $n-1$

A kritériumstatisztika eloszlása μ-től vagy σ 2 -től függ, de nem függ attól , ami az eloszlást mind elméletben, mind gyakorlatban fontossá teszi. $T$ $k$

Hogyan keletkezik a t -eloszlás

Minta variancia

A Student-féle eloszlás a minta variancia eloszlásával kapcsolatban merül fel . Legyenek független valószínűségi változók úgy, hogy . Jelöljük ennek a mintának a mintaátlagát és a mintavarianciáját . Akkor $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,n$ ${\bár {X}}$ $S^{2}$

{\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim {\mathrm {t}}(n-1)

Ehhez a tényhez kapcsolódik a Student-féle t-eloszlás statisztikában a pontbecsléshez , a konfidenciaintervallumok felépítéséhez és a normál eloszlásból származó ismeretlen mintaátlagról szóló hipotézisek teszteléséhez .

Bayesi statisztika

A Bayes-statisztikában egy nem központi t - eloszlás fordul elő a normál eloszlási együttható marginális eloszlásaként . $m$ ${\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2})$

Az ismeretlen variancia függését a következőképpen fejezzük ki:

{\begin{aligned}p(\mu \mid D,I)=&\int p(\mu ,\sigma ^{2}\mid D,I)\;d\sigma ^{2}= \int p(\mu \mid D,\sigma ^{2},I)\;p(\sigma ^{2}\mid D,I)\;d\sigma ^{2}\end{igazított}}

hol van az { x i } adat és minden egyéb információ, amely felhasználható a modell létrehozásához. $D$ $én$

Ha az adatok nem informatívak , Bayes tétele azt jelenti

{\begin{aligned}p(\mu \mid D,\sigma ^{2},I)\sim &N({\bar {x)),{\frac {\sigma ^{2)){ n)))\end{igazított}}

{\begin{aligned}p(\sigma ^{2}\mid D,I)\sim &\operatorname {Scale-inv-\chi ^{2}} (n,s^{2})\ vége{igazított}}

normál eloszlás és skálázott inverz khi-négyzet eloszlás, ahol

s^{2}=\sum {\frac {(x_{i}-{\bar {x)))^{2}}{n-1}}

A marginalizált integrálnak ebben az esetben a formája van

{\begin{aligned}p(\mu |D,I)&\propto \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2))} }\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}n(\mu -{\bar {x}})^{2}\right)\;\cdot \;\ sigma ^{-n-2}\exp(-ns^{2}/2\sigma ^{2})\;d\sigma ^{2}\\&\propto \int _{0}^{\infty }\sigma ^{-n-3}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(n(\mu -{\bar {x}})^{ 2}+ns^{2}\jobbra)\jobbra)\;d\sigma ^{2}\end{igazított}}

csere után hol , $z=A/2\sigma ^{2}$ $A=n(\mu -{\bar {x)))^{2}+ns^{2}$

kapunk $dz=-{\frac {A}{2\sigma ^{4}}}d\sigma ^{2}$

és értékelés $p(\mu |D,I)\propto \;A^{-{\frac {n+1}{2}}}\int _{0}^{\infty }z^{(n- 1)/2}\exp(-z)\,dz$

$\int _{0}^{\infty }z^{(n-1)/2}\exp(-z)\,dz$ most a szabványos Gamma integrál, amely konstansra értékel ki

${\begin{aligned}p(\mu \mid D,I)\propto &\;A^{-{\frac {n+1}{2))}\propto &\left(1+{ \frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{ns^{2}}}\jobbra)^{-{\frac {n+1}{2}}}\end {igazított}}$

ez egy nem szabványos t-eloszlás.

A helyettesítéssel szabványosított t-eloszlást kapunk. $t={\frac {\mu -{\bar {x}}}{s/{\sqrt {n}}}}$

A fenti levezetést a és a ; de nyilvánvaló, hogy bármely előzetes valószínűség, amely a normál eloszlás és a skálázott inverz khi-négyzet eloszlás keverékéhez vezet, hogy egy nem központi t - eloszlást skálázással és torzítással , a skálázási paramétert befolyásolja a prior információk és adatok, és nem csak az adatok, mint a fenti példában. ${\displaystyle \scriptstyle {\mu ))$ $\scriptstyle {\sigma ^{2))$ ${\displaystyle \scriptstyle {P(\mu |D,I)))$ $\scriptstyle {\frac {S^{2}}{n}}$

A Student-féle eloszlás általánosításai

Student-féle szabványosítatlan t-eloszlás

A Student t-eloszlás általánosítható három paraméterű függvénycsaládra, beleértve egy eltolási tényezőt és egy léptéktényezőt a reláción keresztül. $\mu$ $\sigma$

X=\mu +\sigma T

vagy

T={\frac {X-\mu }{\sigma }}

hol van a klasszikus Student-eloszlás szabadságfokkal. ${\frac {x-\mu }{\sigma }}$ $n$

A nem szabványosított Student-eloszlás sűrűsége egy VII. típusú újraparaméterezett Pearson-eloszlás, amelyet a következő kifejezés határozza meg [13].

{\displaystyle p(x\mid n,\mu ,\sigma )={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n}{2 }}){\sqrt {\pi n}}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{n}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right )^{2}\jobbra)^{-{\frac {n+1}{2))))

Itt nem a szórásról van szó, mint a normál eloszlásban, hanem általánosságban elmondható, hogy egy eltérő skálaparaméter. Azonban -nél a VII típusú Pearson-eloszlási sűrűség egy normál eloszlási sűrűségre hajlamos, szórással . $\sigma$ $n\to\infty$ $\sigma$

A Bayes-i következtetésben az ismeretlen átlag határeloszlása nagyobb, mint , és megfelel annak , ahol $\mu$ $\sigma$ ${\displaystyle \scriptstyle {s/{\sqrt {n))))$

s^{2}=\sum {\frac {(x_{i}-{\bar {x)))^{2}}{n-1}}.

$\operatorname {E} (X)=\mu$ számára , $n>1$

${\text{var}}(X)=\sigma ^{2}{\frac {n}{n-2}}$ számára $n>2$

${\text{mode}}(X)=\mu .$

Ez az eloszlás egy Gauss-eloszlás (normál eloszlás) és egy átlagos és egy ismeretlen variancia kombinációjának eredménye, inverz gamma-eloszlással, és paraméterekkel rendelkező varianciával . Más szóval, feltételezzük, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlású, és inverz gamma-eloszlású ismeretlen variancia, majd a variancia megszűnik. Ez a tulajdonság azért hasznos, mert az inverz gamma-eloszlás a Gauss-eloszlás varianciájának konjugált priorja, ezért a nem szabványosított Student-féle t-eloszlás természetesen sok Bayes-probléma esetén előfordul. $\mu$ $a=n/2$ $b=n\sigma ^{2}/2$

Ezzel egyenértékűen ez az eloszlás a Gauss-eloszlás és egy skálázott inverz khi-négyzet eloszlás kombinációjának eredménye és paraméterekkel . A skálázott inverz khi-négyzet eloszlás pontosan ugyanaz, mint az inverz gamma eloszlás, de más paraméterezéssel, nevezetesen . $n$ $\sigma ^{2}$ $n=2a,\sigma ^{2}=b/a$

Egy alternatív paraméterezés, amely a λ [14] inverz skálázási paraméteren alapul (hasonlóan ahhoz, hogy a pontossági mérték a variancia inverze), amelyet a reláció határoz meg , ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\sigma ^{2))))$

akkor a sűrűséget úgy határozzuk meg

p(x|n,\mu ,\lambda )={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n}{2} })}}\left({\frac {\lambda }{\pi n}}\jobb)^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{n}}\jobbra)^{-{\frac {n+1}{2}}}.

Tulajdonságok:

$\operatorname {E} (X)=\mu$ számára , $n>1$

${\text{var}}(X)={\frac {1}{\lambda }}{\frac {n}{n-2}}$ számára $n>2$

${\text{mode}}(X)=\mu .$

Ez az eloszlás a Gauss-eloszlás átlaggal és egy ismeretlen pontossági mértékkel (inverz variancia) való kombinációjának eredménye, egy gamma-eloszlással és paraméterekkel . Más szavakkal, feltételezzük, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlású, és a pontosság gamma-eloszlása ismeretlen. $\mu$ $a=n/2$ $b=n/(2\lambda )$

Hallgatói nem központi terjesztés

A nem központi t-t az egyik módja a standard t-t általánosításának egy további eltolási tényező (nem központossági paraméter) hozzáadásával . $\mu$

$(Z+\mu ){\sqrt {\frac {n}{V}}}.$

A nem központi Student-féle eloszlásban a medián nem esik egybe a módussal, azaz. nem szimmetrikus (ellentétben a nem szabványosítottal).

Ez az eloszlás fontos a Student-féle t-próba statisztikai erejének tanulmányozásához.

Diszkrét Student-eloszlás

A diszkrét Student t eloszlásnak a következő eloszlásfüggvénye van, ahol r arányos: [15]

\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2))}\quad \quad r=\ldots , -1,0,1,\lpont .

Ahol a , b és k paraméterek. Ilyen disztribúció akkor jön létre, ha olyan diszkrét eloszlásokból származó rendszerekkel foglalkozunk, mint például a Pearson-eloszlás . [16]

Kapcsolat más disztribúciókkal

A Student-féle t-eloszlás a VII. típusú Pearson -t-eloszlás [17] .
A Student-féle eloszlás egy szabadságfokkal ( ) a szabványos Cauchy-eloszlás : . $n=1$ ${\mathrm {t}}(1)\equiv {\mathrm {C}}(0,1)$
A Student-féle eloszlás a standard normálhoz konvergál . Adjuk meg a valószínűségi változók sorozatát , ahol . Ezután: terjesztéssel a címen . $n\to\infty$ $\{t_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $t_{n}\sim {\mathrm {t}}(n),\;n\in {\mathbb {N}}$ $t_{n}\to {\mathcal {N}}(0,1)$ $n\to\infty$
A Student-féle eloszlású valószínűségi változó négyzetének Fisher- eloszlása is van . Hadd . Aztán: . $t\sim {\mathrm {t}}(n)$ $t^{2}\sim {\mathrm {F}}(1,n)$

A Gauss-eloszlás általánosítása

T-eloszlású mintát kaphatunk, ha a normál eloszlás értékeinek és a khi-négyzet eloszlás négyzetgyökének arányát vesszük.

ahol vannak olyan független standard normál valószínűségi változók, hogy ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n))$ $X_{i}\sim {\mathcal {N))(0,1),\;i=0,\ldots ,n$

$t={\frac {X_{0}}{\sqrt ({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2} }}}.$

Ha normális eloszlás helyett vesszük például Irwin-Hall , akkor 4 paraméterű szimmetrikus eloszlást kapunk, amely tartalmazza a normál, az egyenletes, a háromszög, valamint a Student-féle és Cauchy-eloszlást; így ez az általánosítás rugalmasabb, mint a Gauss-eloszlás sok más szimmetrikus általánosítása.

A Student-eloszlás alkalmazása

Hipotézis tesztelés

Egyes statisztikák kis mintaméreteken Student-féle t-eloszlással rendelkezhetnek, így a Student-féle t-eloszlás képezi a szignifikanciapróbák alapját. Például a Spearman-féle rangkorrelációs teszt ρ nulla esetben (nulla korreláció) jól közelíthető a 20-nál nagyobb mintamérettel rendelkező Student-féle t-eloszlással.

Konfidenciaintervallum felépítése

A Student-féle t-t felhasználható annak becslésére, hogy mekkora valószínűséggel van a valódi átlag bármely adott tartományban.

Tegyük fel, hogy az A számot úgy választjuk meg

$\Pr(-A<T<A)=0,9$ .

Ekkor T-nek n – 1 szabadságfokú t-eloszlása van . Az eloszlás szimmetriája alapján ez egyenértékű azzal, hogy azt mondjuk, hogy A kielégít

$\Pr(T<A)=0,95,$ vagy , akkor ${\displaystyle A=t_{(0,05;n-1)))$

$\Pr \left(-A<{\frac ({\overline {X}}_{n}-\mu }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}<A \right)=0,9,$

ami egyenértékű azzal

$\Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}_ {n}+A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\right)=0,9.$

így egy pontban megadott konfidenciahatárral rendelkező intervallum 90%-os konfidenciaintervallum μ-re. Ezért, ha megtaláljuk a megfigyelések halmazának átlagát (normál eloszlású), akkor a Student-féle t-eloszlás segítségével meghatározhatjuk, hogy az átlag konfidenciahatárai tartalmaznak-e bármilyen elméletileg előrejelzett értéket, például a nullhipotézisből előre jelzett értéket. ${\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}$

Ilyen megközelítést alkalmaz a Student-féle t-próba : ha két normális eloszlásból származó minták átlagának különbsége önmagában is normális eloszlású, akkor a Student-féle t-t segítségével megvizsgálható, hogy ez a különbség nagy mértékben nullának tekinthető-e. a valószínűség.

Normális eloszlású minták esetén az átlag egyoldali (1− a ) felső konfidenciahatára (UCL)

$\mathrm {UCL} _{1-a}={\overline {X}}_{n}+t_{a,n-1}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n} }}$ .

Az így kapott felső konfidenciahatár lesz a legnagyobb átlag az adott konfidenciaintervallumhoz és mintamérethez. Más szóval, ha a megfigyelések halmazának átlaga, annak a valószínűsége, hogy az eloszlás átlaga hozamot ad, 1–a szignifikanciaszinttel egyenlő . ${\overline {X}}_{n}$ $\mathrm {UCL} _{1-n}$

Előrejelző intervallum felépítése

A Student-féle t-eloszlás felhasználható egy nem megfigyelt minta prediktor intervallumának meghatározására egy ismeretlen átlagú és varianciájú normális eloszlásból.

A bayesi statisztikákban

A Student-féle t-eloszlás, különösen a nem központi, gyakran megjelenik a Bayes-statisztikában a normál eloszlással való asszociáció eredményeként.

Valójában, ha nem ismerjük egy normális eloszlású valószínűségi változó varianciáját, de ismerjük a konjugált előzetes eloszlást, akkor választhatunk olyan gamma-eloszlást, hogy a kapott értékek Student-féle eloszlásúak legyenek.

Az azonos eredménnyel egyenértékű konstrukciók közé tartozik a konjugált skálázott inverz khi-négyzet eloszlás. Ha a hibás, -vel arányos előzetes eloszlás a variancia felett helyezkedik el, akkor Student-féle eloszlás is előfordul. Ez attól függetlenül történik, hogy egy konjugált előzetes eloszlással elosztott normális eloszlású mennyiség átlaga ismert-e vagy sem. $\sigma ^{2}$

Paraméteres modellezés, amely ellenáll a kezdeti feltevések megsértésének

A Student-féle t-eloszlást gyakran használják a normál eloszlás alternatívájaként egy adatmodell esetében. [18] Ennek az az oka, hogy a valós adatok gyakran nehezebbek, mint a normál eloszlás lehetővé tenné. A klasszikus megközelítés a kiugró értékek azonosítása és megszüntetése (vagy súlyuk csökkentése). Azonban nem mindig könnyű meghatározni egy kiugró értéket (különösen nagy dimenziós problémák esetén ), és a Student-féle t-eloszlás természetes választás a robusztus statisztikák parametrikus megközelítésének biztosításához .

Lange és mások megvizsgálták a Student-eloszlás használatát robusztus adatmodellezésre. A Bayes-számítást Gelman et al.

A szabadsági fokok száma szabályozza az eloszlás görbületét, és korrelál a skálázási paraméterrel.

A Student disztribúció néhány egyéb tulajdonsága

Legyen a Student-féle valószínűségi sűrűségfüggvény integrálja, annak a valószínűsége, hogy t értéke kisebb, mint a megfigyelési adatokból számított érték. $A(t|n)$ $F(t)$

A függvénnyel tesztelhető, hogy az azonos sokaságból vett két adathalmaz átlaga közötti különbség statisztikailag szignifikáns-e, ezt a t megfelelő értékének és előfordulási valószínűségének kiszámításával érjük el. $A(t|n)$

Ezt használják például a Student-féle T-tesztben . A szabadságfokokkal rendelkező t-eloszlás esetén annak a valószínűsége, hogy t kisebb lesz, mint a megfigyelt érték, ha a két átlagérték azonos. Könnyen kiszámítható a Student-féle eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényéből: $n$ $A(t|n)$ $F_{n}(t)$

A(t|n)=F_{n}(t)-F_{n}(-t)=1-I_{\frac {n}{n+t^{2}}}\left({ \frac {n}{2)),{\frac {1}{2}}\jobbra),

ahol I x - a szabályos nem teljes béta függvény (a, b).

A statisztikai hipotézisvizsgálat során ezt a függvényt p-érték megalkotására használják .

Monte Carlo mintavétel

Különféle megközelítések léteznek a valószínűségi változók Student-féle eloszlásból való kinyerésére. Minden attól függ, hogy szükség van-e független mintákra, vagy az inverz eloszlásfüggvény egyenletes eloszlású mintán történő alkalmazásával is megszerkeszthetők.

Független minta esetén könnyen alkalmazható a Box-Muller módszer kiterjesztése poláris (trigonometrikus) formájában [19] . Ennek a módszernek az az előnye, hogy minden pozitív szabadságfokra egyformán vonatkozik , míg sok más módszer nem működik, ha közel nulla. [19] $n$ $n$

A Student-eloszlás sűrűsége differenciálegyenlet megoldásán keresztül

A Student-sűrűség eloszlást a következő differenciálegyenlet megoldásával kaphatjuk meg :

$\left\{{\begin{array}{l}\left(n+x^{2}\right)f'(x)+(n+1)xf(x)=0,\\f (1)={\frac {n^{n/2}(n+1)^{-{\frac {n}{2}}-{\frac {1}{2}}}}{B\left ({\frac {n}{2)),{\frac {1}{2}}\right)}}\end{array}}\right\}$

Percentilis

Értéktáblázatok

Számos statisztikai tankönyv tartalmaz tanulói eloszlási táblázatokat.

Napjainkban a legjobb módja annak, hogy teljesen pontos kritikus t értéket vagy kumulatív valószínűséget kapjunk, ha egy táblázatba épített statisztikai függvényt (Office Excel, OpenOffice Calc stb.) vagy egy interaktív webes számológépet használunk. A szükséges táblázatkezelő funkciók a TDIST és a TINV.

Az alábbi táblázat a Student-féle eloszlások néhány értékének értékét tartalmazza v szabadságfokkal számos egy- vagy kétoldali kritikus régióhoz.

Példaként a táblázat olvasásához vegyük a negyedik sort, amely 4-gyel kezdődik; ez azt jelenti, hogy v, a szabadsági fokok száma 4 (és ha a fentiek szerint n fix összegű mennyiséggel dolgozunk, akkor n = 5). Vegyük az ötödik értéket a 95% oszlopban egyoldalasnál (90% a kétoldalasnál ). Az érték "2,132". Ezért annak a valószínűsége, hogy T kisebb, mint 2,132, 95%, vagy Pr(−∞ < T < 2,132) = 0,95; ez azt is jelenti, hogy Pr(−2,132 < T < 2,132) = 0,9.

Ez kiszámítható az eloszlás szimmetriájából,

Pr( T < -2,132) = 1 - Pr( T > -2,132) = 1 - 0,95 = 0,05,

kapunk

Pr(−2,132 < T < 2,132) = 1 − 2(0,05) = 0,9.

Figyeljük meg, hogy az utolsó sor kritikus pontokat is ad: a Student-féle végtelen számú t-eloszlás normális eloszlás.

Az első oszlop a szabadságfokok számát mutatja.

egyoldalú	75%	80%	85%	90%	95%	97,5%	99%	99,5%	99,75%	99,9%	99,95%
kétoldalú	ötven%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99,5%	99,8%	99,9%
egy	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0,816	1.080	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0,765	0,978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
négy	0,741	0,941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0,727	0,920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0,718	0,906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0,711	0,896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
nyolc	0,706	0,889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0,703	0,883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
tíz	0,700	0,879	1,093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
tizenegy	0,697	0,876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0,695	0,873	1,083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0,694	0,870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
tizennégy	0,692	0,868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
tizenöt	0,691	0,866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0,690	0,865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0,689	0,863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
tizennyolc	0,688	0,862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0,688	0,861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
húsz	0,687	0,860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0,686	0,859	1,063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0,686	0,858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0,685	0,858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0,685	0,857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0,684	0,856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0,684	0,856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0,684	0,855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0,683	0,855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0,683	0,854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
harminc	0,683	0,854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0,681	0,851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
ötven	0,679	0,849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0,679	0,848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0,678	0,846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0,677	0,845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0,677	0,845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
∞	0,674	0,842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291

Például, ha kapunk egy 2-es mintaszórással és 10-es mintaátlaggal a 11-es mintahalmazból (10 szabadságfok) vett mintát, a képlet segítségével

${\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}.$

90%-os biztonsággal megállapíthatjuk, hogy a valódi átlag:

$10+1,37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10,58510,$

(azaz átlagosan az esetek 90%-ában a felső határ nagyobb, mint a valódi átlag)

és még mindig 90%-os bizonyossággal nagyobb valós átlagot találunk, mint

$10-1,37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=9,41490.$

(Átlagosan az esetek 90%-ában az alsó határ alacsonyabb a valódi átlagnál)

Tehát 80%-os biztonsággal (1-2*(1-90%) = 80%) megtaláljuk a valódi értéket az intervallumban

$\left(10-1,37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},10+1,37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\ right)=\left(9,41490,10,58510\jobb).$

Más szóval, az esetek 80%-ában a valódi átlag a felső határ alatt van és az alsó határ felett.

Ez nem egyenértékű azzal, hogy 80% esély van arra, hogy a valódi átlag egy bizonyos felső és alsó határpár között van.

Általánosítás

A Student-eloszlás általánosítása az általánosított hiperbolikus eloszlás .

Jegyzetek

↑ Helmert, F. R. (1875). "Über die Bestimmung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". Z Math. Phys. , 20, 300–3.
↑ Helmert, F. R. (1876a). "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen". Z Math. Phys. , 21, 192–218.
↑ Helmert, F. R. (1876b). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers director Beobachtungen gleicher Genauigkeit", Astron. Nachr. , 88, 113–32.
↑ Lüroth, J. Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers (német) // Astron. Nachr. : bolt. - 1876. - Bd. 87 , sz. 14 . - S. 209-220 . - doi : 10.1002/asna.18760871402 . - Iránykód .
↑ Pfanzagl, J.; Sheynin, O. A t -eloszlás elődje (Studies in the History of probability and Statistics XLIV) (angol) // Biometrika : Journal. - 1996. - 1. évf. 83 , sz. 4 . - P. 891-898 . - doi : 10.1093/biomet/83.4.891 .
↑ Sheynin, O. Helmert munkája a hibák elméletében // Arch . Hist. Exact Sci. : folyóirat. - 1995. - 1. évf. 49 . - P. 73-104 . - doi : 10.1007/BF00374700 .
↑ "Diák" [ William Sealy Gosset ]. Egy átlag valószínű hibája (angol) // Biometrika : Journal. - 1908. - március ( 6. köt . 1. sz .). - P. 1-25 . - doi : 10.1093/biomet/6.1.1 .
↑ "Student" (William Sealy Gosset), eredeti Biometrika papír beolvasásként Archivált 2016. március 5. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Ronald Fisher. A „Diák” elosztás alkalmazásai // metron . - 1925. - 1. évf. 5 . - P. 90-104 . Az eredetiből archiválva: 2016. március 5.
↑ 1 2 3 Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. 28. fejezet // Continuous Univariate Distributions, 2. kötet, 2. kiadás .. - 1995. - ISBN 0-471-58494-0 .
↑ Hogg & Craig (1978, 4.4. és 4.8. szakasz)
↑ W. G. Cochran. A másodfokú formák eloszlása normál rendszerben, alkalmazásokkal a kovarianciaanalízisre // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1934-04-01. - T. 30 , sz. 02 . - S. 178-191 . — ISSN 1469-8064 . - doi : 10.1017/S0305004100016595 .
↑ Simon Jackman. Bayesi elemzés a társadalomtudományokhoz . – Wiley. - 2009. - S. 507 .
↑ Bishop CM Mintafelismerés és gépi tanulás. — Springer . – 2006.
↑ Ord, JK (1972) Families of Frequency Distributions , Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (5.1. táblázat)
↑ Ord, JK (1972) Families of Frequency Distributions , Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (5. fejezet)
↑ Korolyuk, 1985 , p. 134.
↑ Kenneth L. Lange, Roderick J. A. Little, Jeremy M. G. Taylor. Robusztus statisztikai modellezés a t eloszlás használatával // Journal of the American Statistical Association . - 1989-12-01. - T. 84 , sz. 408 . - S. 881-896 . — ISSN 0162-1459 . - doi : 10.1080/01621459.1989.10478852 .
↑ 1 2 Ralph W. Bailey. Véletlenváltozók poláris generálása a t-eloszlással // Számítási matematika. — 1994-01-01. - T. 62 , sz. 206 . - S. 779-781 . - doi : 10.2307/2153537 . Az eredetiből archiválva: 2016. április 3.

Irodalom

Korolyuk V. S. , Portenko N. I. , Skorokhod A. V. , Turbin A. F. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika kézikönyve. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó